数学补充：矢量空间

公理

对于经典物理学，态空间是所有可能的态的集合，同时经典物理学遵从布尔逻辑，这样的思路是很明显的，很难设想还有其他可能。可是真实的世界却行走在另一条路上，至少在量子力学不可被忽视的时候。量子系统的态空间不是一个数学集合 ，而是一个矢量空间。矢量空间中元素的相互关系与集合中元素之间的关系并不相同，遵从的逻辑也不相同。

在介绍矢量空间之前，我们需要弄清楚矢量这个术语的含义。众所周知，我们使用矢量这个术语去描述一个具有大小和方向的量，它有三个方向，对应空间中的三个维度。现在希望你完全忘记这些。从现在开始，当我们提到在通常的空间中具有大小和方向的量时，将明确地使用“3-矢量”这个词。而数学上的矢量空间是一个抽象的构造，它可以是通常我们熟悉的那个空间，也可以不是。它可以有很多维度，从一到无穷大，它的分量可以是整数、实数甚至更常规的东西。

我们用来定义量子力学的矢量空间被称为希尔伯特空间，我们不会在这里给出它的数学定义，不过你可能要把这个术语加到你的字典里了。当你在量子力学里遇到希尔伯特空间这个词时，它指的是态空间。希尔伯特空间可以是有限维的也可以是无限维的。

在量子力学中，一个矢量空间是由元素 来组成的， 叫作右矢量（ket-vector），或者直接叫作右矢（ket）。我们将用下面的几条公理来定义一个量子系统的矢量空间（ z 和 ω 是复数）：

1.任意两个右矢量的和还是右矢量：

2.矢量加法满足交换律：

3.矢量加法满足结合律：

4.存在唯一的零矢量，使任何右矢量与之求和都等于该右矢量本身：

5.给定任意的右矢量 ，都有唯一的右矢量 满足：

6.给定任意的右矢量 和任意复数 z ，它们相乘可以得到一个新的右矢量，同时右矢量与标量的乘法是线性的：

7.满足分配律：

公理6和公理7经常统称为线性公理。

一般的3-矢量都满足除公理6以外的上述公理。公理6描述了一个矢量与任意一个复数相乘的情况。而通常的3-矢量要乘以一个实数（正数、负数或者0），它与复数的乘法没有定义。可以认为3-矢量形成的是一个实矢量空间，而右矢量形成的是复矢量空间。我们这里的右矢量定义是相当抽象的，后文将看到右矢量还有很多具体的表示方式。

函数与列矢量

关于复矢量空间，让我们看一些具体的例子。首先考虑一个自变量为 x 的连续复函数，记为 A ( x )。用任意两个函数做加法，并用复数相乘，你会发现它满足上面所有7条公理。这是一个明显的例子，说明了我们所讲的东西要比三维箭头更具一般性。

另外一个例子是两维的列矢量。通过堆叠一对复数 α ₁ 和 α ₂ 就能构造一个列矢量：

这个堆叠就是一个右矢量 ，而复数 α 是 的分量。两个列矢量的和等于它们分量的求和：

将列矢量乘以一个复数 z ，等于分别乘以其分量：

可以构造任意维度的列矢量，例如一个5维的列矢量：

正常情况下，我们不会混用不同维度的矢量。

左矢量与右矢量

正像我们看到的那样，每个复数都有一个对偶的复数，就是它的复共轭。同样，复矢量空间也有自己的对偶空间，那正是复共轭矢量空间。对每一个右矢量 ，在对偶空间中都存在一个左矢量，或者叫左矢（bra），记为 。为什么使用这么奇怪的记法呢？简单来说，后边我们将要定义左矢量和右矢量的内积，形式上是bra-ket，表达式为 。内积是量子力学中极其重要的数学武器，通常用来描述矢量空间。

像右矢量一样，左矢量也满足同样的公理。关于左矢量和右矢量的对应要记住下面两点：

1.假设 是对应于右矢 的左矢量，而 是对应于右矢量 的左矢量，则对应于右矢量 的左矢量为：

2.如果 z 是复数，对应于右矢量 的左矢量并不是 。一定要记得使用复共轭，所以对应于右矢量 的左矢量是：

在另一个具体的例子中，右矢量用列矢量表示，而对偶的左矢量则用行矢量表示，且每一项都改成复共轭。也就是说，如果右矢量 表示为列矢量：

那么对应的左矢量 表示为行矢量：

内积

无疑，你熟悉定义在3-矢量之间的点积，那么类比到左矢量和右矢量上的操作就是内积。内积就是左矢量和右矢量的乘积，写作：

这个操作的结果是一个复数。关于内积的公理如下：

1.内积是线性的：

2.对应于它的复共轭，须交换左矢量和右矢量：

Quantum Mechanics　量子力学练习

练习1-1：

a)运用内积的公理证明

b)证明 是一个实数。

当用行矢量和列矢量来表示左矢量和右矢量时，内积可以定义成其分量的形式：

本质上，内积的运算规则和点积是一样的，计算内积就是将两个矢量对应分量乘积求和。

Quantum Mechanics　量子力学练习

练习1-2： 证明公式1-2定义的内积满足所有关于内积的公理。

使用内积，我们可以定义一些3-矢量中熟知的概念。

· 归一化矢量（normalized vectors） ：一个与自身内积的结果等于1的矢量被称为归一化矢量。归一化矢量满足

对于通常的3-矢量，归一化矢量常常也被叫作单位矢量，因为其长度是单位1。

· 正交矢量（orthogonal vectors） ：如果两个矢量的内积为0，则称为两者正交。即

类比于3-矢量的情况，正交就是点积为零。

正交基底

回到通常的3-矢量的情况，引入3个互相正交的单位矢量是非常有用的，它们可作为构造任意矢量的基底。举一个简单的例子：分别指向 x 、 y 、 z 轴方向的3个矢量，我们通常把它们叫作 、 和 ，它们的长度都是1，而且是彼此正交的。如果你想要找到与它们垂直的第4个矢量，那将是徒劳的，这在三维空间中是不可能的。但在更高维度的空间中，就会有更多的基底矢量。空间的维度可以用最大的相互正交矢量的数目来定义。

很明显， x 、 y 、 z 轴并没有什么特殊之处，只要基底矢量具有单位长度并且相互正交，它们就构成正交基底。

同样的原则也可以用在复数空间中。你可以从任意的一个归一化矢量开始寻找下一个与它正交的矢量，如果真的找到了，说明空间至少是二维的，然后找第3个、第4个等。最后你会用光所有新的方向，也就没有了任何新的可以正交的选择。这个最大的相互正交的矢量的数目就是空间的维度。对于列矢量来说，维度等于这一列中数字的个数。

让我们考虑一个 N 维的空间，其中定义好了一组右矢量正交基底，记为 ，其中 i 取值从1到 N 。那么对于一个右矢量 ，就能写成：

这里 α _i 是复数，被称为矢量的分量，我们可以使用左矢量 对上式两边同时取内积来计算这些分量：

因为基底相互正交，所以只要 i 不等于 j 时， =0，而 i 等于 j 时， 。换言之， 。这样一来，公式1-4中的求和就只剩下一项：

从这里我们能够看出一个矢量的分量正是它与基底的内积。公式1-3就可以表达成更加优雅的形式： k9CzjlCH+dlhrBq2zpd0w8Rg3wb8N19TmIG3r3ee0qGyZswzTdtHmUY6S+dVA+jm