指向 y 轴方向

接下来，我们来看 和 ，这个矢量代表自旋指向 y 轴方向，它需要满足如下条件：

这一条件说明入态（in）和出态（out）是正交矢量，就像上态和下态一样。在物理上这意味着如果自旋是入态，它就绝不会是出态。

对于矢量 和 还有其他的限制，使用公式2-1和公式2-2表达的关系，以及我们实验的统计结果，可以写作：

在前两个式子中， 取代了公式2-1和公式2-2中 的位置。在后两个式子中，则用 取代。这些条件说明，如果自旋指向 y 轴方向的话，指向 z 轴方向的测量会得出相等的向上或者向下的概率。同样，如果指向 x 轴方向去测量的话，得到向右或者向左的概率相同。这还要求：

现在这些条件足够决定矢量 和 的形式了，不考虑相位任意性，结果如下：

Quantum Mechanics　量子力学练习

练习2-2： 证明 和 满足公式2-7至公式2-9中的所有条件，以及它们是不是唯一的。

有趣的是，公式2-10中有两个分量是虚的。当然，我们所有的讨论一直都是在复数空间中进行的，但直到现在我们才真正在计算时用上了复数。公式2-10中的复数只是约定的还是必须的呢？给定自旋态的框架，复数就是必须的。证明过程有点乏味，但每一步都很直接，后边的练习题会给出一个大致步骤。使用复数是量子力学中普遍的特征，之后的内容中还会有更多的例子。

Quantum Mechanics　量子力学练习

练习2-3： 暂时忘掉公式2-10中给出的 和 是如何用 和 表示的，假设分量 α 、 β 、 γ 和 δ 都是未知的，则下式成立：

a）使用公式2-8验证

b）使用上面的结果和公式2-9验证

α ^* β + αβ ^* = γ ^* δ + γδ ^* =0。

c）证明 α ^* β 与 γ ^* δ 一定是纯虚数。如果 α ^* β 是纯虚数，则 α 和 β 不能都是实数， γ ^* δ 同理。 yOqS5cXQykIJVm7xYuv739HSqueNeXlV/jpJhFptZks8suc0udYMkqXmHcXhy0pb