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了解一个系统需要多少个独立参量来描述是非常重要的，比如在《理论最小值：经典力学》中我们使用的广义坐标（标记为 q i ），代表了系统有多少个自由度。写出描述系统约束的方程通常并不容易，但这样的做法帮助我们摆脱了困境。沿着这一思路，我们下一个目标就是数出自旋系统中有多少个物理上独立的态。我将使用两种方法来揭示，其实两种方法得出的答案是一样的。
第一种方法很简单，把装置沿着任意的单位3-矢量
放置，也就是指向这个方向制备了一个
σ
=+1的自旋系统。如果
σ
=-1，你可以想象自旋是指向
方向的。所以对应于每一个单位3-矢量
，都存在一个态。那么描述这样一个系统需要多少个参数呢？答案显然是两个。三维空间中定义一个方向只需要两个角度参数
。
现在让我们从另一个角度，也就是用第二种方法来思考这个问题。一般来说，自旋态使用两个复数 α u 和 α d 来定义，每个复参数里有两个实数，所以看起来有4个实参数。但要知道矢量必须是归一化的，就像公式2-4那样。归一化的条件又给了我们一个关于实参数的方程，这样一来，参数的个数就减少到了3个。
前文提到，我们最终看到的态矢量的物理性质是不依赖于全局相因子的。这意味着3个参数中还有一个是多余的，这就只剩下两个，也就是三维空间标记方向所需要的参数的个数。这样一来，所有的自由度都可以包含在如下表达式中：
它能描述所有可能的自旋方向，虽然对任意方向，可能得出的测量结果都只有两个。