自旋态的表示

现在是时候尝试使用态矢量来表示一个自旋系统了，我们的目标是定义一种可以囊括所有已知自旋行为的表示方法。现阶段，我们更偏重直觉，而非正式的定义。我们将尽力把以前学过的东西组合起来。这一部分要仔细阅读，你一定会有所收获。

一方面，让我们沿着不同方向的自旋态的标记开始，如果仪器 指向 z 轴方向，则可能制备出两个态，分别为 σ _z =±1。我们叫它们“向上”（up）和“向下”（down），用右矢量将其记作 和 。所以当沿着 z 轴放置的仪器上显示+1时，说明 态已经制备好了。

另一方面，如果指向 x 轴方向的仪器显示-1时，表示 态已经制备好了，我们把它叫作“向左”（left）。如果仪器 指向 y 轴方向，那就可以制备 和 态（in和out）。好懂吧？

在没有隐变量的情况下，存在一个非常简单的数学表示，也就是单自旋的态空间只有两个维度。值得强调的是，所有可能的自旋态都可以表示在一个二维的矢量空间中。

尽管有点任意 ，我们可以选 和 作为两个基底矢量，从而任何一个态都能写成这两个基底的线性叠加。如果用符号 代表一个一般的态，那么我们可以得到下面这个公式：

其中的 α _u 和 α _d 分别是 沿着基底 和 方向的分量。数学上，我们能得到 的两个分量：

这些方程过于抽象，所以不容易看出它们的物理意义。现在我来告诉你它们意味着什么。首先 代表任意的一个自旋态，它可以使用任意的方法制备出来。分量 α _u 和 α _d 是复数，虽然分量本身是没有实验意义的，但是它们的模（magnitude） 是有实验意义的。具体来说， 和 有如下的意义：

·　假定自旋被制备到 态并且仪器已经指向 z 轴方向，则 的数值就是测量到 σ _z =+1的概率，换句话说就是沿着 z 轴方向测量得到自旋向上的概率。

·　同样， 是测量到 σ _z 向下的概率。

而数值 α ，或者等价的 和 ，被称作概率幅（probability amplitude），它们本身并不是概率。为了得到概率，它们的模需要再求平方。也就是说，测量到自旋向上和向下的概率为：

注意：在测量之前，我并没有说过 σ _z 是多少。测量之前，我们只知道矢量 ，它只是代表了潜在的概率，而不是测量出的真实数值。

还有另外两个比较重要的问题。第一个重要的问题是， 和 是相互正交的，因此：

其物理意义是，如果自旋被制备到向上的话，那么观测到它向下的概率为0，反之亦然。这一点非常重要，我再重申一下。两个正交的态在物理上是不同的，并且是相互排斥的。如果自旋处于其中一个态，它就不可能（零概率）处于另一个态。这种规律不只适用于自旋，它在所有量子系统中都成立。

但不要把正交态矢量和空间中的正交方向混淆起来。实际上，向上和向下在真实空间中当然不是正交的，尽管它们在态空间中是正交矢量。

第二个重要的问题是，各种可能性的概率之和必须等于1，因此：

这相当于说矢量 是个归一化矢量，因此：

这是量子力学中具有普遍性的原理，它适用于所有量子系统，即一个系统的态用态矢量空间中的一个单位（归一化）矢量来表示，而且这个态矢量指向基底方向分量的模的平方则代表相应实验结果的概率。 /p6nAT5chrmXjSvN7gSINlUhLrjLDQOF1IAwPMlzlax1uitnCe81oUkw5yhme6sZ