1.3　非线性光学的理论基础

1.3.1　二阶非线性极化现象

自然界中的每种电介质材料都有一个宏观的电极化强度 P ，可以用数学形式表述为所施加电场的功率展开式：式中， ε ₀ 是电介质真空介电常数； χ 是电介质极化率， χ ^（1） 和 χ ^{（ n ）} 分别是线性和第 n 阶非线性极化率。电介质极化率是非线性光学中的重要参量。由它的大小和方向可预测非线性光学效应许多性质。它的数值既与介质有关，又与互作用光波频率有关，还与各光波偏振方向和极化强度分量有关，是一个三维方向的张量。在传统线性光学下，由于 χ ^（1） ＞＞ χ ^{（ n ）} ，并且所施加于电介质材料的电场强度相对较弱，所以高阶效应往往被忽略。因而所产生的极化线性地依赖于电介质所施加电场的强度：

可以看到，电极化密度展开式第一项并没有产生新的频率部分，仅适用于描述线性光学现象，如折射、衍射和色散等现象。

以激光光束和特定电介质的相互作用为研究对象，如果电场强度足够强，则这种情形下的高阶项不可以忽略。对于大多数电介质而言， χ ^（2） ＞＞ χ ^（3） ，因而在这些电介质材料和激光相互作用时二阶非线性现象相对容易观察到。式（1.1）中的二阶项：叫做二阶非线性极化。通常来讲，三波混频通过二阶非线性极化发生。

非线性极化是电磁场产生新的频率成分的根源。假如考虑两个频率分别为 ω ₁ 和 ω ₂ 的光场同时作用于晶体上的合场强：

二阶非线性极化就可表示为

从上式中可以看到，输出项中包含一个与时间无关联的独立直流项（光整流项）及四个涉及新频率的生成项：

2 ω ₁ 、2 ω ₂ ——二次谐波（SHG）， ω ₁ = ω ₂ 。

ω ₁ + ω ₂ ——和频（SFG）， ω ₁ ≠ ω ₂ 。

ω ₁ - ω ₂ ——光学参量振荡/差频（OPO/DFG）。

以上三个过程可以依次用图1.1（a）、图1.1（b）和图1.1（c）表示。

理论上，如果有两个不同频率入射光波，则四个非零频率部分都存在于非线性偏振频率成分中。然而，通常在这四个非线性项中只有一项出现，这是因为只有满足特定相位匹配条件的非线性偏振激光互作用才可以高效地生成非线性参量光。一般情况下，两个不同频率成分的非线性偏振激光不易同时满足相位匹配条件。

二次谐波是形式最简单的三波混频互作用，它可以被认为是特定的和频过程，即 ω ₁ = ω ₂ 的情况。也就是说，入射激光中只有一个频率成分 ω ，依据式（1.5）可以得出，输出仅仅留下二次谐波成分项2 ω ，这也是二次谐波过程被叫做倍频的原因。在二次谐波过程中，两个频率为 ω 的光子被湮灭，同时生成一个频率为2 ω 的光子，整个过程满足能量守恒定律。

当前二次谐波实验中已经拥有的技术，可以实现几乎所有的入射基波转化为二次谐波输出，二次谐波是发展新型非线性材料和装置最先用到的非线性频率转换过程。二次谐波实验的实现也为和频、差频或OPO等其余非线性频率转换实验的实现和设计提供了经验和帮助。

1.3.2　二阶非线性极化系数的简化

实际中的电介质极化（包括线性极化和非线性极化）是一个涉及 i 、 j 、 k 三个方向的三维问题。 i 方向极化强度振幅 P _i 和三维表象中任一确定方向上电场强度振幅 E _j 、 E _k 存在如下关系：

式中， d _ijk 称为二阶非线性极化系数，同样是一个三阶张量，其数值大小和三维表象中确定方向的二阶非线性极化率 存在如下关系：

式（1.6）中 E _j （ ω ₁ ）和 E _k （ ω ₂ ）表示频率分别为 ω ₁ 和 ω ₂ 的光场强度，二者在地位上是平等的，如果对二者做交换，在物理上没有任何区别，因而这两个量满足交换对称性。相应地，三阶张量 d _ijk 的最后两个角标也是对称的，即 d _ijk = d _ikj 。这样，三个角标表示的三阶张量 d _ijk （或 d _ikj ）就可以简化为两个角标表示的张量 d _il 。角标 jk 和 l 的对应关系如下：

按照上述角标交换法，三阶张量元中独立分量将简化为18个。实际中，可以用一个简化的3×6矩阵描述二阶极化方程。例如，对于三波混频过程，可以重写非线性偏振矩阵表达式为

由于非线性作用中光频率幅度比电子跃迁频率至少低一个数量级，同时远高于离子移动频率。这样，晶格对于光子的吸收可以忽略，而晶体的极化主要由电子极化引起，如果非线性晶体材料对整个光波长透明，那么非线性极化自由能可以表示为

同理，式（1.10）中 E _i 、 E _j 和 E _k 三个量也满足交换对称性，也就是说，三者位置可以任意交换而不影响其公式的物理意义。因而三阶张量 同样满足角标交换对称性，这就是著名的Kleinman交换对称性。该对称性分析基于电子极化，但是不考虑晶体对光子的吸收。对于无吸收的介质材料而言，所有 d _ijk 三阶张量元都是实数且独立于入射光波的频率。利用Kleinman交换对称性，三阶张量 d _il 中的独立元将进一步减少，二阶非线性极化公式的应用也将进一步简化。这样，可以得到如下对等关系：

d ₂₁ = d ₁₆ ； d ₂₃ = d ₃₄ ； d ₂₄ = d ₃₂ ； d ₂₆ = d ₁₂ ；

d ₃₁ = d ₁₅ ； d ₃₅ = d ₁₃ ； d ₃₆ = d ₁₄ ； d ₁₄ = d ₁₄ 。

依据Kleinman交换对称性，所得约化独立张量 d _il 的矩阵形式为

对于给定点群对称性相同的晶体，其约化矩阵中的张量元有相同的表达形式，并且都满足相同的对称约束条件。例如，铌酸锂晶体属于3m点群三方晶系，其张量元 d _il 仅有三个独立的系数：

从而铌酸锂晶体的二阶非线性极化矩阵就可以写作：

依据上式，在非线性互作用中，如果三波偏振均沿着晶体 z 轴方向，则可以利用到铌酸锂晶体的最大非线性系数 d ₃₃ ，而这种情况只有在准相位匹配材料中才可以用到，具体会在书中后续部分介绍。为了将高效的能量转移到新生成的谐波中，非线性媒介的偶极子振荡要满足相位匹配条件以实现生成光场相长干涉。

均匀的铌酸锂晶体可广泛用于生成周期极化铌酸锂基片，晶体中 d _il 非零张量元系数的值为

d ₂₂ =2.1pm/V

d ₃₁ =4.35pm/V

d ₃₃ =27.0pm/V

常用非线性晶体的 d _il 张量元如表1.1所示。

二阶非线性极化系数的定义使一个三阶张量方程简化成一个标量方程，二阶非线性极化问题转化为一维问题，使得非线性晶体的计算变得简洁容易；同时，由于其以数学形式规划了非线性偏振的方向，给人们选择不同偏振匹配方式进而获得更大功率谐波输出提供了显著的指导意义。

1.3.3　非线性介质中的耦合波方程

这一部分主要讲述麦克斯韦方程组如何描述光场中新的频率部分的生成，以及各个不同频率成分如何经非线性过程实现彼此的耦合。麦克斯韦方程组以国际单位表述为

其中， E 是电场强度； H 是磁场强度； D 是电位移矢量； B 是磁感应强度； J 是自由电流密度； ρ 是自由电荷密度。因为研究对象为电介质材料，所以

一般认为非线性晶体材料为非铁磁性材料，则

其中， μ 是材料的磁导率； μ ₀ 是真空磁导率。然后，可以考虑非线性偏振为

上式中 ε ₀ 是真空介电常数， ε _r 是材料相对介电常数。

对式（1.16）两边同时取旋度：

联立式（1.17）、式（1.18）、式（1.20）和式（1.22），可以得到如下方程：

利用式（1.22）及无源情况下的矢量变换定律（∇×（∇× E ）=∇（∇· E ）-∇ ² E ），可以得到慢变近似下的非均匀光学波动方程：

其中， r 表示光场传播位移； c 表示真空光速；偏振矢量 P 通常表示线性和非线性叠加的部分：

电场 E 和功率 P 均可以表示为有限个平面波的集合：

其中， E _n 是电场强度的空间慢变， ω _n 、 k _n 分别表示平面波频率成分和波数，将式（1.25）～式（1.28）代入式（1.24），可以得到如下波动方程：

在二阶非线性过程中，只关注二阶非线性极化，其可以表示为如下形式：

在实际应用中，张量元关系式 d _ijk = χ ^（2） /2通常代替 χ ^（2） 在公式中使用，这样对于二次谐波过程，基波 和二次谐波 二阶极化张量分别可以写作：

上式中， E _ω 和 E _{2 ω} 分别表示基波电场强度和二次谐波电场强度。

从而得到下列二次谐波的耦合波方程组：

式中，Δ k 为由于材料色散导致的相互作用光波的相速度失配量，可以表示为：

式中， k _ω 、 k _{2 ω} 分别是基波和二次谐波在非线性媒介中传播的波矢量，而参数 κ 是二次谐波过程中的能量耦合系数，具体可用下式表示：

式中， n _ω 、 n _{2 ω} 分别为基波和二次谐波的折射率； A _eff 为光波与晶体非线性作用的有效面积； d _eff 为有效非线性系数。

在边界条件 E _ω （0）= E ₀ 、 E _{2 ω} （0）=0的限定下（ E ₀ 是入射泵浦场的振幅），耦合波方程式（1.33）和式（1.34）有如下两种解析情况。

1.泵浦弱损耗情形

在小信号近似下，认为谐波转换效率较低，因此泵浦光在非线性互作用过程中损耗较小，即沿光波传播方向 z 上， E _ω （ z ）= E ₀ ，在此边界条件限定下，联立耦合波方程式（1.33）和式（1.34），可以得到如下二次谐波电场及二次谐波生成功率解析解：

对应非线性转换效率为

式中， c 表示真空光速。

2.泵浦高损耗情形

当基波转换效率足够高时，不能再认为基波功率损耗是常数。为了求出谐波功率解析解，需要给予耦合波方程式（1.33）和式（1.34）边界条件（ E _ω （0）= E ₀ ， E _{2 ω} （0）=0）限定，耦合波间非线性功率转换关系为

其中， 。

在相同光学参量谐波互作用下，作者计算了基波高损耗和弱损耗条件下二次谐波转换效率随晶体长度的变化关系，如图1.2所示。从图1.2中可以看到，随着非线性晶体有效可利用长度的增加，在基波高损耗条件下，二次谐波非线性转换效率几乎可以达到100%。而实际情况下，非线性过程需要满足特定的偏振匹配，晶体真正可以利用的有效长度极其有限，只有满足合适的相位匹配条件，才可以尽量增大晶体的有效使用长度，准相位匹配晶体就是为了这一目的而设计的。

三波耦合方程不仅可以普遍地用于二次谐波的生成，也可以用作刻画其他任何三波混频过程，如和频、差频、光学参量放大等。在合理的近似下，都可以得到它们对应的解析解。 ckiPVo219C3OmncZv7mDSc7KI+Zj1j9QHoXt63PmC06BT8nqlCSK0BPXLUPacZrO