第三章
空间的特殊性

1. 维度和坐标

我们都知道空间是什么，但如果有人问“空间”这个词的确切定义，我们还是会陷入窘境。我们可能会将空间形容为围绕在我们周围的东西，我们可以在其中前进或后退、向左或向右、向上或向下。这三组独立且相互垂直的方向，代表着我们生活的物理空间的一个最基本的属性，所以我们说空间是有三组方向，是三维的。空间中的任何位置都可以用这三个维度来表示。如果我们来到一个不熟悉的城市，并向酒店前台询问某家知名公司的位置，工作人员可能会说：“向南走五个街区，右转，再走两个街区，然后上七楼。”这个回答提到的三个数字通常被称为坐标，在这个例子中，这三个数字分别指出了城市街道、建筑楼层和酒店大堂起点之间的关系。不过，很明显我们也可以通过使用另一个正确的坐标系统，成功抵达目的地，只要这个坐标系统可以正确地表示原点和目的地之间的关系。而且，只要我们知道新坐标系统和旧坐标系统之间的相对位置，就可以通过简单的数学运算，得出原有目的地的新坐标。我们称这个运算过程为坐标转换。这里还可以补充一点，这三组坐标完全没有必要用代表特定距离的数字来表示——事实上，在某些情况下使用角坐标会比距离坐标更方便。

美国纽约的地址通常会用直角坐标系表示，因为城市中的街道大都是横平竖直的；而在俄罗斯的莫斯科，地址通常会通过极坐标系来表示，这座古老的城市是围绕着克里姆林宫的中心城堡修建而成，街道呈放射状向外延伸，还有几条呈同心圆状的环路，因此，人们要是想描述某幢房子的位置，通常会说，它在克里姆林宫城墙北偏西北20个街区的地方。

华盛顿哥伦比亚特区的海军部大楼和战争部五角大楼就是直角坐标系和极坐标系的典型代表，第二次世界大战期间所有与战事有关的人员都很熟悉这点。

我在图12中给出了几个示例，展示了如何通过不同的方法利用距离或角度表示空间中某个点的位置。不过，因为我们讨论的是三维空间，所以无论我们选择什么坐标系，都必须用到三个数值。

虽然我们难以用三维空间的思维去想象超出三维的高维空间（我之后会提到，这样的空间确实存在），但想象出一个低于三维的低维空间却很容易。比如平面，球面或者任何表面都是二维空间，因为平面上的任意位置都可以用两个数来表达。同理，线（直线或曲线）是一维空间，描述线上的任意位置只需要一个数字。我们也可以称点为零维空间，因为在一个点中没有两个不同的位置。但是，谁又会对点感兴趣呢！

作为三维生物，我们很容易理解线和面的几何性质，因为我们可以“从外部”观察它们，而理解我们身处其中的三维空间，就相对难一些。这也解释了为什么人们对于曲线或曲面的理解没有什么困难，但一旦听到三维空间也可以弯曲，就会有些惊讶。

不过只需稍加练习，并理解“弯曲”这个词的真正含义，你就会发现“三维曲面”这个概念非常简单。并且当你读到下一章的末尾，甚至能够（希望如此）轻松地谈论乍一看似乎可怕至极的概念——四维曲面。

但在那之前，让我们先运用三维空间、二维平面和一维线的特性来做些思维运动。

2. 不用测量的几何

虽然你在学生时代熟知的度量空间的几何学 可能会告诉你，几何是由大量定理组成的，旨在研究不同距离和角度之间的关系（比如著名的毕达哥拉斯定理，就是研究直角三角形边长数值关系的），但实际上，空间最基本的性质并不需要测量任何长度或角度。研究这些空间性质的几何学分支被称为位相几何学（analysis situs）或拓扑学（topology） ，它是数学中最具争议且难度最大的一个部分。

举一个简单的典型拓扑问题的例子：让我们想象一个封闭的几何曲面，比如一个球，球面的线将它划分成许多独立的区域。接下来，我们在球面上选取任意数量的点，并用不相交的线将它们连接起来（如图13左所示）。那么在这种情况下，这些点的数量、划分相邻区域的线的数量以及区域的数量之间有什么关系呢？

首先，如果在上述例子中我们采用的不是球，而是像南瓜一样的扁球体，或者像黄瓜那样细长的形状，那么南瓜或黄瓜上的点、线和区域的数量和球体的数量完全相同。事实上，如果我们用拉扯、挤压等手段改变球的形状，只要不剪开或者撕碎它，那它的形状并不会影响我们的推理和问题的答案。拓扑几何的这个特性与以数值关系为主（比如长度、面积、体积之类的关系）的普通几何学形成了鲜明的对比。比如，如果我们把一个立方体拉伸成一个平行六面体，或者把一个球压成一个煎饼，这些数值就会发生巨大变化。

我们可以将这个球被划分的这些区域都削平，这样球就变成了一个多面体（如图13右所示），不同区域的边界线就会变成多面体的边，而原先的点也会变成多面体的各个顶点。

现在，我们之前那个问题可以在不改变本质的情况下重新表述为：任意形状的多面体顶点、棱和面的数量之间有什么关系？

图14中展示了5个正多面体（每个面的棱和顶点数都相等）和1个根据想象画出来的不规则多面体。

我们可以数出每个几何体中顶点、棱和面的数量，看看这三个数字之间有什么关系。通过直接计数，我们可以构建如下相应的表格。

首先，前三列数字（V、E和F）之间似乎没有任何关系，但再研究一会儿你会发现，V和F这两列的数字之和总是等于E+2。因此，我们可以写出如下数学关系式：

V+F=E+2

这种关系只适用于图14中所示的五个多面体，还是适用于任意多面体呢？如果你试着画几个不同于图14的多面体，并数出它们的顶点、棱和面的数量，你会发现上述关系在所有情况下都适用。因此，V+F=E+2显然是拓扑学中通用的数学定理，因为这个关系式与棱的长短或面的大小无关，只与几个不同的几何单元（即顶点、棱、面）的数量有关。

我们刚刚发现的多面体顶点、棱和面的数量关系，是由17世纪法国著名数学家勒内·笛卡尔（René Descartes）首先注意到的，后来由另一位数学天才莱昂哈德·欧拉严格证明，因此，这一定理以欧拉的名字命名为“多面体欧拉定理”。

以下内容摘自R.柯朗和H.罗宾斯的著作《什么是数学？》（ What Is Mathematics？ ） 一书，用来展示欧拉定理的完整证明过程：

“要证明欧拉公式，我们先假设给定的简单多面体是空心的，其表面由薄橡胶制成（图15a）。现在，我们割开空心多面体的一个面，将剩余的部分在一个平面上展平（图15b）。当然，在这个过程中，多面体各个面的面积和棱与棱之间的角度会发生变化。但是展平后的多面体顶点与棱的数量依然保持不变，不过由于割掉了一个面，面的数量会少一个。现在我们需要证明，在这个平面上，V-E+F=1。只有这样，算上被割掉的面，才能得到适用于原始多面体的公式：V-E+F=2。”

“首先，我们在这个平面网格中非三角形的区域画一条对角线，将它切割成三角形。每增加一条对角线，E和F的值都加1，但V-E+F的值不变。继续画对角线，直到图形完全由三角形组成（图15c）。在三角形网格中，V-E+F的值始终不变，所以画对角线不会影响公式的结果。”

“有些三角形的边在网络的边缘。其中，某些三角形（如ABC）只有一条边在边缘，而其他三角形可能有两条边在边缘。对于这些靠边的三角形，我们去掉它不与其他三角形共用的边（图15d）。比如，我们将三角形ABC去掉边AC和它的面，留下顶点A、B、C和两条边AB和BC。接着，我们将三角形DEF移除它的面、DF和FE两条边，以及顶点F。”

“去掉三角形ABC，E和F的值会减1，V-E+F的值保持不变。移除三角形DEF，V的值减1，E的值减2，F的值减1，V-E+F的值仍然保持不变。通过适当的顺序可以删除所有靠边的三角形（网格的边缘会改变），最后只剩下一个拥有三条边、三个顶点和一个面的三角形。在最后这个简单的结构中，V-E+F=3-3+1=1。但我们已经看到，不断删除三角形的过程中，V-E+F的值并没有改变过。所以在原平面网络中，V-E+F的值也一定等于1。由此我们可以得出结论：在完整的多面体中V-E+F=2。由此，欧拉公式的证明就完成了。”

欧拉公式有一个有趣的结果，正多面体最多只能有五个，即图14中所示的那五个。

然而，仔细浏览前几页的内容，你可能就会注意到，在绘制图14所示的“各种不同类型”的多面体以及证明欧拉定理的过程中，我们做了一个隐性假设，该假设大大缩小了定理适用的范围。这么说吧，我们所有的操作都只局限于没有孔洞的多面体上。这里的孔洞指的并不是气球上那种破洞，而是更类似于甜甜圈或橡胶内胎中间的那个孔。

看一下图16就明白了。我们可以看到两个不同的几何体，每个都是和图14一样的多面体。

现在让我们看看欧拉定理是否适用于我们的新多面体。

第一个多面体共有16个顶点、32条边和16个面，因此V+F=32，而E+2=34。第二个多面体中有28个顶点、46条边、30个面，V+F=58，而E+2=62。又错了！

为什么会这样，我们通用的欧拉定理怎么就在这两个例子上栽跟头了呢？

问题当然是因为我们上面涉及的所有多面体都类似足球内胆或气球，而新的中空多面体则更像轮胎或更复杂的橡胶产品。对于这种多面体，上述数学证明并不适用，因为我们无法完成必要的操作步骤——“割开空心多面体的其中一面，将剩余部分在平面上拉伸展平。”

如果拿一个足球内胆，用剪刀剪开它表面的一部分，那么把它拉开展平是没什么问题的。但如果换成轮胎，无论你如何努力都无法做到。如果图16还不能说服你，那你可以找一个旧轮胎尝试一下！

但也不能把话讲死，更复杂的多面体的V、E和F之间并不是毫无关系的——它们有关系，只是这种关系与欧拉定理稍有不同。对于甜甜圈形状的多面体——更科学地说是环形多面体——来说，关系式是V+F=E；“椒盐卷饼”形状的多面体关系式是V+F=E-2。所以，综合两者我们得到：V+F=E+2-2N，其中N为孔洞的数量。

还有一个典型的拓扑问题与欧拉定理密不可分，这就是所谓的“四色问题”。假设有一个球面被划分成多个独立区域，现在我们要给球面上色，使相邻两个区域（即有共同边界的区域）的颜色各不相同。完成这个任务最少需要几种不同的颜色？很明显，两种颜色肯定不够，因为当三条边界线相交于一点时（比如图17中弗吉尼亚州、西弗吉尼亚州和马里兰州），我们需要给三个州都涂上不同的颜色。

需要四种颜色的例子也比较常见（德国占领奥地利时期的瑞士地图，图17）。

但是，不管怎样尝试，无论是在地球仪上还是在铺平的纸上 ，这幅虚构的地图所需的颜色永远不会超过四种。似乎不管我们把地图画得多么复杂，四种颜色总是足以使相邻区域不重色。

如果上述说法正确，那么我们应该能够用数学证明，但是经过几代数学家的努力，依然没人成功。这又是一个典型的几乎没人怀疑，却也没人能够证明的数学命题。目前数学上的最新进展只能证明五种颜色是绝对足够的。这项证明就是以欧拉公式为基础的，变量涉及国家数量、边界线数量，以及三条边界交点和四条边界交点的个数。

这个证明过程相当复杂，我们在此不做赘述，否则会让我们偏离探讨的主题。但是，这个证明过程在各种拓扑学书籍中都有提及，读者可以花一个愉快的晚上（也许还会熬个通宵）来思考它。大家可以尝试证明无需五种颜色，四种就足以完成地图的填色问题；或者，如果怀疑上述的正确性，也可以自己试着画一张超过四种颜色的地图。但凡这两种尝试中有一种能成功，你就会被载入数学理论的史册。

讽刺的是，虽然填色问题在球面或平面上一解难求，但在如甜甜圈或椒盐卷饼那种更为复杂的表面上却可以相对简单地找到解决之法。为什么这么说呢？因为目前已经有人证明了：给按照任意划分方式分区的甜甜圈上色且相邻区域不同色共需要七种颜色，并且也有实例证明确实至少需要七种颜色。

如果想让自己再头疼一点，大家可以找一个充过气的轮胎和一套七种颜色的颜料，尝试在轮胎表面画一个某种颜色和其他六种颜色相邻的图形。做完这些，你就可以自信地说“我真的很懂甜甜圈”了。

3. 空间翻转

到目前为止，我们只讨论了各种面的拓扑性质，也就是说，只讨论了二维空间的拓扑性质。但是很明显，类似的问题也会出现在我们生活的三维空间中。因此，将填色问题引申到三维空间时，可以这样表述：我们需要用不同材质和不同形状的材料构建一个“空间马赛克”，任意两个材质相同的材料都不能有共同的接触面。这样的话，需要多少种不同的材料？

能够在填色问题上与球面或环面做比较的三维空间是什么呢？我们能否想出一些不同寻常但与我们所在的普通空间有所关联的三维空间呢？就像球面或环面与普通平面的关系那样？其实，虽然我们能够很容易地想出各种形状的面，但我们普遍认为三维空间只有一种类型，即我们生活的且熟悉的物理空间。然而，这种观点其实是一种危险的错觉。如果稍微发挥一下想象力，我们是可以想象出其他类型的三维空间的，这些空间与教科书中介绍的欧几里得派空间大不相同。

想象这些奇怪空间的困难主要在于，我们自身就是三维生物，所以只能“从内部”观察空间，而对于那些千奇百怪的面来说，我们是“从外部”观察它们。但通过一些思维训练，我们可以毫不费力地理解这些奇怪的空间。

让我们先试着建立一个性质有些类似于球面的三维空间模型。很明显，球面的主要性质是没有边界，但面积有限，因为它是一个封闭的面。那我们能否想象出这样一个同样自我封闭、没有明显边界但体积有限的三维空间呢？试想两个受到球面限制的球体，就像一个被果皮包起来的苹果。

现在想象一下，这两个球体“彼此重叠”，共享一个外表面。当然，这并不是说现实中我们要将两个物体挤成一个，比如刚才那两个苹果，如果硬把它们挤在一起，即使苹果被压碎了，也不会互相融入对方。

最好还是试想一个内部被虫子啃了的苹果。如果虫子有两种，白虫和黑虫，它们互相看不顺眼，那么它们从苹果表皮某两个相邻的点开始啃，在内部啃出的通道也永远不会相交。被这两种虫子啃过的苹果最终看起来会和图18一样：两条紧密缠绕的通道填满了苹果内部。尽管黑白两条通道非常接近，但要想从一个通道进入另一个，只能通过苹果的表皮。试想一下如果这些通道变得越来越细，数量越来越多，最终这两个相互独立的空间就会填满整个苹果，但这两个空间依然只通过表皮相连。

如果不喜欢虫子，你可以假设在纽约世博会那个巨型地球仪里 修两条封闭的走廊和楼梯系统。两条楼梯系统都贯穿并遍布球体内部，但是，如果你想从一个楼梯系统的某个位置去另一个楼梯系统的同一个位置，必须先一路走到球体表面两个楼梯系统共存的那个平面，再沿路走到你刚才所处的位置。我们说这样两个球体相互重叠但互不干扰，在这样的情况下，你的朋友可能离你很近，但想要见到他，你必须绕相当大一圈！尤其值得注意的是，两个楼梯系统的交点和球体内部的其他点没什么不同，因为整个系统都是可以随时变形的，有些点会被拉入球体内部，而有些之前在内部的点翻到外面。这个模型还有一个重点：虽然通道的总长度是有限的，但通道上却没有“死胡同”。你可以在走廊和楼梯上不停前进，不会有任何墙壁或栅栏挡住你的去路，而且，如果你走得够远，一定会回到出发点。如果有人“从外面”观察整个结构，可能会说，“这个走迷宫的人最后肯定会回到出发点的，因为这条走廊慢慢转回去了”。但是，对于根本不知道有“外面”这回事儿的里面的人来说，这个空间虽然大小有限，却没有明显的边界。我们会在接下来的某章中讲到，这个没有明显边界但又并非无限的“三维密闭空间”，在研究整个宇宙的性质时十分有用。事实上，在目前最强望远镜能观测到的极限距离处，空间已经开始弯曲，并有明显的回转封闭趋势，就像前面示例中被虫子啃出通道的苹果那样。但是，在我们继续讨论这些令人兴奋的问题之前，必须先了解一些其他的空间性质。

关于苹果和虫子的话题还没有完全结束，我们要面对的下一个问题是：这个被虫子啃过的苹果能变成甜甜圈吗？哦，不，我们不是要让它尝起来像甜甜圈，而是要让它看起来像甜甜圈。我们在讨论几何，而不是厨艺。让我们再次假设手里有一个前面提到的“双重苹果”，就是那两个“彼此重叠”并通过表皮“粘在一起”的苹果。假设虫子在其中一个苹果中啃出了一条如图19所示的宽阔的环形通道。请注意哦，这只是针对其中一个苹果，通道外的每个点都是“双重点”，同时属于两个苹果。而在通道内，只剩下那个没被虫子咬过的苹果的果肉。现在，我们的“双重苹果”拥有了一个由通道内壁构成的自由面（图19a）。

你能改变这个坏掉的苹果的形状，让它变成一个甜甜圈吗？当然，我们得先假设这个苹果的材质具有可塑性，可以变成任何你喜欢的形状，还不会破损。为了便于操作，我们可以把苹果切开，变形之后再把它粘回去。

首先，让我们将“双重苹果”分开，变成两个单独的苹果（图19b）。我们将这两个表面标记为I和I'，这样之后就能将它们粘回去。现在，沿着通道的环截面将包含虫蛀部分的苹果切开（图19c）。这一步会产生两个新的切面，我们将它们标记为II、II'和III、III'，以便将它们粘回去时能够知道确切位置。剖开之后，通道的自由表面也露了出来，它就是甜甜圈的自由表面。现在，将剖开的部分按图19d所示的方式进行拉伸，自由表面得到了极大程度的拉伸（因为根据我们的假设，材料可以尽情拉伸！）。与此同时，切割面I、II和III被缩小了。当我们在处理完被蛀虫咬过的苹果后，还得把另一个没被咬过的苹果缩小到樱桃大小。现在，我们可以沿着切口把各个部分粘回去了。第一步很容易，把面III和III'粘起来，得到如图19e所示的类似钳子的形状。接着，把缩小成樱桃大小的那个苹果放在“钳子”的两个尖端之间，再把两个尖端连在一起。这样，标记为“I'”的球面就和面I粘在一起了，而面I'正是从面I中分离出来的，同时，切面II和II'也会互相闭合。这样我们就得到了一个甜甜圈。

这一切有什么意义呢？

什么意义都没有，只是为了让大家做做想象几何学的练习，以便帮助大家理解弯曲空间和自封闭空间这类不寻常的东西。

如果你还想进一步发挥想象力，这里有一个上述做法的“实际应用”。

虽然你可能从未想过这个问题，但其实你的身体中也有一个类似甜甜圈的结构。事实上，所有生物发育的早期阶段（胚胎阶段）都会经历一个被称为“原肠胚”（gastrula）的阶段。在这个阶段中，原肠胚呈球形，并有一条宽阔的通道贯穿其中。通道一端摄入食物，另一端排出废弃物。生命体充分发育之后，通道就会变得更薄，更复杂，但其原理保持不变，几何特性也和最初的甜甜圈相同。

好吧，既然你是一个甜甜圈，那不妨做一个与图19相反的转换吧——试着把你的身体（想象！）转变成一个内部有通道的双重苹果。特别提示，你会发现虽然你身体的某些部位会重叠，形成“双重苹果”的躯干部分，但整个宇宙——包括地球、月亮、太阳和恒星，都会被挤压到内部的环形通道中！

试着画出它的样子，如果你画得好，将会得到萨尔瓦多·达利 （Salvador Dali）本人对你在超现实主义绘画艺术方面超高造诣的肯定！ （图20）

虽然这一节的篇幅已经很长了，但如果不讨论一下左撇子和右撇子的身体构造以及它们与空间普遍特性的关系，就无法对这一节下结论。使用一副手套就能很方便地介绍这个问题。如果你对一副手套中的左右两只进行比较（图21），就会发现它们的所有测量数据都相同，但同时又有一个显著的区别，导致你无法将左手手套戴在右手上，反之亦然。不管你如何随心所欲地翻转并扭曲它们，右手手套永远是右手的，左手手套也永远是左手的。同样的左右区分在鞋子的构造、汽车舵向（美国左舵，英国右舵）、高尔夫球杆和许多其他东西上均有体现。

另有许多诸如男式礼帽、网球拍等物品就没有这方面的差异——没有人会做去商店订一打左撇子专用茶杯这种蠢事，也不会有人做出到邻居那里借一把左撇子专用扳手这样胡闹的事。这两类物品有什么不同？稍微思考一下，你就会注意到，礼帽或茶杯这类物体具有一个对称面，沿着对称面可以将这类物体分割成一模一样的两半。手套或鞋子则不具有这样的对称面，你做再多尝试，都无法将手套分割成一模一样的两部分。如果某个物体不具有对称面，它就是不对称物体，不对称物体拥有两种不同的修饰——右手用和左手用。不仅手套、高尔夫球杆这种人造物品具有这种差异性，自然界中也经常出现。比如，两个品种的蜗牛可能在其他方面都一模一样，唯独壳不同：一种蜗牛的外壳是顺时针旋转，另一种则是逆时针。即便是分子（构成所有物质的基本粒子），也大都具有右旋和左旋的结构，与右手和左手手套或顺时针和逆时针的蜗牛壳十分相似。当然，分子是看不见的，但它的不对称性会通过由它构成的物质的晶体结构和光学性质体现出来。比如，糖分为右旋和左旋，吃糖的细菌也分为两种，一种只吃左旋糖，而另一种只吃右旋糖，信不信由你。

上文我们提到过，要将右手用的物体变成左手用的物体似乎是不可能的。真是如此吗？有没有人能想象出一个能够使之成为可能的奇特空间？为了回答这个问题，让我们先代入二维空间居民的视角来思考这个问题，这样就可以用三维视角进行观察。图22中给出了一些可能居住在二维空间的居民的例子。手里拿着一串葡萄站着的人可以被称为“正面人”，因为他只有正面，没有侧面。旁边的动物是一头“侧脸驴”，或者说得更具体些，是一头“右侧脸驴”。当然，我们也可以画一只“左侧脸驴”，因为这两头驴都局限于平面，所以从二维的角度来看，它们的区别就和我们正常空间中的右手手套和左手手套一样。你没法儿把一头“左侧脸驴”和一头“右侧脸驴”重叠在一起，因为要想让它们的鼻子和尾巴重合，必须把其中一头驴翻转过来，但如果这样做，它就会四脚朝天了。

但如果你把一头驴从平面中拿出来，在三维空间中翻个面儿再放回去，这两头驴就会变得一模一样。按照同样的道理，我们可以说：右手手套可以变成左手手套，我们只需将右手手套拿出三维空间，在第四维度以适当的方式翻转，然后放回三维空间就可以了。但是我们所在的三维空间并没有第四个维度，所以上述的方法是不可能的。那就没有别的办法了吗？

好吧，让我们再次回到二维世界，但这次我们不研究图22中的普通平面了，而是研究所谓的“莫比乌斯曲面”（surface of Möbius）。莫比乌斯曲面以一位德国数学家的名字命名，这位数学家在大约一个世纪前首次研究了该曲面。制作该曲面非常容易，只需将一条普通的长条纸扭一下，再粘成一个环，如图23。莫比乌斯曲面有很多特殊的性质，只要拿一把剪刀沿着与曲面边缘平行的方向（沿着图23中的箭头）剪开，就能发现它的一项特性。你一定会觉得这样做的结果会将它剪成两个独立的环。你亲手做一下就会发现自己猜错了：并不会得到两个环，而会得到一个和原来的环相比长度为两倍、宽度为一半的环！

现在让我们看看，如果影子驴在莫比乌斯曲面上行走会发生什么。假设它从1号位（图23）开始前进，此时它是“左侧脸驴”。它不停地前进，经过了图片中的2号位和3号位，最后逐渐接近它的出发点。但出乎意料，我们的小驴子发现自己最后（4号位）呈现出一个尴尬的姿势——四脚朝天。当然，它可以在所处的平面上翻个跟头，这样就能重新脚踏实地，但这样一来，就不是面朝左边了。

简而言之，通过在莫比乌斯曲面上行走，我们的“左侧脸驴”变成了“右侧脸驴”。而且请注意，这个过程中并没有将驴子带入三维空间翻面，它一直留在曲面上。因此，我们不难发现，在扭曲的曲面上，只需让右手用的物体通过曲面上扭曲的部分，就可以变成左手用的物体，反之亦然。图23所示的莫比乌斯环实际上代表着另一个更具普遍性的面的一部分，那就是克莱因瓶（如图23的右边所示），它只有一个可以自行封闭的曲面，且没有明显的边界。如果在二维平面上可以实现物体转换，那么只要三维空间能够以适当的方式扭曲，同样的事情也一定能发生。当然，三维空间中的莫比乌斯式扭曲很难想象。我们无法像观察驴所在的表面那样从外部观察我们所在的空间，当你身处其中时，总是很难看清事物的全貌。但宇宙是一种以莫比乌斯环的方式扭曲的自闭空间这件事并非完全不可能。

如果这种猜测是真的，那么宇航员环游宇宙一圈回来后就会变成左撇子，而且心脏也会换到右边。手套和鞋子的制造商也有可能从中获利：他们可以只生产单边的鞋子和手套，然后让一半库存环游宇宙一周，变成另一侧身体需要的样子，这样就能简化生产流程了。

至此，关于特殊空间和特殊性质的研究就在这个奇妙的想法中画下了句号。 MHroV939onKz/c3lL5fieWVi+1kOIBjawvYcthPPGjOLdkgCfkexsEaf5oiMdAw4