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接下来，我们来看
和
，这个矢量代表自旋指向
y
轴方向，它需要满足如下条件：
这一条件说明入态（in）和出态（out）是正交矢量，就像上态和下态一样。在物理上这意味着如果自旋是入态，它就绝不会是出态。
对于矢量
和
还有其他的限制，使用公式2-1和公式2-2表达的关系，以及我们实验的统计结果，可以写作：
在前两个式子中，
取代了公式2-1和公式2-2中
的位置。在后两个式子中，则用
取代。这些条件说明，如果自旋指向
y
轴方向的话，指向
z
轴方向的测量会得出相等的向上或者向下的概率。同样，如果指向
x
轴方向去测量的话，得到向右或者向左的概率相同。这还要求：
现在这些条件足够决定矢量
和
的形式了，不考虑相位任意性，结果如下：
练习2-2：
证明
和
满足公式2-7至公式2-9中的所有条件，以及它们是不是唯一的。
有趣的是，公式2-10中有两个分量是虚的。当然，我们所有的讨论一直都是在复数空间中进行的，但直到现在我们才真正在计算时用上了复数。公式2-10中的复数只是约定的还是必须的呢？给定自旋态的框架，复数就是必须的。证明过程有点乏味，但每一步都很直接，后边的练习题会给出一个大致步骤。使用复数是量子力学中普遍的特征，之后的内容中还会有更多的例子。
练习2-3：
暂时忘掉公式2-10中给出的
和
是如何用
和
表示的，假设分量
α
、
β
、
γ
和
δ
都是未知的，则下式成立：
a）使用公式2-8验证
b）使用上面的结果和公式2-9验证
α * β + αβ * = γ * δ + γδ * =0。
c）证明 α * β 与 γ * δ 一定是纯虚数。如果 α * β 是纯虚数，则 α 和 β 不能都是实数， γ * δ 同理。