2.3　大圆航线及其引导参数的计算

我们注意到，从地心到地球椭球面上的一点可以引出一个向量，该向量称为地垂线，可以用它唯一确定地球球面上的一点。因此地球椭圆面上任意一点还可以用地垂线向量表示。若地球椭球面上 P 点的经纬高坐标为（ L ， λ ， h ），则 P 点的地垂线向量为

大圆是过球心的平面和球面相交所得到的曲线，根据空间几何的知识可知，大圆航线是球面上的最短航线。因此，飞行器在远距飞行时，常用大圆航线。有了地垂线向量后，大圆航线可以用大圆航线起点 P ₁ （ L ₁ ， λ ₁ ， h ）和终点 P ₂ （ L ₂ ， λ ₂ ， h ）的地垂线向量的叉乘表示，如图2-3所示。显然，这个叉乘也是大圆航线所在平面的法向量。

2.3.1　大圆航线应飞航向（真航向）

大圆航线起点 P ₁ （ L ₁ ， λ ₁ ， h ）和终点 P ₂ （ L ₂ ， λ ₂ ， h ）所在的大圆面与过起点 P ₁ 的子午面的夹角为大圆航向，以正北为0°，顺时针方向为正。显然，大圆航向是大圆航线所在大圆面的法线 和过起点 P ₁ 的子午面的法线 u _e 的夹角，其计算公式为

其中，

2.3.2　大圆航线侧偏距计算

大圆航线侧偏距的计算如图2-4所示，设飞机从航路点 P ₁ （ L ₁ ， λ ₁ ， h ）飞向 P ₂ （ L ₂ ， λ ₂ ， h ），飞机的瞬时位置为 P ，大圆弧 PM 的长度即侧偏距。其中， M 点是 P 点到大圆弧 P ₁ P ₂ 的最短弧长所确定的点。显然，过 M 点的大圆弧 PM 的切线垂直于 u _{P 1} 和 u _{P 2} 所确定的平面。设沿该切线的单位向量为 ， P _{i -1} 点和 P _i 点的地垂线单位向量分别为 u _{P 1} 与 u _{P 2} ，则

一般用∠ uu _M 表示向量 u 和 u _M 的夹角，由图2-4（b）可知， ，那么 ，故 。

综上可知，大圆航线侧偏距计算公式为

其中，

2.3.3　大圆航程计算

若在飞机大圆航线上的两个航路点的经纬高坐标分别为 P ₁ （ L ₁ ， λ ₁ ， h ）和 P ₂ （ L ₂ ， λ ₂ ， h ），则利用球面余弦定理可计算出 P ₁ 点到 P ₂ 点的大圆弧长度。具体计算步骤如下：

式中， L ₁ 为起点的纬度， λ ₁ 为起点的经度， L ₂ 为终点的纬度， λ ₂ 为终点的经度， a 和 b 为中间变量， θ _rng 为起点与终点的大圆夹角， R 为WGS-84椭球体半径， l _dist 为大圆弧长度。

2.3.4　大圆航线的正解

大圆航线尽可能精确且高效。大圆航线的计算包括大圆航线的正解和大圆航线的反解，大圆航线的正解是指已知起点的经度 λ ₁ 、纬度 L ₁ 、方位角 χ _az 和大圆弧长，求终点的经度 λ ₂ 和纬度 L ₂ 。

大圆航线的正解为

2.3.5　大圆航线的反解

大圆航线的反解是指已知起点的经度和纬度，以及终点的经度和纬度，求大圆弧长和方位角。大圆航线的反解通常由球面三角余弦定理计算得到，或由向量法计算得到，尽管两种计算方法在数学原理上是精确的，但在计算机上前者存在不可靠的情况，例如，在处理cos（ θ ₁ - θ ₂ ）时，若 θ ₁ 与 θ ₂ 的差值较小，则其舍入误差将对大圆弧长的精度造成较大的影响，进而影响大圆航线正解得到的终点的经度和纬度精度；而后者通过解方程组，需要考虑多种情况，不仅代码冗长而且计算效率低下。为了解决上述问题，可以使用Haversine公式（半正矢公式）对球面三角余弦定理进行改进。

Haversine公式定义如下：

令 θ = θ _rng ，可得

利用半正矢公式计算大圆航线的反解，可得

式中， a ＇为中间变量。另外，还需要进行方位角计算： Wegyepo3lD4lflLofjCPj5tKdk8BnFsP3lA4ehQsXle3urNAqjxo7Oh2gKWQ3qep