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这一讲已经包罗了很多内容，在继续推进之前，让我们盘点一下已经做过的事情。我们的目标是把自旋和矢量空间结合起来。我们清楚了如何用矢量来代表自旋态，而且在这一过程中得以窥见态矢量所包含的信息（以及没有包含的信息）。下面简要地罗列了我们所做的工作：
· 基于自旋测量的知识，我们选择了3对相互正交的基底，它们分别被命名为
和
、
和
，
和
。因为基底矢量
和
代表着物理上不同的态，所以我们可以断定它们彼此之间是正交的。换言之，
。这对
和
以及
和
也都成立。
· 我们要使用两个独立的参数去定义自旋态，然后任意选择一对正交矢量作为基底，比如
和
，从而将所有自旋态都表示出来，虽然描述态矢量的两个复数需要有4个实数，我们依然选择全部表示出来。该如何处理呢？我们相当聪明，发现这4个实数并不完全独立
。归一化的限制（总概率为1）消除了一个独立的参数，相位无关性（态矢量的物理特性不会受到全局相因子的影响）又消除了一个。
· 选定
和
作为主要的基底，在额外的正交和概率基础的限制下，我们解决了另外两对基底如何用
和
的线性组合来表示的问题。
· 我们确认了使用列矢量来代表主要基底的方法，这种表示并不唯一。在第3讲中，我们将使用
和
的列矢量去推导另外两个基底的列矢量。
在得到这些具体结果的过程中，我们也顺便练习了态矢量的数学，并学到了这些数学对象是如何对应到物理自旋上的。尽管我们关注的是自旋，但其实同样的概念和技术也能应用到其他量子系统中去。在进入第3讲之前，请花一些时间去消化到目前为止的内容。正如我在本讲开始时说的，你真的会有所收获。