第二章
自然数和人工数

最纯粹的数学

数学通常被人们（特别是被数学家）视为科学之王，而作为国王，它自然会回避与其他科学分支的“联姻”。举个例子，当戴维·希尔伯特被要求在“纯粹数学与应用数学联合大会”上发表开幕演讲，以帮助打消这两类数学家之间的明显敌意时，他却如此开篇：

“我们经常听说纯粹数学与应用数学之间存在相互的敌意。事实并非如此。纯粹数学与应用数学之间并无敌意。纯粹数学与应用数学之间从未有过敌意。纯粹数学与应用数学之间是不可能存在敌意的，因为，老实说，这两类数学之间没有任何共同点。”

但是，尽管数学喜欢纯粹，不喜欢接近其他学科，但其他学科，尤其是物理学，却很喜欢数学，并愿意尽可能拉近与数学的“兄弟情谊”。实际上，如今几乎所有纯粹数学的分支都已经被用来解释物理宇宙的这个或那个方面，包括抽象群理论、不对易算符的代数运算（简称不对易代数）和非欧几里得几何（简称非欧几何）等——这些领域一向被视为最纯粹的分支，不可能诉诸任何实际应用。

但迄今为止，有一个很大的数学分支除了刺激脑力发育外，始终未在任何方面发挥过作用，因此得以骄傲地保有“纯粹之王冠”。这就是所谓的“数论”（主要研究整数的性质），它也是纯粹数学思想中最古老和最复杂的产物之一。

虽然听起来可能很奇怪，但数论作为最纯粹的数学理论，从某种层面讲也是一种经验科学，甚至实验科学。实际上，它的大多数命题都源于尝试利用数字做各种不同的事，这一点和物理定律很像，后者源于尝试利用实物做各种不同的事。和物理学一样，数论的一些命题也已经在“数学上”被证实，另一些命题则完全来自于经验，至今仍在挑战最优秀的数学家大脑。

以质数问题为例，所谓质数，即一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除。1，2，3，5，7，11，13，17等都是质数，12则不是，因为它能写成2×2×3。

质数的数量是无限的吗，还是存在一个最大的质数，任何大于它的数都能写成前面的质数的乘积呢？这个问题最早由欧几里得本人提出，他也给出了很简洁的证明，证明了质数的数量无穷无尽，不存在一个所谓的“最大质数”。

为研究这个问题，让我们暂时假设质数的数量是有限的，并用字母 N 表示已知的最大质数。现在写出所有已知质数的乘积，然后加1。如下：

（1×2×3×5×7×11×13×…× N ）+1。

由此得出的数字显然比所谓的“最大质数” N 大得多。但很明显，这个数字无法被前面的任何质数（包括 N ）整除，因为从其构造方式看，该数字除以前面的任何质数，最后都会得出余数1。

因此，这个数字要么本身是质数，要么能被某个大于 N 的质数整除，无论如何，这都会打破我们一开始假定的 N 为最大质数的前提条件。

这种证明方法被称为归谬法，即反证法，是数学家最喜欢的方法之一。

知道了质数的数量无穷无尽后，我们就可以想一想，有没有什么简单的方法能一一列出所有质数，而无一遗漏呢？其中一种方法由古希腊哲学家和数学家埃拉托色尼首先提出，通常称为“埃拉托色尼筛选法”。具体做法就是写出完整的整数序列，1，2，3，4…然后先删除所有2的倍数，再删除所有3的倍数，然后删去所有5的倍数，依此类推。前一百个数字经埃拉托色尼筛选法筛选后的结果如图2-1所示，其中共有26个质数。目前，人类使用上述简单的筛选法，已经筛出了十亿以内的所有质数。

但这个方法实在不够便捷，我们能否设计一个公式，让它帮我们快速自动地找出所有质数呢？然而，经过千百年的尝试，这样的公式仍未诞生。1640年，著名的法国数学家费马以为自己设计出了这样一个仅生成质数的公式。

其公式是 。其中， n 代表1，2，3，4等连续的数字。

使用此公式，我们发现：

以上数字确实都是质数。但在费马宣布该公式约一百年后，瑞士德国数学家欧拉发现费马公式的第五次计算： 的结果4 294 967297并非质数，它能写成6 700 417×641。如此，费马计算质数的经验法则被证明是错误的。

能得出许多质数的另一个著名公式是： n ² n + 41，其中， n 依然等于1，2，3…。经证明，当 n 代表1~40时，应用上述公式都会得出一个质数，但不幸的是，当 n =41时它失败了。

事实上，（41） ² -41+41=41 ² =41×41，

这不仅不是个质数，还是个平方数。

另一个尝试的公式：

n ² -79 n +1 601，

一直到 n =79都是成立的，但败在了 n =80上面！

因此，人类要想创建一个只会得出质数的公式，还需继续努力。

另一个尚未被证实或证伪的有趣问题是1742年提出的哥德巴赫猜想，该猜想指出任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。在数字不大的情况下，我们能轻松证明它的正确性，例如：12=7+5，24=17+7和32=9+3。但即使数学家们做了大量工作，他们至今仍未对这个猜想的正确性给出结论性的证据，同时也未能找到否定这个猜想的例子。直到1931年，俄国数学家施尼雷尔曼才朝着问题的解决方案迈出了建设性的第一步。他证明了每个偶数都可写成不超过30万个质数之和。另一位俄罗斯数学家维诺格拉多夫将施尼雷尔曼的“30万个质数之和”与要证明的“2个质数之和”之间的差距大大缩小，他直接证到了“4个质数之和”。但从维诺格拉多夫的“4个质数”到哥德巴赫的“2个质数”的最后两步似乎是最难的，没人知道要证明或证伪这个艰深的猜想或还要几年或几百年的时间。

综上所述，我们可能还要很久才能找到一个能自动生成所有质数的公式，甚至不确定能否找到这样一个公式。

我们现在可以问一个不那么厉害的问题：能否确定一段数值区间内的质数百分比？当数字增大时，这个百分比是否会大致保持恒定？如果不会，它会变大还是变小？我们可以尝试通过清点表中给定的质数数量，从经验角度回答这个问题。我们发现小于100的质数有26个，小于1 000的质数有168个，小于1 000 000的质数有78 498个，小于1 000 000 000的质数有50 847 478个。将这些质数个数除以相应的数值间隔，可得出表2-1：

首先，表2-1显示质数个数的百分比随着数值范围的增大逐渐减小，但不存在一个质数个数消失的临界点。

有没有一个简单的数学公式来表示这种百分比随范围扩大而缩小的规律呢？答案是肯定的，而且这个有关质数平均分布的规律还是数学这门学问中最了不起的发现之一。这个规律很简单：从1到任意自然数 N 之间的质数的百分比大约等于 N 的自然对数 的倒数。 N 越大，这个规律越准确。

在表2-1中，第四列为 N 的自然对数的倒数。将这一列与前一列的数值进行对比，我们会发现两边的数值非常接近，而且 N 越大，越接近。

和许多其他数论命题一样，上面的质数定理最初也是凭经验得出的，而且很久都未得到严格的数学证明。直到19世纪末，法国数学家雅克·所罗门·阿达马和比利时数学家瓦莱·普桑终于成功证明了该定理，但证明方法过于复杂而艰深，在这里就不介绍了。

结束对整数的讨论前，我们不能不提一下著名的费马大定理，尽管该定理代表的一类问题与质数的性质没有必然联系。这个问题的根源可上溯至古埃及，当时，埃及的所有木匠都知道当三角形的三边比例为3︰4︰5时，一定有一个角是直角。实际上，古埃及人使用的木匠角尺就是一个这样的三角形，现在也有人称这样的三角形为埃及三角形。 ^[1]

公元3世纪，亚历山大时期的丢番图提出了一个问题：是否只有3和4这两个整数的平方和等于第三个整数的平方？他发现也有其他数字组合（实际上，这种组合是无穷无尽的）具有相同性质，并给出了寻找此类组合的一般规则。如今，这类三个边都是整数的直角三角形被称为毕达哥拉斯三角形，埃及三角形是第一个此类三角形。毕达哥拉斯三角形的三边构成可简单表述为以下方程，其中 x ， y 和 z 必须为整数： ^[2] x ² + y ² = z ² 。

1621年，皮埃尔·费马在巴黎买到丢番图的《算术学》一书的法语新译本，其中讨论了毕达哥拉斯三角形。读这本书时，他在空白处留了一小段批注，大意是：方程 x ² + y ² = z ² 有无数的整数解，而任何其他此类方程

x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ ，

当 n 是整数且大于2时，却没有任何整数解。

费马还写道：“我发现了一个绝妙的证明方法，但这里太窄写不下。”

费马死后，人们在其图书室发现了这本丢番图的书，这条批注也受到了关注。这是三百年前的事了，从那以后，各国最优秀的数学家们都试图重构费马批注时心中所想的证明，但至今仍没有结果。 可以肯定的是，他们朝着最终目标迈出了相当大的步伐，并且为证明费马定理创建了一个全新的数学分支，即所谓的“理想论”。欧拉证明了方程 x ³ + y ³ = z ³ 和 x ⁴ + y ⁴ = z ⁴ 得不出整数解，狄利克雷证明了方程 x ⁵ + y ⁵ = z ⁵ 得不出整数解，而通过几位数学家的联合努力，人类已经证明，当 n 小于269时，费马方程都不可能得出整数解。但至今尚未有一种适用于一切指数 n 的普遍证明，越来越多人也开始怀疑费马本人并未得出相应的证明，或者误以为自己得出了。后来，有人发布了10万德国马克的悬赏金以求证该定理，更多人开始研究这个问题，当然，所有冲着钱来的业余数学家们无一不空手而归。

当然，这个定理仍有可能是错误的，只要找到一个例子，其中两个整数的某次幂之和等于第三个整数的相同次幂即可。但这样的例子只可能存在于269次幂以上的情况，要找到它谈何容易。

神秘的

现在来看稍微高级一点的算术：“二二得四，三三得九，四四一十六，五五二十五。”因此：4的平方根是2，9的平方根是3，16的平方根是4，25的平方根是5。 ^[3]

但一个负数的平方根是多少呢？ 和 这样的写法有意义吗？

如果以理性的方式回答这个问题，毫无疑问，以上写法没有任何意义。

用12世纪的数学家婆什迦罗的话说：“正数的平方和负数的平方都为正。因此，一个正数的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。负数没有平方根，因为负数不是平方数。”

但数学家都是些倔强的人，当某些看似毫无意义的东西反复出现在他们的公式中时，他们会竭尽所能为之赋予意义。负数的平方根无疑就是这样一个会在各种地方不断出没的东西，不论是在过去的数学家面对的简单的算术问题中，还是在20世纪的相对论理论框架中的时空统一问题中。

第一个将显然无意义的负数平方根写进公式的无畏者是16世纪的意大利数学家卡尔丹（Cardan）。在讨论能否将数字10拆分为两部分，并使这两部分相乘得40时，他指出，虽然这个问题没有任何说得通的答案，但我们可以诉诸两个不可能存在的数学表达式：5+ 和5- 。 ^[4]

卡尔丹在写下这个答案时承认它是无意义的，是捏造和想象的，但他还是写下了它们。

尽管此类数字是想象出来的，但只要一个人胆敢写出这样的负数平方根，将10拆分为两个相乘得40的数就有解了。而一旦这层窗户纸被捅破，形形色色的数学家就开始越来越多地（毫无保留和借口地）使用起了负数平方根，并按照卡尔丹的其中一种称呼，将之称为“虚数”。在1770年瑞士著名数学家欧拉出版的关于代数的书中，有大量对虚数的应用，对此，他还特别做了解释说明：“ 、 这样的数学式都是不可能或想象出来的，因为它们代表负数的平方根，对于这样的数，我们可以断言它们既非虚无，也非虚无以上，亦非虚无以下，可见，它们必然是虚构的或不可能的。”

但是，尽管存在种种滥用的借口，虚数很快就在数学中变得像分数或根号一样难以回避，不使用虚数会让人寸步难行。

虚数家族可以说是实数虚构的镜像，正如可以从基数1开始得出所有实数一样，我们也可以将 作为虚数的基数，以此得出所有虚数。 通常以符号i表示。

不难看出， ，以此类推，每个实数都有一个想象的分身。我们也可以将实数和虚数组合成一个表达式，如卡尔丹最早给出的： 。这种混合了实数虚数的形式通常被称为复数。

在虚数闯入数学领域后的两百多年里，它们始终被蒙着一层神秘和不可思议的面纱，直到两名业余数学家对虚数给出了简单的几何解释后，面纱才被掀开，这两名数学家分别是挪威测量师威塞尔（Wessel）和法国巴黎簿记员罗伯特·阿尔冈（Robert Argand）。

按照他们的解释，3+4i这样的复数可用图2-2表示出来。其中3是横坐标，4是纵坐标。

实际上，所有实数（正数和负数）都对应着横轴上的点，所有纯虚数都对应着纵轴上的点。当我们将对应横轴上一个点的实数（比如3）乘以虚数单位i后，便可得到纯虚数3i，它一定会落在纵轴上。可见，一个数乘以i等于在几何上逆时针旋转90°（见图2-2）。

此时，如果将3i再乘以i，它对应的点就会再逆时针旋转90°，这样一来，这个点会再次回到横轴上，只是落在了复数一侧。因为：

3i×i=3i ² =-3，或i ² =-1。

说“i的平方等于-1”，会比说“旋转（逆时针）两个直角后，方向会颠倒过来”更容易理解。

当然，同样的规则也适用于复数。将3+4i乘以i，可得到：

（3+4i）i=3i+4i ² =3i-4=-4+3i

从图2-2可立即看到，点-4+3i对应着点3+4i，前者是后者围绕原点逆时针旋转90°所得。同样的道理，一个数乘以-i就是围绕原点顺时针旋转90°，如图2-2所示。

如果仍觉得虚数被蒙着一层神秘云雾，你只要思考一个涉及虚数实际应用的简单问题，这层云雾就会烟消云散了。

一个富有冒险精神的年轻人在曾祖父的故纸堆中发现一块羊皮纸，其中指出了宝藏的位置。指示如下：

“航行至北纬__、西经__， 你会找到一座荒岛。岛的北岸有一块大草地，那里有一棵橡树和一棵松树。 还有一具古老的绞刑架，是我们过去处置叛徒的地方。从绞刑架走向橡树，记下步数，然后从橡树处以直角右转，走出相同的步数，在地上打一根桩。现在，返回绞刑架，走向松树，再记下步数；到达松树后，以直角左拐，再走出相同的步数，在地上打一根桩。找到两根桩正中间的位置；宝藏就在那里。”

这段指示清楚明了，于是，我们的年轻人租了一艘船，驶向了南太平洋。他找到了那座小岛，找到了草地、橡树和松树，但令他伤心不已的是绞刑架不见了踪影。那段记录来自很久以前，木架已经在雨打风吹日晒中朽烂，归于尘土了，没留下一点曾经矗立的痕迹。

那位冒险的年轻人在绝望和愤怒的驱使下，开始四处挖掘，但最终一无所获。那座荒岛太大了！他只能空手而归。宝藏或许仍留在那里。

这是个悲哀的故事，但更悲哀的是，如果这个年轻人对数学有一点了解，特别是懂得运用虚数的话，他或许已将宝藏收入囊中。下面让我们看看能否帮他找到宝藏，虽然为时已晚。

将这座岛屿视为一个复数平面；以穿过两棵树所在位置的直线为实轴，以两棵树的中点为原点，在原点上与实轴垂直方向画一条线，作为虚轴（图2-3）。以两棵树距离的一半作为长度单位，由此，我们可以说橡树位于实轴的-1点上，松树位于实轴的+1点上。我们不知道绞架在哪儿，在此用希腊字母 Γ （γ的大写）表示它的位置——这个字母也很像个绞刑架。绞刑架不一定在这两根轴上，因此 Γ 需要被视为一个复数： Γ = a + b i，从图2-3 可以看出 a 和 b 的含义。

现在来做一些简单运算，请记住上文讲到的虚数乘法法则。因为绞架位于 Γ 点，橡木位于-1点，它们的距离和方位可表示为

（-1）- Γ =-（1+ Γ ）。

类似的，绞架和松树的距离为1- Γ 。接下来，分别将这两段距离顺时针和逆时针旋转90°，根据上文讲到的法则，我们只需将它们分别乘以-i和i，便可锁定两根桩的位置：

第一根桩：（-i）[-（1+ Γ ）]+1=i（ Γ +1）+1，

第二根桩：（+i）（1- Γ ）-1=i（1- Γ ）-1，

由于财宝藏在这两根桩子中间的位置，我们只需求出以上两个复数之和的一半即可：

现在我们可以看到，用 Γ 表示的绞架未知位置在我们的运算过程中消失了，可见，不论绞架在哪，财宝都一定在+i点上。

看来，我们的冒险者要能完成一些简单的数学运算，也就不用挖空整座岛了，他只需在图2-3所示的十字位置上搜寻即可，可惜啊！

如果你还是不相信不必知道绞架的位置就能确定宝藏在哪儿，那么，请在纸上画画试试，先标出两棵树的位置，然后用不同的点代表绞刑架的位置，并按照羊皮纸上的说明一步步推导，你会发现，不论怎么选择绞架的位置，最后得出的宝藏位置都在复数平面的+i点上！

人类还通过-1的平方根这个虚数发现了另一个惊人的宝藏。即我们的普通三维空间可与时间结合，构成一个由四维几何法则掌控的四维图像。我们会在下一章讨论爱因斯坦的思想及其相对论时为大家介绍这个发现。

[1] 初级几何中的毕达哥拉斯定理给出了相关证明：3 ² +4 ² =5 ² 。（注：这个定理即我国古代的勾股定理）

[2] 丢番图的一般规则是，取两个数字 a 、 b ，使 2 ab 为完全平方数。然后取 此时，很容易用普通代数证明：x ² +y ² =z ² 。如此，我们可列出所有可能的整数解，前几个为：

3 ² +4 ² =5 ² （埃及三角形）

5 ² +12 ² =13 ²

6 ² +8 ² =10 ²

7 ² +24 ² =25 ²

8 ² +15 ² =17 ²

9 ² +12 ² =15 ²

9 ² +40 ² =41 ²

10 ² +24 ² =26 ²

[3] 其他数字的平方根也很容易计算。例如，（2.236…）×（2.236…）= 5.000…，所以 =2.236…；（2.702…）×（2.702…）=7.300…，所以 =2.702…。

[4] 证明如下： TvunUnulzADnPUZFdGwYQzIAbj6v/iNnrEQAId4pmLkau16dGhhaysCCq3dUi1jP