第1章
十六进制计数法

电子计算机，顾名思义，就是计算的机器。因此，学习汇编语言，就不可避免地要和数字打交道。在这个过程中，我们要用到三种数制：十进制（这是我们再熟悉不过的）、二进制和十六进制。本章的目标是：

1.熟悉后两种数制，了解这两种数制的计数特点；

2.能够在这三种数制之间熟练地进行转换，特别是在看到一个二进制数时，能够口算出它对应的十六进制数，反之亦然；

3.对于0～15之间的任何一个十进制数，能够立即说出它对应的二进制数和十六进制数。

1.1　二进制计数法回顾

1.1.1　关于二进制计数法

在《穿越计算机的迷雾》那本书里我们已经知道，计算机也是一台机器，唯一不同的地方在于它能计算数学题，且具有逻辑判断能力。

与此同时，我们也已经在那本书里学到，机器在做数学题的时候，也面临着一个如何表示数字的问题，比如你采用什么办法来将加数和被加数送到机器里。

同样是在那本书里，我们揭晓了答案，那就是用高、低两种电平的组合来表示数字。如图1-1所示，参与计算的数字通过电线送往计算机器，高电平被认为是“1”，低电平被认为是“0”，这样就形成了一个序列“11111010”，这就是一个二进制数，在数值上等于我们所熟知的二百五，换句话说，等于十进制数250。

从数学的角度来看，二进制计数法是现代主流计算机的基础。一方面，它简化了硬件设计，因为它只有两个符号“0”和“1”，要得到它们，用最少的电路元件来接通或者关断电路就行了；另一方面，二进制数与我们熟悉的十进制数之间有着一对一的关系，任何一个十进制数都对应着一个二进制数，不管它有多大。比如，十进制数5，它所对应的二进制数是101，而十进制数5785478965147则对应着一长串“0”和“1”的组合，即1010100001100001001011010110010011110011011。

组成二进制数的每个数位，称为一个比特（bit），而一个二进制数也可以看成一个比特串。很明显，它的数值越大，这个比特串就越长，这是二进制计数法不好的一面。

1.1.2　二进制到十进制的转换

每种计数法都有自己的符号（数符）。比如，十进制有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个符号；二进制呢，则只有0、1这两个符号。这些数字符号的个数称为基数。也就是说，十进制有10个基数，而二进制只有两个。

二进制和十进制都是进位计数法。进位计数法的一个特点是，符号的值和它在这个数中所处的位置有关。比如，十进制数356，数字6处在个位上，所以是“6个”；5处在十位上，所以是“50”；3处在百位上，所以是“300”，即

百位3、十位5、个位6=3×10 ² +5×10 ¹ +6×10 ⁰ =356

这就是说，由于所处的位置不同，每个数位都有一个不同的放大倍数，这称为“权”。每个数位的权是这样计算的（这里仅讨论整数）：从右往左开始，以基数为底，指数从0开始递增的幂。正如上面的公式所清楚表明的那样，“6”在最右边，所以它的权是以10为底、指数为0的幂10 ⁰ ；而3呢，它的权则是以10为底、指数为2的幂10 ² 。

上面的算式是把 十进制 数“翻译”成 十进制 数。从十进制数又算回到十进制数，这看起来有些可笑，注意这个公式是可以推广的，可以用它来将二进制数转换成十进制数。

比如一个二进制数10110001，它的基数是2，所以要这样来计算与它等值的十进制数：

10110001B=1×2 ⁷ +0×2 ⁶ +1×2 ⁵ +1×2 ⁴ +0×2 ³ +0×2 ² +0×2 ¹ +1×2 ⁰ =177D

在上面的公式里，10110001B里的“B”表示这是一个二进制数，“D”则表示177是一个十进制数。“B”和“D”分别是英语单词Binary和Decimal的首字母，这两个单词分别表示二进位和十进位的意思。

◆　检测点1.1

将下列二进制数转换成十进制数：

1101、1111、1001110、11111111、10000000、1101101100011011

1.1.3　十进制到二进制的转换

为了将一个十进制数转换成二进制数，可以采用将它不停地除以二进制的基数2，直到商为0，然后将每一步得到的余数串起来即可。如图1-2所示，如果要将十进制数26转换成二进制数11010，那么可采用如下方法：

第1步，将26除以2，商为13，余数为0；

第2步，用13除以2，商为6，余数为1；

第3步，用6除以2，商为3，余数为0；

第4步，用3除以2，商为1，余数为1；

第5步，用1除以2，商为0，余数为1，结束。

然后，从下往上，将每一步得到的余数串起来，从左往右书写，就是我们所要转换的二进制数。

◆　检测点1.2

将下列十进制数转换成二进制数：

8、10、12、15、25、64、100、255、1000、65535、1048576

1.2　十六进制计数法

1.2.1　十六进制计数法的原理

二进制数和计算机电路有着近乎直观的联系。电路的状态，可以用二进制数来直观地描述，而一个二进制数，也容易使我们仿佛观察到了每根电线上的电平变化。所以，我们才形象地说，二进制是计算机的官方语言。

即使在平时的学习和研究中，使用二进制也是必需的。一个数字电路输入什么，输出什么，电路的状态变了，是哪一位发生了变化，研究这些，肯定要精确到每比特。这个时候，采用二进制是最直观的。

但是，二进制也有它的缺点。眼下看来，它最主要的缺点就是写起来太长，一点也不方便。为此，人们发明了十六进制计数法。至于为什么要发明另一套计数方法，而不是依旧采用我们熟悉的十进制计数法，下面就要为大家解释。

一旦知道二进制有两个数符“0”和“1”，十进制有十个数符“0”到“9”，那么我们就会很自然地认为十六进制一定有16个数符。

一点没错，完全正确。这16个数符分别是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F。

你可能会觉得惊讶，字母怎么可以当作数字来用？这样的话，那些熟悉的英语单词，像Face（脸）、Bad（坏的）、Bed（床）就都成了数。

这又有什么奇怪的？你觉得“0”“5”“9”是数字，而“A”“B”不是数字，这是因为你从小习惯了这种做法。

对于自然数里的前10个，十进制和十六进制的表示方法是一致的。但是，9之后的数，两者的表示方法就大相径庭了，如表1-1所示。

很显然，一旦某个数位增加到9之后，下一次，它将变成A，而不是向前进位，因为这里是逢16才进位的。进位只发生在某个数位原先是F的情况下，比如1F，它加1后将会变成20。

1.2.2　十六进制到十进制的转换

要把一个十六进制数转换成我们熟悉的十进制数，可以采用和前面一样的方法。只不过，在计算各个数位的权时，幂的底数是16。将十六进制数125转换成十进制数的方法如下：

125H=1×16 ² +2×16 ¹ +5×16 ⁰ =293D

在上式中，125后面的“H”用于表明这是一个十六进制数，它是英语单词Hexadecimal的首字母，这个单词的意思是十六进制。

◆　检测点1.3

将下列十六进制数转换成十进制数：

8、A、B、C、D、E、F、10、1F、6CD、3FE、FFC、FFFF

1.2.3　十进制到十六进制的转换

如图1-3所示，相应地，要把一个十进制数转换成十六进制数，则可以采取不停地除以16并取其余数的策略。

第1次，将293除以16，商为18，余5；

第2次，用18除以16，商为1，余2；

第3次，再用1除以16，商为0，余1，结束。

然后，从下往上，将每次的余数1、2、5列出来，得到125，这就是所要的结果。

◆　检测点1.4

将下列十进制数转换成十六进制数：

8、10、12、15、25、64、100、255、1000、65535、1048576

1.2.4　为什么需要十六进制

为什么我们要发明十六进制计数法？为什么我们要学习它？

提出这样的问题，在我看来很有趣，也很有意义，但似乎从来没有人在书上正面回答过。这样一来，学子们只能在掌握了十六进制若干年之后，在某一天自己恍然大悟。

为了搞清楚这个问题，我们不妨来列张表（见表1-2），看看十进制数、二进制数和十六进制数之间，都有些什么有趣的规律和特点。

在上面这张表里（见表1-2），每个二进制数在排版的时候，都经过了“艺术加工”，全都以4比特为一组的形式出现。不足4比特的，前面都额外加了“0”，比如10，被写成0010的形式。就像十进制数一样，在一个二进制数的前面加多少个零，都不会改变它的值。

注意观察这张表并开动脑筋，4比特的二进制数，可以表示的数是0000～1111，也就是十进制的0～15，这正好对应于十六进制的0～F。

在这个时候，如果将它们都各自加1，那么，下一个二进制数是0001 0000，与此同时，它对应的十六进制数则是10，你会发现，它们有如图1-4（a）所示的奇妙对应关系。

再比如图1-4（b）中的二进制数1100 0011，它与等值的十六进制数C3也有着相同的对应关系。

也就是说，如果将一个二进制数从右往左，分成4比特为一组的形式，分别将每一组的值转换成十六进制数，就可以得到这个二进制数所对应的十六进制数。

这样一来，如果我们稍加努力，将0～F这16个数所对应的二进制数背熟，并能换算自如的话，那么，当我们看到一个十六进制数3F8时，我们就知道，因为3对应的二进制数为0011，F对应的二进制数是1111，8对应的二进制数是1000，所以3F8H=0011 1111 1000B。

同理，如果一个二进制数是1101 0010 0101 0001，那么，将它们按4比特为一组，分别换算成十六进制数，就得到了D251。

正如前面所说的，从事计算机的学习和研究（包括咱们马上就要进行的汇编语言程序设计），不可避免地要与二进制数打交道，而且有时还必须针对其中某些比特进行特殊处理。这个时候，如果想保留二进制数的直观性，同时还要求写起来简短，十六进制数是最好的选择。

◆　检测点1.5

1.将下列十六进制数转换成二进制数：

3、A、C、F、20、3F、2FE、FFFF、9FC05D、7CCFFEFF

2.快速说出以下十进制数所对应的二进制数和十六进制数：

1、3、5、7、9、11、13、15、0、2、4、6、8、10、12、14

1.3　使用Windows计算器方便你的学习过程

和十进制数一样，二进制数和十六进制数也可以进行加、减、乘、除运算。比如，两个十六进制数F和A相乘，结果是十六进制数96。从十进制的角度来看这个计算过程，就是两个十进制数15和10相乘，结果为150。

在学习汇编语言程序设计的过程中，出于解决实际问题的需要，经常要在编写程序时做一些计算工作。十进制就不说了，我们都很熟悉，计算起来驾轻就熟。但是，如果是几个二进制数进行加减乘除，或者几个十六进制数加减乘除，就很困难了。想想看，为了做十进制乘法，我们要背九九乘法口诀。而十六进制有16个基数，它的乘法口诀就更多了。

这本书的目的不是教会你十六进制四则运算的方法和步骤，不是这样的。相反，我希望你能借助一些工具来快速得到计算结果，从而把更多的精力放到学习汇编语言上。

不是所有知识都应当放在脑子里，要善于利用工具！

为了将较大的数转换成不同的数制，或者进行某种数制的四则运算，可以使用Windows计算器。这是一个小软件，每个版本的Windows操作系统都有，你应该很熟悉，其界面如图1-5所示。注意，如果该程序运行后的界面与此不同，则可以通过选择菜单“查看”→“程序员”进行更改。

计算器软件的使用方法并不复杂，只需要稍加练习即可掌握。比如，选择单选钮“十六进制”，然后输入一个十六进制数。此时，如果你再选择单选钮“十进制”，则刚才输入的内容就会立即变成十进制的形式，这就是进行数制转换的一个例子。

◆　检测点1.6

1.用计算器程序将FFCH转换成十进制数和二进制数；

2.用计算器程序计算FFCH乘以27C0H的结果，并转换成二进制数。

本章习题

1.口算：

5H=___D　　　　　　12D=___H　　　　　0FH=___D=___B

0CH=___D=___B　　　0AH=___D=___B　　8D=___H=___B

0BH=___D=___B　　　0EH=___D=___B　　10H=___D=___B

2.口算：

10010B=___H　　15H=___B　　8FH=___B　　200H=___B　　111111111B=___H 6Q6STh+TVwmKFUdPesNUcgidBpVaw3umGO2U3SsXe14DQJ9a4aJPnS1smrK15oSb