第一章
大数字

你能数到几？

有这么一个故事：两个匈牙利贵族在玩一场游戏，谁说出的数字大，谁就获胜。

其中一位说：“你先说一个数字吧。”

冥思苦想了几分钟后，对方终于说出了他能想到的最大的数字。

“三。”他说道。

现在轮到另一位贵族冥思苦想了，但过了一刻钟，他决定放弃。

“你赢了。”他认输。

当然，这个故事也可能只是随意杜撰的，但如果那两人不是匈牙利人，而是霍屯督人，这样的对话是有可能真实发生的。据传，许多霍屯督部落的词汇中都没有大于三的数字名称。询问当地人他有多少儿子，或杀死了多少敌人，如果人数超过三个，他就会回答“很多”。因此，在霍屯督人的部落，哪怕是骁勇善战的武士，数起数来都不及能数到10的幼童！

如今，我们已经习惯于一个想法，即我们可以随心所欲地写出越来越大的数字（无论是以“分”为单位的战争支出，还是以“英寸”为单位的星际距离）——只需在数字右边加上足够的零即可。只要你不累，你可以一直写下去，但很快，你笔下的数字就会超过宇宙 中的原子总数了：

300 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 00 000 000 000 000 000 000 000 000。

或者，你可以使用简写的形式：3×10 ⁷⁴ 。

右边的10上方的小数字74表示必须写出这么多个零，或者换句话说，必须让3乘以10且要乘74次。

但这样的“简易算术”系统在古代并不为人所知。实际上，它是在不到2 000年前由一位不知名的印度数学家发明的。在这项伟大发明之前（绝对称得上伟大，虽然我们常常会不当回事），人类在书写今天所称的十进制数字时，要重复每个数位所对应的符号。比如，古埃及人是这么写数字8 732的：

恺撒朝廷的书记官是这么写的：

MMMMMMMMDCCXXXII

后面几个符号你一定不陌生，时至今日，在表达书中的第几章第几卷时，或在言辞浮夸的纪念牌匾上注明历史事件的日期时，我们仍会偶尔使用这些罗马数字。但是，古代的计数需求不会超过几千，因此不需要更高位数的符号，古罗马人不论在算术方面有多么训练有素，如果你让他写出“一百万”来，他一定会尴尬不已。他要写出一千个M，为此，他要辛苦很长一段时间（图1-1）。

对于古代人，数量太多的东西，例如天上的星星、海里的鱼，或沙滩上的沙粒都是不可计数的，就像对霍屯督人而言，“五”是不可计数的一样——你问他们，他们只能回答：“很多！”

凭借公元前3世纪的著名科学家阿基米德的天才头脑，人类才得以写出非常庞大的数字。阿基米德在其专著《沙粒计算》中写道：

“有人认为沙粒的数量是无限的。我所说的沙粒不只是锡拉库萨和西西里其他地区的沙粒，也包括地球所有地区可能发现的一切沙粒，不论当地有无人类居住。也有人认为这些沙粒的数量虽然不是无限的，但没有任何数字足以表达如此庞大的数量。显然，如果要在整个地球的体积（包括地球的所有海洋和所有空洞，以及所有大山）中塞满沙粒，并说出这些沙粒的数量，他们一定会更加确定你永远找不到一个数字来表示它。但我将尝试表明，只要使用我命名的数字，不仅能表示装满整个地球的沙粒的数量，甚至能表示装满整个宇宙的沙粒的数量。”

阿基米德在这部著名作品中提出的撰写庞大数字的方式与现代科学采用的方式很像。他先找来了古希腊算术中存在的最大数字单位：“万”。然后引入了一个新数字“万万”，他称之为“亿”或“二级单位”。以此类推，“亿亿”被称为“三级单位”，“亿亿亿”被称为“四级单位”，等等。

今天看来，我们似乎没有必要在一本书里花几页篇幅介绍庞大数字的由来，但在阿基米德的时代，找到一种撰写庞大数字的方法是一个伟大的发现，也是数学这门学科向前迈出的重要一步。

要算出能填满整个宇宙的沙粒总数，阿基米德必须知道宇宙有多大。在他所处的时代，人们认为宇宙被一颗水晶球环绕着，星星就固定在水晶球表面，据同时期的著名天文学家阿利斯塔克估算，从地球到该天体球面的距离为10 000 000 000个视距 ，即大约1 000 000 000英里 。

阿基米德将球体大小与沙粒大小进行了比较，并完成了一系列计算，这些计算堪称高中生的“噩梦”，他最终得出了以下结论：

“显然，基于阿利斯塔克估计的天球体积，在其中装满沙粒后，沙粒的总量将不超过一千万个八级数字单位。” ^[1]

读者可能注意到了，阿基米德对宇宙半径的估计远小于现代科学家的估计。十亿英里的距离才刚刚超出太阳系中的土星轨道。我们会在后文中看到，如今，人类已经利用望远镜将宇宙的半径扩充到了5 000 000 000 000 000 000 000英里，因此，填满可见宇宙所需的沙粒总数将超过10 ¹⁰⁰ （即1后面有100个零）个。

当然，这个数字远大于前文所述的宇宙中的原子总数3×10 ⁷⁴ ，但别忘了，宇宙中并不是塞满原子的。实际上，平均每立方米的空间内只有约1个原子。

不过，要得到非常庞大的数字，根本不需要做什么把宇宙塞满沙粒这样的蠢事。实际上，此类数字经常出现在一些非常简单的问题当中，乍看之下，我们完全不会想到那样的问题会涉及比几千更大的数字。

印度的舍罕王就是一位庞大数字的受害者。据一个古老传说所言，舍罕王的宰相西萨·班·达依尔发明了国际象棋，并献给了舍罕王，舍罕王想赏赐一下他。

那位聪明的宰相看似非常谦逊，他跪在国王面前说：“陛下，请在棋盘的第一格放一粒小麦，在第二格放两粒小麦，在第三格放四粒小麦，第四格放八粒小麦。就像这样，哦，陛下，每一格都放上数量加倍的小麦，请赏赐我填满64个格子的小麦（图1-2）。”

“你要求不高，我忠实的仆人，”国王大声说道，并窃窃自喜，他以为不会为这个神奇游戏的发明者割舍太多财富。“我当然会满足你的心愿。”国王“大方”地说。开始计数后，第一格分配一粒麦子，第二格分配两粒，第三格分配四粒，依此类推，第20格还没填满，袋子已经空空如也了。

更多小麦被抬上朝堂，但之后的每一格要分配的小麦数量增长得如此之快，很快，显而易见的是，哪怕交出印度所有的麦子，国王也无法兑现对达依尔的承诺。因为他总共要付出18 446 744 073 709 551 615粒麦子！ ^[2]

这个数字没有宇宙中的原子数量大，但它仍是一个天文数字。假设一蒲式耳 的小麦约有500万粒，那么，满足达依尔的要求需要约4万亿蒲式耳小麦。鉴于当时全球平均年产量约20亿蒲式耳，因此，宰相所求的大约是两千年的全球小麦总产量！

另一个以庞大数字为主线的故事也发生在印度，这个故事与“世界末日”问题有关。下面的叙述来自热爱数学的历史学家鲍尔 ^[3] ：

在标志世界中心的贝拿勒斯神庙穹顶下方，安放着一块黄铜板，上面固定着三根金刚针，每根高1腕尺（1腕尺等于约20英寸），粗细与蜜蜂腹部相当。创造之时，梵天在其中一根针上放了64张金片，最大的金片紧贴黄铜板，其他金片依次缩小，直至顶尖。这就是梵天塔。不分昼夜，值班的僧侣都要依照梵天恒久不变的法则将这些金片从一根金刚针移到另两根金刚针上，规则要求僧侣一次只能移动一张金片，且在移动时，不能将大金片放在小金片上方。当所有64张金片都从梵天放置的那根针上移到另外两根的其中一根针上时，梵天塔、神庙和众生都将化为灰烬，世界也将在一声霹雳中毁灭。

图1-3是对故事场景的描绘，只是画出的金片数量不够。你可以自己制作出相应的玩具，用普通的硬纸板代替印度传说中的金片，用长铁钉代替金刚针即可。你不难总结出移动金片的基本规则，你会发现，每张金片都需要相当于前一张金片两倍的移动次数才能形动到位。第一张金片移动到位只需一步，接下来的金片所需的移动次数会以几何级数增加，到第64张金片时，其移动次数将与达依尔要求的小麦数量一样多！ ^[4]

那么，将梵天塔中的所有64张金片从一根针移到另一根针上需要多长时间呢？平均一年有大约31 558 000秒，假设僧侣昼夜不眠，假日无休，且每秒能移动一次，完成这项工作将需要5 800亿年。

将这种关于宇宙未来寿命的传说预言与现代科学的预言加以比较是很有趣的。据当前的宇宙演化理论，恒星以及行星是在约30亿年前由没有形状的物体演化而来的。我们还知道，为恒星（特别是为我们的太阳）提供能源的“原子燃料”还能消耗100亿~150亿年（请参阅“创世纪”一章）。由此算来，我们宇宙的总生命周期势必短于200亿年，远没有印度传说估计的5 800亿年那么久！但那毕竟只是传说！

有史以来，文学中提到的最庞大的数字大概与著名的“印刷行数问题”有关。假设我们制造一台印刷机，它能持续不断地印刷，且每一行都能自动采用不同的字母与印刷符号的组合。这台机器由许多单独的印盘组成，印盘的轮廓上刻有字母和符号。印盘的咬合方式与汽车里程表中的数字盘类似，当每只印盘转完一整圈后，旁边的印盘会转动一格；而印盘每转动一下，来自卷筒的纸张就会自动压到滚筒上，进行印刷。这样的自动印刷机不难打造，其外观大致如图1-4所示。

我们让机器运转起来，并查看印刷机印出的没完没了的句子。大多数句子都没有任何意义，比如这样：

“aaaaaaaaaaa……”

或这样：

“boobooboobooboo……”

或这样：

“zawkporpkossscilm……”

不过，由于这台印刷机会打印出所有可能的字母和符号组合，我们会在无意义的垃圾中发现各种有意义的句子。当然，其中也会有很多说不通的句子，例如：

“马有六条腿……”或“我喜欢用松节油烹制苹果……”

但只要仔细搜索，我们也会从中发现莎士比亚全集中的每一个句子，甚至包括他本人丢入废纸篓的那些句子！

实际上，这样的自动印刷机可以印出人们掌握书写能力后所写的一切内容：每一句诗词歌赋、报上的每一篇社论和广告、每一卷烦琐的科学论文、每一封情书，以及写给送奶人的每一张感谢函……

不止如此，这台机器还能印出未来几百年将被印出的所有内容。在滚筒转出的打印纸上，我们将能找到30世纪的诗歌，未来的科学发现，美国第500届国会上的演讲以及关于2344年的一起行星交通事故的记录。里面会有大量短篇小说和长篇小说的页面，那些尚未书写的故事都在里面。出版商地下室里如果有一台这样的机器，他们只需在大量无效文字中选择和编辑好作品即可——和他们现在所做的没什么两样。

那么，为什么不可能做到这些呢？

来，我们计算一下，要想打印出一切可能的字母和符号组合，这台机器一共要打印多少行。

英文字母中有26个字母，10个数字（0，1，2，…，9）和14个常用符号（空格、句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、连字符、引号、撇号、方括号、小括号、花括号），加起来共有50个字符。我们假设该机器有65张印盘，对应每一个印刷行平均的65个字符。印刷行可以上述任何字符开头，因此有50种可能性。对于这50种可能性，每种可能性的第二格又有50种可能性，也就是50×50=2 500种可能性。而对于前两个字母的每个既定组合，在第三格又有50种可能性，依此类推。整行可能的组合总数可表示为：

为了让大家感受一下这个数字有多庞大，我们假设宇宙中的每个原子都代表一台单独的印刷机，这样，我们就有3×10 ⁷⁴ 台机器在同时工作。进一步假设，自宇宙诞生以来，所有这些机器都在持续工作，那它们已经工作了30亿年，即10 ¹⁷ 秒。这些机器正以原子振动的频率打印，每秒可打印10 ¹⁵ 行。那么，到现在为止，它们已经打印了3×10 ⁷⁴ ×10 ¹⁷ ×10 ¹⁵ =3×10 ¹⁰⁶ 行，这只是上面组合总数的 。

没错，要对所有这些自动打印材料进行任何形式的挑拣，都要耗费相当长的时间！

怎么数无穷大的数

上一节，我们讨论了一些数字，其中许多都相当庞大。但尽管它们大得令人难以置信，比如达依尔索要的小麦粒数，但它们仍然是有限的，只要有足够的时间，你就可以把它们完完整整地写下来，写到最后一位。

但有一些数字是真正无穷大的，无论我们写多久，也不可能把它写完。比如，“一切整数的数量”显然是无穷的，“一条线上所有几何点的数量”也是如此。那么此类数字除了是无穷大以外，还有其他特征吗？比如说，我们能比较两个不同的无穷大数字，并找出其中“更大”的那个吗？

“到底是所有整数的数量更大，还是一条线上所有点的数量更大”这样的问题有意义吗？此类乍看之下令人匪夷所思的问题由著名数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）最先提出，他不愧为“无穷大数算术”的奠基人。

比较无穷数的大小，就是比较一些我们既无法说出也无法写下的数字，此时，我们面临的困境很像霍屯督人想比较自己的宝藏中到底是玻璃珠多还是铜币多时的困境。但你应该记得，“霍屯督人最多只能数到三”。难道他们就要因此彻底放弃对珠子数量与铜币数量的比较吗？当然不会。如果一个霍屯督人足够聪明，他会通过逐个比较的方式获得答案。他会在一枚铜币旁放一颗珠子，在另一枚铜币旁放另一颗珠子，依此类推……如果他用尽了珠子，还有多余的铜币，他就知道自己的铜币比珠子多；如果用尽了铜币，还有多余的珠子，他就知道自己的珠子比铜币多；如果两样同时用尽，他就知道自己的铜币和珠子一样多。

这也正是康托尔提出的比较两个无穷大数的方法：如果我们能将两组无穷数列中的数字两两配对，任一数列中都没有数字落单，那么这两组无穷数列就是相等的。如果有一组数列中留下了一些落单对象，那么，我们就说这组无穷数列比另一组无穷数列更大，或更强。

这显然是最合理、也是事实上唯一可行的比较无穷数列的方法，但实际应用这个方法时，还是要准备好迎接一些意外情况。以所有偶数排成的无穷数列和所有奇数排成的无穷数列为例。你当然会直觉地认为，偶数和奇数一样多，而且，这个例子应该完全符合上述规则，可以做到两两配对（图1-5）：

图1-5中，每一个偶数都对应着一个奇数，反之亦然；因此，偶数的无穷数列与奇数的无穷数列相等。看起来的确一目了然！

但是，且慢。你认为是所有整数（包含偶数和奇数）的数量更大，还是偶数的数量更大呢？你当然会说所有整数的数量更大，因为它本身包含所有偶数，也包含所有奇数。但这只是你的印象，要得到准确答案，你必须使用上述法则比较这两个无穷数列。你会惊讶地发现你的印象是错误的。实际上，整数和偶数的对应如图1-6所示：

根据比较无穷数列的规则，我们必须承认，偶数的数量与所有整数的数量一样多。当然，这听起来很荒谬，因为偶数只是所有整数的一部分，但别忘了，我们面对的是无穷大数，必须做好遭遇反常性质的准备。

实际上，在无穷大的世界中，“部分”可能等于“整体”！要说明这一点，最好的例子大概是德国著名数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）的一个故事。据称，他在关于无穷大的演讲中用以下语言描述了无穷大数的这一悖论性质 ：

“假设有一家酒店，房间数量有限，且所有房间都住满了客人。一位新客人想要一个房间。老板告诉他：‘抱歉，没有空房了。’现在，假设另一家酒店的房间数是无穷的，所有房间也都住满了。这家酒店也来了一位新客人，问有没有房间。

“‘当然还有！’老板高声宣称，然后，他把之前1号房间的客人移到了2号房间，将2号房间的客人移到了3号房间，将3号房间的客人移到了4号房间，依此类推……如此，1号房间就空了出来，新客人就住了进来。

“再想象一下，有一家房间数量无穷大的酒店全部住满了。现在又有数量无穷多的新客人前来住店。

“老板说：‘当然有房间，先生们，请稍等。’

“他将1号房间的客人移至2号，将2号的客人移至4号，将3号的客人移至6号，依此类推……

“现在，所有奇数编号的房间都空出来了，可轻松招待数量无穷多的新客人。”

我们很难想象希尔伯特所描绘的状况，哪怕是在战时的华盛顿，但这个例子无疑能让人明白，在面对无穷大数字时，我们遇到的“性质”会不同于普通算术中常见的那些“性质”。

按照康托尔比较两个无穷数列的规则，举一反三，我们也可以证_明所有普通分数（如 或 的数量与所有整数的数量相同。事实上，我们可根据以下规则将所有普通分数排成一行：首先，写出分子和分母相加得2的分数，这样的分数只有一个，即 。再写出分子分母相加得3的分数，即 和 。然后是相加得4的，即 ， ， 。以此类推，我们将得到一个无限的分数数列，其中包含一切可以想到的分数。现在，在该数列上面写下整数数列，你可以实现分数的无穷数列与整数无穷数列的两两对应（图1-7）。因此，它们的数量是相等的！

你可能会说：“好吧，都能两两对应，但这是否意味着所有无穷大数都相等呢？真如此的话，比较它们还有什么意义？”

并不是这样，我们能轻松找地出一个比所有整数或所有分数数量更大的无穷大的数来。

实际上，回头看前文提到的一条线中所有点的数量与所有整数数量的比较问题，我们就会发现这两个无穷大数是不相同的。一条线上的点的数量比所有整数的数量多得多。为证明这一说法，让我们尝试在一条线段（比如1英寸长）上的点和整数序列之间建立两两对应的关系。

我们将线上的每个点都表示为它与线的一个端点的距离，该距离可以用无限小数形式表示，例如0.735 062 478 005 6…或0.382 503 756 32 …因此，我们现在要比较的对象就变成了所有整数的数量与所有可能的无限小数的数量了。那么，无限小数与上文提到的普通分数（如 或 ）有什么区别呢？

我们知道，每个普通分数都可转换为无限循环小数。比如2/3=0.666 66…=0.（6），3/7=0.428 571|428 571|428 571|4…=0.（428 571）。上面，我们已经证明了所有普通分数的数量等于所有整数的数量；因此，所有循环小数的数量也一定与所有整数的数量相同。但是线段上的点并不都能用循环小数来表示，并且多数情况下我们获得的无限小数，其小数点后面完全不存在任何周期性；而且我们很容易证明，对它们进行线性配对排列也是不可能的。

假设有人宣称做了这样的配对排列，情况大致如图1-8所示：

当然，由于每一个无限小数小数点后的位数都是无穷的，我们无法完整写出它们，但如果以上说法属实，图1-8的作者会确立一些一般性规则（类似我们用于排列普通分数时的规则），他会根据这一规则绘制该图，而这个规则也能确保一切人们想得到的小数迟早都会出现在图中。

而我们不难证明所有此类大话都是站不住脚的，因为我们总是可以写出一个不包含在该图中的无限小数。怎么做呢？非常简单。在写这个小数时，只需让其小数点后的第一位不同于 N 1小数点后的第一位，第二位不同于 N 2小数点后的第二位，以此类推。你会得到这样一个数字（如图1-9）：

不论你在图1-8中如何搜寻，永远不可能找出上面这个数字。实际上，如果图1-8中的作者告诉你，这个数字出现在图1-8中的第137行（或其他任意行），你可以立即回答他：“不，它不是同一个数字，因为小数点后的第137位不同。”

因此，我们不可能在一条线段上的所有点与所有整数之间建立起一一对应的关系，这意味着代表线段上所有点的无穷大数大于（或强于）代表所有整数或所有分数数量的无穷大数。

上面讨论的是一条“1英寸长”的线段上的所有点，但也很容易证明，根据“无穷大数算术”法则，使用任何长度的线段都是成立的。实际上，1英寸、1英尺或1英里长的线段上的点的数量都是相同的。为证明这一点，请看图1-10，该图比较了不同长度的两条线 AB 和 AC 上的点的数量。为了在这两条线的所有点之间建立一一对应关系，我们以 AB 上的每个点为起点，画一条平行于 BC 的线，然后将两边的交点两两配对，例如 D 和 D' 、 E 和 E' 、 F 和 F' ，等等。 AB 上的每个点在 AC 上都有一个对应点，反之亦然；因此根据我们的准则，代表这两条线上点的数量的两个无穷大数是相等的。

关于无穷大数的分析还能得出一个更惊人的结果：平面上所有点的数量等于线段上所有点的数量。为证明这一点，让我们以线段 AB （长1英寸）和正方形 CDEF （图1-11）为例。

假定线段上某个点的位置是0.751 203 86…我们可以将其小数点后数字按奇偶数位分开，把它分成两个数字：

0.710 8…及0.523 6…

然后将这两个数字分别作为水平距离和垂直距离，在正方形中锁定一个点，这就是线段上那个点的“对应点”。反过来，假定先在正方形中锁定一个点，其位置由以下两个数字表示：

0.483 5…和0.990 7…

我们也可以通过合并这两个数字获得线段上的“对应点”：0.498 930 57…

显然，此过程可在这两组点之间建立起一对一的关系。线段上的每个点都能在正方形中找到对应点，正方形中的每个点也都能在线段上找到对应点，两边都不会有任何点落单。如此，根据康托尔的准则，代表正方形内所有点的无穷大数便等于代表线段上所有点的无穷大数。

同样，代表立方体内所有点的无穷大数与代表正方形或线段上所有点的无穷大数也是相同的，这一点很容易证明。我们只需要将代表线段上点的小数分成三部分 ，并用新获得的三个小数在立方体内找到“对位点”即可。另外，和两条不同长度的线段一样，不同大小的正方形或立方体内的点的数量也都是相等的。

但是，所有几何点的数量虽然大于所有整数和分数的数量，但它并非数学家已知的最大的数。实际上，数学家已经发现，所有可能的曲线（包括形状最不寻常的曲线）种类的数量比所有几何点的数量更大，因此，我们应将之视为第三级无穷数列。

按照“无穷大数算术”的奠基者康托尔的意见，无穷大数是用希伯来字母ℵ（读作阿莱夫）表示的，在字母的右下角，再用一个小号数字表示这个无穷大数的级别。这样一来，数目字（包括无穷大数）的数列就成为

1，2，3，4，5，…，ℵ ₁ ，ℵ ₂ ，ℵ ₃ ，…

如此，我们可以说“一条线段上有ℵ ₁ 个点”或“有ℵ ₂ 种形式的曲线”，这和说“世界有7个大洲”或“一副扑克牌有52张（实际应为54张）”没什么两样（图1-12）。

ℵ ₀ 代表所有整数和分数的数量

ℵ ₁ 代表一条线段、一个正方形或一个立方体上所有几何点的数量

ℵ ₂ 代表所有几何曲线的种类

结束对无穷大数的讨论前，我们需要指出，所有我们想得到的无穷大数列的集合都能用区区几个无穷大数的级表示。我们知道，ℵ ₀ 代表所有整数和分数的数量，ℵ ₁ 代表所有几何点的数量，ℵ ₃ 代表所有曲线的种类，而目前为止，还没人能想出一个能用ℵ3描述的明确的无穷数列。似乎前三级的无穷大数已足以代表我们能想到的一切，此时，我们面临的困境似乎正好与我们的老朋友霍屯督人相反——他们有许多个儿子，但只能数到三；我们有三级无穷大数，却找不到比它们更大的数可数。

[1] 用现在的数字单位来计算，应该是：千万×二级单位×三级单位×四级单位×五级单位×六级单位×七级单位×八级单位，或简化为：10 ⁶³ （即1 后面 63 个零）。

[2] 聪明的达依尔要求的小麦数量可用以下公式表示：1+2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ +…+2 ⁶² +2 ⁶³ 。在算术中，此类每个数字都是前一个数字倍数的数列（这里的倍数为 2）称为几何数列。可以证明，此类数列的各项之和可以将固定倍数（这里是 2）的项数次幂（这里为 64）减去第一项的数字（这里是 1），再除以倍数与 1之差得出。__公式如下： 得出的数字为：18 446 744 073 709 551 615。

[3] 引自W.W.R.Ball, Mathmatical Recreations and Essays （《数学拾零》）。

[4] 如果只有 7 张金片，必要的移动次数为：1+2 ¹ +2 ² +2 ³ +…+2 ⁶ ，即 2 ⁷ 1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。如果你能快速无误地移动金片，完成任务大约需 1 个小时。如果有 64 张金片，所需的移动次数为：2 ⁶⁴ -1=18 446 744 073 709 551 615，这就等于达依尔索要的小麦粒数。 HvijKXpsdXmRCAnkXMm+v0CzmDNh0QtfGaTeYPr5UXEv5nJrokgFIjr+vEgXzZPg