3.1　中值定理

微分中值定理包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理．

3.1.1　罗尔定理

定理1(罗尔定理) 如果函数 y = f ( x )满足下列条件：

(1)在闭区间[ a ， b ]上连续；

(2)在开区间( a ， b )内可导；

(3) f ( a )= f ( b )．

那么在( a ， b )内至少存在一点 ξ ，使得 f ′( ξ )=0．

证 因为 f ( x )在[ a ， b ]上连续，由闭区间上连续函数的性质， f ( x )在[ a ， b ]上必定取得最大值 M 和最小值 m ，于是有以下两种情形：

(1) M = m ，则 f ( x )在[ a ， b ]上为一常数，而 f ′( x )在( a ， b )内恒为零，此时可取( a ， b )内任一点作为 ξ ，都有 f ′( ξ )=0．

(2) M ≠ m ，那么 M 、 m 中至少有一个不等于 f ( a )，不妨设 f ( a )≠ M (可类似证明 m ≠ f ( a )的情形)，则存在 ξ ∈( a ， b )，使得 f ( ξ )= M ，不论Δ x 是正是负，都有

f ( ξ +Δ x )- f ( ξ )≤0

由 f ( x )在开区间( a ， b )内可导， f ′( ξ )存在，有 得到

f ′( ξ )=0

罗尔定理的几何意义：如果曲线弧 y = f ( x )在 AB 段上连续，处处具有不垂直于 x 轴的切线，且两端点 A 与 B 的纵坐标相同，则在这曲线弧上至少能找到一点 C ，使曲线在这点的切线平行于 x 轴．如图3-1所示．

3.1.2　拉格朗日中值定理

定理2(拉格朗日中值定理) 如果函数 y = f ( x )满足下列条件：

(1)在闭区间[ a ， b ]上连续；

(2)在开区间( a ， b )内可导．

那么在( a ， b )内至少存在一点 ξ ，使得

分析 先从几何上入手．图3-2画出了[ a , b ]上的一条连续曲线 y = f ( x )，作弦 AB ，它的方程是

由于函数 y = f ( x )在( a ， b )内可导，因此曲线 y = f ( x )(除两端点外)每一点处都有切线，当我们把弦 AB 向上(或向下)平行地推移到曲线上距 AB 最远的一点 M (其横坐标为 ξ 时)所得直线 A ′ B ′就是曲线在点 M 的切线，由导数的几何意义，该切线的斜率是 f ′( ξ )，注意到 A ′ B ′ / /AB ，所以

由此可知拉格朗日中值定理的几何意义：如果连续曲线弧AB上处处具有不垂直 x 轴的切线，则在该弧段上一定能找到一点 M ，使得曲线在 M 处的切线与弦AB平行．

比较图3-1和图3-2，可见罗尔定理与拉格朗日定理的差异仅在于弦是否平行于 x 坐标轴．若图3-2中的 f ( x )能减掉弦下的Δ ABC ，就可转化成罗尔问题．要减掉的部分应是弦对应的方程．

证　作辅助函数

函数 F ( x )在闭区间[ a ， b ]上满足罗尔定理条件：在[ a ， b ]上连续，在( a ， b )内可导，且 F ( a )= F ( b )，根据罗尔定理，在( a ， b )内至少存在一点 ξ ，使得

故得

应用拉格朗日中值定理时，常把上式写成下面形式

f ( b )- f ( a )= f ′( ξ )( b - a )

在区间[ x ， x +Δ x ]上应用拉格朗日中值定理时，结论可以写为

f ( x +Δ x )- f ( x )= f ′( ξ )Δ x ，　( x < ξ < x +Δ x )

根据拉格朗日中值定理，可以得到下面两个重要的推论．

推论1 若∀ x ∈( a , b )，有 f ′( x )=0，则在( a ， b )内 f ( x )为常值函数，即

f ( x )= C

证 ∀ x 1 , x 2 ∈( a , b )， x 1 < x 2 ，在区间[ x 1 ， x 2 ]上应用拉格朗日中值定理，得到

f ( x 2 )- f ( x 1 )= f ′( ξ )( x 2 - x 1 )，　( x 1 < ξ < x 2 )

由 ξ ∈( x 1 , x 2 )⊂( a , b )，有 f ′( ξ )=0，故得 f ( x 1 )= f ( x 2 )，这表明函数 f ( x )在( a ， b )内恒取同一个数值，即 f ( x )= C ．

推论2 若∀ x ∈( a , b )，有 f ′( x )= g ′( x )，则在( a ， b )内 f ( x )、 g ( x )相差一个常数，即

f ( x )= g ( x )+ C ．

证 设 F ( x )= f ( x )- g ( x )，则∀ x ∈( a , b )有

F ′( x )= f ′( x )- g ′( x )=0

由推论1，在( a ， b )内， F ( x )= f ( x )- g ( x )= C ，

故得

f ( x )= g ( x )+ C ．

推论1、2在积分学中有十分重要的意义．

例1 证明

证 设函数 f ( x )=arctan x +arccot x ，则函数 f ( x )在定义域内连续、可导，且 由推论1得 f ( x )恒等于常数 C ．又 所以

3.1.3　柯西中值定理

定理3(柯西中值定理) 设函数 f ( x )、 g ( x )满足下列条件：

(1)在闭区间[ a ， b ]上连续；

(2)在开区间( a ， b )内可导；

(3)在( a ， b )内任一点 g ′( x )≠0．

则在( a ， b )内至少存在一点 ξ ，使得

证 由于 g ( x )满足拉格朗日中值定理的条件，所以有

g ( b )- g ( a )= g ′( η )( b - a ) η ∈( a , b )

又由于 g ′( x )≠0且 b - a ≠0，所以

g ( b )- g ( a )≠0

作辅助函数

由于 φ ( x )在( a ， b )内满足罗尔定理的条件，则∃ ξ ∈( a , b )，使得

又由于 g ′( ξ )≠0，所以有

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广．因为如果取 g ( x )= x ，那么 g ( b )- g ( a )= b - a ， g ′( x )=1，因而公式就可以写成：

f ( b )- f ( a )= f ′( ξ )( b - a )　( a < ξ < b )

这就变成拉格朗日公式了．

柯西中值定理的一个重要应用就是下面的洛必达( L ’ Hospital )法则． d5w3zwp8+xxtsiev795mMNmOrin428vF8ecv4Lehv6MYPsgZAlLj2yE9M3QwZ/aU