命题的真相

经典物理学中的态空间是一个数学集合。如果是硬币系统，态空间是含有两个元素 H 和 T 的集合。使用集合的记号，我们可以标记为{ H ， T }。如果系统是6个面的骰子，那么态空间有6个元素，标记为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。集合论遵从布尔逻辑（Boolean logic），而布尔逻辑是我们熟知的命题逻辑的形式化版本。

布尔逻辑中的基本思想在于“真值”（true value）的概念。一个命题的真值只能取真或者假，不容许介于真假之间。在集合论里，与之相关的概念是子集。粗略地说，一个命题为真，是指所有元素都包含在它所对应的子集里；反之为假，也就是所有的元素都不在它的子集里。例如，如果用集合代表骰子可能的状态，就可以考虑如下命题：

A ：骰子的数值为奇数。

对应的子集包含有三个元素{1, 3, 5}。

其他命题的情况为：

B ：骰子的数值小于4。

对应的子集包含的元素有{1, 2, 3}。

每个命题都有它的反面，也叫负命题（negation）。例如：

非 A ：骰子的数值不是奇数。

这个负命题的子集是{2, 4, 6}。

简单命题按照一定的规则可以结合成复合命题，其中最重要的有“与”“或”“非”。我们刚刚看到的这个例子就是把“非”应用于一个子集或者命题上。“与”取其字面意思，它的应用对象是两个命题 。它意味着两个命题都要是真的。从元素的角度来说，“与”运算的结果是原来的两个子集的交集（共有部分）。在骰子的例子中，子集 A 和 B 的交集所包含的元素必须既是奇数又小于4。图1-5使用维恩图来解释这一点。

“或”的规则类似于“与”，但有一点微妙。在日常的语境中，“或”有表达互斥（exclusive）的意思，也就是说两个命题中只有一个是真的，而不能同时为真。然而在布尔逻辑中使用的“或”是相容的（inclusive），只要两个命题中的一个为真，则结果为真。比如如下事实：

爱因斯坦发现了相对论 或 牛顿是英国人。

在使用相容的“或”时，下面的命题也为真：

爱因斯坦发现了相对论 或 牛顿是俄国人。

只有在两个命题都为假的时候，相容的“或”才是假的，比如命题：

爱因斯坦发现了美洲 或 牛顿是俄国人。

在集合论里相容的“或”，可以解释成两个集合的总和，也就是包含两个子集中的全部元素。回到骰子实验，（ A 或 B ）对应的子集是{1, 2, 3, 5}。 51rNzbhGXu4ZPhkG5dD0EVc4w0h5RsDwzTPEkefWG1axXEkaoGiF3/2qUuIlBYCs