数学补充：复数

学习过“理论最小值”课程并一直学习到这里的每一个人都应该知道复数。但我们还是要用一点篇幅来重复一些要点。如图1-6所示为一些复数的基本要素。

图1-6　复数的两种表示方法

注：在笛卡尔坐标中， x 和 y 代表着横向（实部）和纵向（虚部）的分量。在极坐标中， r 代表半径， θ 代表从 x 轴方向开始偏离的角度。在每种表示中都需要两个实数来表示一个复数。

一个复数 z 是一个实数加上一个虚数。可以写作：

z = x +i y

其中的 x 和 y 是实数，而i ² =-1，复数可以按照标准的代数法则进行加法、乘法和除法操作。并且复数可以图像化为复平面上的点，坐标是 x 和 y 。同样它也能在极坐标中进行表示：

z = r e ^{i θ} = r (cos θ +isin θ )

复数的求和很容易通过分量的形式来完成，只要分量分别相加即可。类似地，在极坐标中，乘法计算非常容易，也就是半径相乘，角度相加，如下式所示：

每个复数 z 都有它的复共轭（complex conjugate） z *，它很容易得到，只需把虚部前边反号即可，对于以下复数：

z = x +i y = r e ^{i θ}

其复共轭是：

z *= x -i y = r e ^{-i θ}

一个复数和它的复共轭相乘总会得到一个实数：

z * z = r ²

复共轭本身也是复数，但是把 z 和 z *认为属于各自独立的对偶系统是很有用的。所谓对偶的意思是每一个 z 都对应唯一的一个 z *，反之亦然。

有一类特殊的复数我们称之为“相因子”，相因子是 r 分量恒为1的复数。如果 z 是相因子，那么它有如下的一些表达式：

z * z =1

z =e ^{i θ}

z =cos θ +isin θ FIzD0SXjNIWJindcsAkIrSNmjI6jlPLfTad7o5Q2VK4thwBIs/b3lNiguPoruXVq