第二章
自然数和人造数

1.最纯粹的数学

数学通常被人们，尤其是被数学家们看作是所有科学的女王。既然是女王，自然就要避免和其他知识学科搅在一起。例如，有一次“纯粹数学和应用数学联合大会”（Joint Congress of Pure and Applied Mathematics）邀请大卫·希尔伯特在会上做一次公开演讲，借此打破两派数学家之间的隔阂。他的开场白是这样的：

“我们经常听说纯粹数学和应用数学互相敌对。这不是真的。无论什么时候，纯粹数学和应用数学都不是互相敌对的，也永远不会互相敌对。因为事实上，它们之间根本没有共同之处。”

但是，尽管数学家们希望数学是纯粹的，希望数学和其他学科划清界限，但其他学科——尤其是物理——却很喜欢数学，并竭尽所能想与它“亲近”。确切地说，几乎所有纯粹数学的分支都已经成为解释物理宇宙中种种特征的工具。这些分支包括抽象群理论、非交换代数和非欧几里得几何等学科，它们一直被认为是最纯粹、最没有实用价值的学科。

然而，哪怕是在今天，数学领域里仍然有一套庞大的系统，除了用于锻炼智力的灵活性以外，没有任何用处。因此，它光荣摘得“纯粹之王”的桂冠。这就是所谓的“数论”（这里的“数”指的是整数），它是最古老、最复杂的理论数学思想之一。

虽然听起来可能会很奇怪，但数论作为最纯粹的数学，却可以在某种程度上被称为经验科学，甚至是实验科学。事实上，数论的大多数命题都是来自实践，人们试图用数字做不同的事情，然后得到一些结果。就像在物理学中一样，只是物理学尝试的对象是现实中的物体，而不是理论化的数字。数论和物理学还有一个相似之处：它们的命题有些已经被“数学”证明，而另一些仍然是纯粹的经验理论，等待最优秀的数学家不断地挑战。

以质数问题为例，质数是指除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数，例如1、2、3、5、7、11、13、17等等，都是质数，但12就不是，因为它可以写成2×2×3。

质数是无穷的吗？还是存在一个最大的质数，一旦超过这个质数后，每个比它大的数都可以表示为我们已知质数的乘积？欧几里得本人最先提出这个问题，他以一种极其简单而优雅的方式，指出质数有无穷多个，因此并不存在“最大质数”。

为了验证这个问题，我们假设质数的个数是有限的，比如用字母N来表示我们已知的最大质数。现在，让我们将所有已知质数相乘，然后在结果上加1。写法如下：

（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1

这个公式得出的结果当然远远大于所谓的“最大质数”N。但显然，这个数字不能被任何一个质数（小于等于N）整除，因为按照它的构造方式来看，无论它除以哪一个质数，都会余1。

因此，我们得到的这个数字要么本身就是质数，要么是能被大于N的质数整除，无论哪个结果，都与我们假设的“N是现有最大的质数”相矛盾。

这种证明方法就是“归谬法”（reductio ad absurdum），数学家最喜欢的方法之一。

既然已知质数的数量是无穷的，那么是否有简单的办法能够将所有的质数按顺序一个不漏地列出来呢？古希腊哲学家及数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）首次提出了一种解决这种问题的方法，我们称之为“筛选法”。只需写出所有的整数，1，2，3，4……，然后去掉所有2的倍数，再去掉3和5的倍数，以此类推。埃拉托色尼筛选前100个数字的示意图如图9所示。这100个数字中总共包含26个质数。利用这个简单的筛选方法，我们已经列出了10亿以内的质数表。

不过，如果可以推导出一个公式，自动帮助我们快速又精准地找到所有质数，这一切就会更加简单。然而，尽管人们几个世纪以来进行了多种尝试，这种公式始终没有被找到。1640年，著名的法国数学家费马（Fermat）宣布自己成功推导出了一个公式，他认为这个公式算出的结果都是质数。

他的公式是这样的：2 ^{2 n} +1。其中n表示1、2、3、4等自然数。

利用这个公式，我们可以得到以下结果：

这几个数的确都是质数。但大约在费马公布这一公式一个世纪后，瑞士数学家欧拉（Euler）发现，按照费马公式计算后得出的第5个数（2 ^{2 5} +1=4294967297）并非质数，而是6700417和641的乘积。费马计算质数的公式由此被证明是错误的。

另一个能算出质数的公式是：n ² －n＋41。其中n也代表1、2、3等自然数。经过证实，当n等于1到40时，算出的结果都是质数，但不幸的是，当n等于41时，这个公式被重重地打脸了。

事实上（41）2－41＋41＝41 ² ＝41×41，这是平方数，不是质数。

还有一个为算出质数做出过尝试的公式：n ² －79n＋1601，这个公式中，当1≤n≤79时都能算出质数，但n=80时就不能了！

因此，仅能算出质数的公式依旧是个未解之谜。

数论中还有一个有趣的例子，那就是哥德巴赫猜想（Goldbach conjecture），它在1742年被提出，迄今为止既没有被证实也没有被证伪。这个猜想认为任何一个偶数都可以表示为两个质数之和。在一些简单的例子中，你一眼就能看出这个猜想是正确的，比如：12＝7＋5，24＝17＋7，以及32＝29＋3。但是，尽管数学家们在这方面耗费了大量的心血，还是无法证实这个猜想，也找不到一个反例。1931年，俄罗斯数学家施尼雷尔曼（Schnirelman）朝验证哥德巴赫猜想的目标迈出了重要一步。他证明了任何一个偶数都能用不超过30万个质数之和表示。几年之后，另一位俄罗斯数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）又将证明结果简化为“四个质数之和”。但从维诺格拉多夫的“四个质数”到哥德巴赫的“两个质数”之间还有最后的两步，这两步似乎尤为艰难，没有人知道还需要几年或几个世纪才能证明或推翻这个难题。

因此，要想推导出一个能自动得出所有甚至无穷大质数的公式，我们距离这个目标还很遥远，甚至这可能是一个我们无法企及的目标。

现在，我们可能会退而求其次地问另一个问题——在某个给定的数字区间内，质数所占的百分比是多少？当数字越来越大时，这个百分比是否大致保持不变？如果不是，它是会增大还是减小？为了回答这个问题，我们可以数一数质数表中的数字。通过“筛选法”我们可以发现：小于100的质数有26个，小于1000的质数有168个，小于1,000,000的质数有78,498个，小于1,000,000,000的质数有50,847,478个。将这些相应区间的质数数量列成如下表格：

根据这张表格，首先我们看出随着整数数量的增加，质数在所有数字中所占的比例在逐渐减少，但并不存在所谓的最大质数。

有什么简单的数学方法能够表示质数在数字区间中所呈现出的递减比例吗？有的，而且表明质数平均分布的定理是整个数学领域中最重要的发现之一。它的内容很简单：在1到大于1的任意自然数N的区间内，质数所占的百分比约等于N的自然对数 的倒数，N的值越大，得出的结果最精确。

N的自然对数在上述表格的第四列。如果你比较一下第三列和第四列的数字，就会发现结果相当接近，而且N的值越大，两列数字的偏差越小。

正如数论中的其他很多命题一样，质数定理最初也是在实践中被发现的，而且在很长一段时间内，它都没有严格的数学证明来支持。直到19世纪末，法国数学家阿达玛（Hadamard）和比利时数学家德拉瓦莱·普森（de la Vallée Poussin）终于成功地证明了这一定理，不过他们使用的方法极其复杂，在这里就不做赘述了。

论及整数，就不得不提到著名的费马大定理（Great Theorem of Fermat），虽然它所涉及的一系列问题与质数性质并没有什么关系。费马大定理的根源可以追溯到古埃及，那里的每个优秀木匠都知道，如果一个三角形的边长比为3：4：5，那么它一定有一个直角 。事实上，古埃及人是将这种三角形作为木匠矩尺使用的，所以今天我们称之为“埃及三角形”。

公元3世纪，亚历山大的丢番图（Diophantes of Alexandria）开始思考是否只有3和4两个整数的平方和等于第三个数的平方。他的确证明了还有其他具有相同性质的数字组合（实际上，这样的组合有无穷多个），并总结出了辨别它们的通用规则。现在，我们称这种三边边长皆为整数的直角三角形为“毕达哥拉斯三角形”，埃及三角形便是最早的毕达哥拉斯三角形。毕达哥拉斯定理可以简单地用一个代数方程式表示，x ² +y ² =z ² ， ^[1] 其中x、y、z必须是整数。

1621年，皮埃尔·费马在巴黎买了一本丢番图的著作《算术》（Arithmetica）一书的新版法文译本，书里讨论了毕达哥拉斯三角形。读到这里时，他在空白处做了一个简短的备注，大意是说：x ² +y ² =z ² 这个方程式有无数个整数解，但对于方程式x ⁿ +y ⁿ =z ⁿ 来说，如果n大于2，那便无解了。

“我发现了一个证明这点的绝妙证据，”费马补充道，“但是，这页地方太小，写不下了。”

费马死后，他放在藏书室中的那本丢番图的著作被人们发现，空白处标注的笔记内容也公之于世。三个多世纪以来，各国最顶尖的数学家们一直试图重现费马写下笔记时所想的证明过程，但是目前为止没有人做到。不过可以肯定的是，在追寻终极目标的道路上，我们已经取得了相当大的进展，并且人们还创立了一个名为“理想论”（theory of ideals）的全新数学分支，用以证明费马大定理。欧拉证明了方程式x ³ +y ³ =z ³ 和x ⁴ +y ⁴ =z ⁴ 不可能有整数解，狄利克雷（Dirichlet）证明了x ⁵ +y ⁵ =z ⁵ 不可能有整数解，再加上几位数学家的共同努力，我们现在已经能够证明，当n小于269时，费马方程式就没有整数解。然而，迄今为止我们仍然没有找到n为任意值时，方程x ⁿ +y ⁿ =z ⁿ 没有整数解的证明方法。越来越多的人开始怀疑费马本人根本没有证明这个猜想，或者他的证明过程有错误。为了弄清楚费马大定理，甚至有人悬赏10万德国马克，以至于该定理的证明曾盛极一时，但是那些想要赏金的业余爱好者们最后都一无所获。

当然，费马大定理也有可能是错误的，也许有一天 ，人们会找到三个整数，其中两个的某一高次幂之和等于第三个整数的相同次幂。但是，n必须大于269，要找到这几个数并不是件简单的事儿。

2.神秘的

现在让我们来做点高级数学题。2的平方等于4，3的平方等于9，4的平方等于16，5的平方等于25。所以，4的算数平方根是2，9的算数平方根是3，16的算数平方根是4，25的算数平方根是5。 ^[2]

但是，负数的平方根是什么呢？ 和 这类式子有意义吗？

如果你试图用理性思维思考这个问题，就觉得上述表达式毫无意义。用12世纪数学家布拉敏·婆什迦罗（Brahmin Bhaskara）的话来说就是：“正数的平方是正数，负数的平方也是正数。因此，正数的平方根有两个，一个是正数，一个是负数。负数没有平方根，因为任何数的平方都不是负数。”

但是数学家就是这么顽固，一旦他们发现某些不合常理的东西反复出现在他们的公式中，他们就会想方设法把这些东西变得合理化。不管是过去占据数学家们大量时间的简单算术问题，还是20世纪相对论框架下时空统一的问题，负数的平方根恰好就是这么个讨厌的东西。

第一位将看起来似乎没有意义的负数平方根列入方程的勇士，是16世纪意大利的数学家卡尔达诺（Cardano）。他试图将数字10分解成两部分，同时，让这两部分的乘积为40。在探索这一问题的过程中，他指出，虽然这一问题并没有完全合理的答案，但却可以用两个看似不可能的公式来表达：5＋ 和5－ 。 ^[3]

尽管卡尔达诺认为上述公式没什么意义，是虚构出来的，但他还是将它们记录了下来。

如果还有人想要写出负数的平方根，那么将10拆分成两个乘积等于40的部分的问题就可以解决了。“负数平方根”这块坚冰一旦被打破，人们就从卡尔达诺使用的修饰词中挑选了一个来给这样的数命名，称它为“虚数”，于是很多数学家开始越来越频繁地使用这个概念，不过使用过程中还是有诸多顾虑和限制。1770年，著名瑞士数学家莱昂哈德·欧拉出版了一部关于代数的著作，书中大量运用了虚数，不过都有如下备注：“书中所有诸如 、 这类的表达式所代表的是负数的平方根，因此它们都是不可能存在的数字，或称虚数。对于这样的数，我们只能说它们并不是0，也并不大于0或小于0，所以它们就是虚构出来的数，或者说是不可能的数。”

但是，尽管虚数有各种各样的弊端和限制，它依然迅速成为像分数或根式那样在数学中不可或缺的存在，如果不对其加以运用，就寸步难行。

这么说吧，虚数代表的是正常数字（或称实数）的一个虚拟的镜像。人们可以用数字1为基础构建出所有实数，同理，也可以用构建出所有虚数，这个基数通常用i表示。

不难看出： 。以此类推，每一个实数都有一个对应的虚数。我们也可以效仿卡尔达诺首创的混合表达式，把实数和虚数合并在一个表达式内，如5+ =5+i 。这种混合表达式通常被称为复数。

虚数进入数学领域的两个多世纪里，一直蒙着一层神秘的面纱，直到两位业余的数学家赋予了它一种简单的几何意义，它才得以正名。这两位数学家是挪威的测绘师韦塞尔（Wessel）和巴黎的会计师罗伯特·阿尔冈（Robert Argand）。

根据这两人的阐述，复数可以用图10中的形式表示，以3+4i为例，3和4分别表示横、纵坐标轴上的一个点，其中3是横坐标，4是纵坐标。

确实，所有实数（无论正负）都可以用横轴上的点来表示，而所有纯虚数则可以用纵轴上的点来表示。举个例子，如果我们用实数3表示横轴上的一个点，并将其与代表虚数的i相乘，我们就会得到必须画在纵轴上的纯虚数3i。因此，从几何角度来讲，一个实数乘以i，相当于将该数字代表的点逆时针旋转90度。（见图10）

现在，如果我们将3i再次乘以i，就必须将3i代表的点再次逆时针旋转90度，那么这个点就会重新回到横轴上，只不过会落在负数那一侧。因此：

3i×i=3i ² =-3，或者说，i ² =-1。

这么一来，比起“两次逆时针旋转90度即可对调正负值”这种说法，“i的平方等于-1”就好理解多了。

当然，同样的规则也适用于复数。用3+4i乘以i，我们就会得到：

（3+4i）i=3i+4i ² =3i-4=-4+3i

从图10中可以立刻发现，-4+3i对应的坐标点正是3+4i，这是3+4i绕原点逆时针旋转90度得来的。同样，一个数乘以-i就相当于绕原点顺时针旋转90度。

如果你依然觉得虚数神秘莫测，那么我们可以试着解决下面这个具有实际意义的简单问题。

一位年轻的冒险家在他曾祖父的文件中发现了一张羊皮纸藏宝图，图上是这样说的：

“航行至北纬___，西经___ ，你会发现一处荒岛。岛的北岸有一大片没有围栏的草地，草地上孤零零地站着一棵橡树和一棵松树 。在那儿，你还会看到一座古老的绞刑架，我们用它来吊死叛徒。从绞刑架出发，走到那棵橡树底下，记下步数，然后向右转90度，走同样的步数，在那个地方打一根尖桩。现在，回到绞刑架那里，走到松树底下，记下步数，然后向左转90度，走同样的步数，打下第二根尖桩。在两根尖桩的中点处挖掘——宝藏就藏在那里。”

藏宝图上的指示非常清楚，这位年轻人租了一艘船，一路航行至南太平洋。他找到了那座岛、那片草地，以及那两棵橡树和松树，但令他伤心欲绝的是，绞刑架不见了。时间过了这么久，绞刑架的木头早已在风吹、日晒、雨淋中变得朽败不堪，化为泥土了，甚至连它曾经矗立于何处都分辨不出来了。

这位爱探险的年轻人陷入了绝望，随后开始怒气冲冲地在草地上一通乱挖。但是，所有努力都是徒劳的，这个岛太大了！他只能空手而归，那份宝藏可能还在原处。

故事令人惋惜，但更可惜的是，如果这位年轻人稍微懂点儿数学——尤其是虚数的用法——他可能已经找到了宝藏。虽然现在为时已晚，但让我们来看看能不能帮他找到宝藏。

我们把岛屿看作一个复数平面，将两棵树连接，把这条直线作为实轴，再通过两棵树连线的中点位置画一条垂直于实轴的线，作为虚轴（图11）。以两树之间距离的一半为基本单位，这样一来，我们就可以说，橡树和松树分别位于实数轴上的坐标点-1和坐标点+1上。我们不知道绞刑架的坐标，那么就用希腊字母Γ来假设它的位置，正巧这个符号看起来就挺像个绞刑架。由于绞刑架不一定在两条坐标轴上，Γ必须被视为一个复数：Γ=a+bi。其中a和b的含义如图11所示。

现在我们可以按照上述虚数乘法法则，做一些简单的计算。如果绞刑架在坐标点Γ处，橡树在坐标点-1处，它们的距离和方向就可以表示为-1-Γ=-（1+Γ）。同理，绞刑架和松树的间隔为1-Γ。要将这两段距离分别顺时针（向右）和逆时针（向左）旋转90度，根据上述法则，我们得将这两个数分别乘以-i和i，由此得出两个尖桩的位置：

第一个尖桩：（-i）[-（1+Γ）]+1=i（Γ+1）+1

第二个尖桩：（+i）（1-Γ）-1=i（1-Γ）-1

因为宝藏正好在两个尖桩连线的中点处，我们现在必须找到上述两个复数总和的一半。也就是：

现在我们可以看出，未知的绞刑架的位置Γ已经消失在我们的计算过程中了，因此，不管绞刑架在哪里，宝藏一定位于+i点。

所以，如果我们这位爱探险的年轻人会做这种程度的简单计算，他就不需要挖遍整个岛，只需要在图11中“×”号标记的位置寻找，就一定能找到宝藏。

如果你还是不相信寻找这份宝藏绝不需要知道绞刑架的位置，那就在纸上画出这两棵树的位置，然后任选几个不同的点作为绞刑架的假设位置，接着按照藏宝图上的指示操作。你得到的结果永远都会是同一个点，并且结果一定对应复数平面上的数字+i！

还有一个隐秘的宝藏是利用-1的平方根这个虚数发现的，那是一个相当惊人的发现：我们所在的三维空间竟能和时间结合起来，形成一个符合四维几何规则的统一坐标系。我们会在接下来的某章中讲到阿尔伯特·爱因斯坦和他的相对论，届时会再细讲。

[1] 利用丢番图的通用法则（取任意两个数a和b，使2ab为完全平方数。x=a+ ；y=b+ ；z=a+b+ ，用普通代数便可以轻松验证，此时x ² +y ² =z ² ），我们可以列出这个方程所有可能的解，最开始的几组解如下：

3 ² +4 ² =5 ² （埃及三角形）

5 ² +12 ² =13 ²

6 ² +8 ² =10 ²

7 ² +24 ² =25 ²

8 ² +15 ² =17 ²

9 ² +12 ² =15 ²

9 ² +40 ² =41 ²

10 ² +24 ² =26 ²

[2] 想找出其他数字的算数平方根也很容易。比如 =2.236……因为（2.236……）×（2.236……）=5.000……， =2.702……因为（2.702……）×（2.702……）=7.300……。

[3] 证明过程如下： +sUBJBHp9ELnFHllyiE0oMBIjcxvfxvFHRL1ZPMQ3b3K1Xn9f9Glq2ToMJmku7Uw