第一章
大数字

1.你能数到几？

我们来讲这么一个故事，两位匈牙利贵族决定玩一个游戏——“谁说的数字大谁就赢”。

“好吧，”其中一位说，“你先说。”

经过几分钟的苦思冥想，另一位贵族终于说出了他能想到的最大数字。

“3。”他说。

现在轮到第一位贵族思考了，不过一刻钟之后，他却放弃了。

“你赢了。”他说道。

显然这两位匈牙利贵族看上去不太聪明 ，但这个故事可能只是在恶意诽谤。如果这两个人不是匈牙利人，而是霍屯督人，那么这样的对话或许真的会发生。根据一些比较权威的非洲探险家的说法，很多霍屯督人部落的词汇中都没有大于3的数。如果你问部落里的某个人，他有几个儿子或杀了多少敌人，答案要是超过三个，他就会回答：“很多。”所以，在霍屯督人的世界里，凶猛的战士们在数数方面的造诣还不如幼儿园的孩子，孩子们可是能从1数到10呢！

如今，说起写数字，我们想写多大的数就能够写出多大的数——不管是以美分计的军事级别的花销，还是以英寸计的恒星级别的距离——只要在某个数字的右边加上足够的0就行了。你可以一直加0加到手酸，然后，一不留神你就会写出一个比宇宙中的原子总数 还要大的数字，顺带一提，宇宙中的原子总数是 300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000。

或者你也可以用更简短的写法：3×1074。

数字“10”右上角那个小小的数字“74”，表示3的后面有多少个0，换句话说，3必须乘以74次10。

但这种“简易算法”体系在古代并不为人所知。事实上，这种算法体系是由一个不知名的印度数学家在不到两千年前发明的。在他这一伟大发明问世之前——虽然通常情况下我们意识不到，但这确实是个伟大的发明——人们会用一种特殊的符号来表示我们现在称之为十进制单位的东西，并且有多少个单位，就将这个符号重复多少次。例如，数字8732在古埃及文字中是这样写的：

恺撒办公室的职员则会用这种写法：

MMMMMMMMDCCXXXII

后一种符号你一定很熟悉，因为现在我们还会时不时用到罗马数字——用来表示一本书的卷数或章节，或在某座华丽的纪念碑上标识某个历史事件的日期。然而，由于古人能用到的数字不会超过几千，不存在更大的十进制单位符号。因此，即使是算术造诣再高的古罗马人，面对“写出一百万”这个要求，也是会手足无措的。毕竟要遵从这个要求的话，他只能连续写一千个“M”，这项辛苦的工作可得花上好几小时呢（图1）。

对古人来说，天上的星星、海里的鱼、海滩上的沙粒……这些庞大的数目都是“没法数”的，正如对霍屯督人来说，“五”是没法数的，于是就变成了“很多”。

公元前3世纪的著名科学家阿基米德（Archimedes）用他伟大的大脑证明了书写庞大数字是可行的。他在专著《数沙者》（The Psammites）中写道：

“有些人认为沙粒的数目是无穷大的；我所说的沙粒不仅指锡拉丘兹和西西里岛的沙粒，还指地球上所有有人或无人居住的地方的沙粒。还有一些人，虽然不认为沙粒的数目是无穷大的，但他们却认为没有一个数字能大到可以描述地球上沙粒的数目。持有这种观点的人同样认为，如果将这些沙子想象成一个和地球一样大的庞然大物，里面所有的海洋和盆地都被沙粒堆满了，甚至堆得和山峰一样高，那么更没有一个数字能比堆满这些海洋和盆地所需要的沙粒的数目更大。但是我将证明，我的方法不仅能够描述出地球上所有沙粒的数目，甚至还能描述出填满宇宙所需的沙粒数目。”

阿基米德在这部专著中提出的描述大数字的方法与现代科学中的相似。他从古希腊算术中存在的最大数字“myriad”（即一万）开始。引入一个新数字“myriad myriad”（一万的一万倍，即一亿），他称之为“Octade”，或者说“第二级单位”。以此类推，“Octade octades”（一亿的一亿倍，即一亿亿）则被称为“第三级单位”，“Octade octade octades”则被称为“第四级单位”。

在今天看来，书写大数字如果要占掉一本书中好几页的篇幅，实在显得过于烦琐，但在阿基米德时代，书写大数字的方法可是一项伟大的发现，也是数学科学前进中的重要一步。

为了计算出填满整个宇宙所需的沙粒数目，阿基米德必须知道宇宙有多大。在他那个时代，人们相信宇宙被一个水晶球包裹着，星星都镶嵌在水晶球的球壁上。与阿基米德同时代的萨摩斯著名天文学家阿里斯塔克斯（Aristarchus）曾估算出地球到水晶球球壁的距离是10,000,000,000视距，即1,000,000,000英里 。

阿基米德把这个水晶球球体的体积和一粒沙子的大小进行了对比，并进行了一系列足以让高中生做噩梦的计算，最后得出了这样的结论：

“很明显，填满阿里斯塔克斯估算出的宇宙水晶球球体所需的沙粒数量不会超过一千万个第八级单位。” ^[1]

不难注意到，阿基米德对宇宙半径的估算尺寸远小于现代科学家们的估算尺寸。十亿英里的距离还不如太阳系中地球到土星的距离长。稍后我们就会讲到，如今望远镜探索到的宇宙范围已经达到了5,000,000,000,000,000,000,000英里，所以填满整个可见宇宙所需的沙粒数量肯定会超过10 ¹⁰⁰ （也就是1后面100个0）。

这个数显然比本章开头提到的宇宙原子总数3×10 ⁷⁴ 要大得多，但不要忘了，宇宙并非填满了原子。事实上，在宇宙中，每立方米的空间内平均下来大约只有1个原子。

其实想得到庞大的数字，我们完全没有必要采用将沙子填满整个宇宙这么极端的行为。事实上，庞大的数字经常出现在乍一看极其简单的问题中，你甚至会觉得在这些问题中永远用不到超出几千的数字。

印度的舍罕王（King Shirham）便是深受这种庞大数字荼毒的人。传说称，当时古印度王朝的大臣西萨·本·达希尔（Sissa Ben Dahir）发明了国际象棋，并敬献给了舍罕王，舍罕王高兴之余想要给他奖赏。这位聪明的大臣提出了一个看似所求甚少的请求。“陛下，”他跪在国王面前说，“请在棋盘的第一格中放1粒小麦，第2格中放2粒，第三格中放4粒，第四格中放8粒。以此类推，每个格中的小麦数量是前一个格中数量的两倍，我的王，请您赐予我足以覆盖64个方格的麦粒就可以啦。”

“哦，我忠实的仆人，你所求确实不多。”国王心里窃喜，以为这位神奇游戏的发明者开出的赠礼提议并不会花费他多少财富。“我一定要满足你的这个愿望。”说完，他吩咐人送来了一袋小麦。

结果开始数麦粒之后，第一格1粒，第二格2粒，第三格4粒，以此类推，才数到第20格，袋子就空了。舍罕王又让人拿来一袋又一袋的小麦，然而每一格所需的小麦数量增长得太快，很快众人就发现，即使把全国所有的小麦都拿来，也无法满足舍罕王对西萨·本·达希尔的承诺。如果要信守诺言，需要18,446,744,073,709,551,615粒小麦！ ^[2]

这位聪明的大臣所要求的麦粒数量可以用这种方式计算：

1+2+2 ² +2 ³ +2 ⁴ +……+2 ⁶² +2 ⁶³ 。

这个数字虽然没有宇宙中的原子总数那么大，但依然是个相当大的数字。假设1蒲式耳 的小麦大约是500万粒，那么，满足西萨·本·达希尔的要求大约需要4万亿蒲式耳小麦。世界小麦年产量的平均值约为20亿蒲式耳，那么西萨·本·达希尔要求的小麦数量就是世界小麦年产量的2000倍！

就这样，舍罕王发现自己欠了西萨·本·达希尔一大笔债，如果不硬着头皮还债的话，就只能砍掉这位大臣的脑袋。我们怀疑他最终选择了后者。

印度还有一则关于庞大数字的故事，它与“世界末日”有关。对数学情有独钟的历史学家W. W. R.鲍尔（W. W. R. Ball） 是这样描述这个故事的：

在瓦拉纳西的神庙里，标志着世界中心的穹顶之下有一只黄铜盘子，上面镶嵌着3根钻石针，每根都有1腕尺高（大约20英寸），和蜜蜂的身体一样粗。创始之初，神在其中一根针上放了64片纯金圆盘，最大的那片直接放在黄铜盘中，其他的圆盘堆叠在上面，直径也逐渐缩小。这便是梵塔。值班的僧侣昼夜不停地将圆盘从一根钻石针移到另一根上，梵塔的永恒之法规定，僧侣一次只能移动一片圆盘，并且牧师将圆盘转移到钻石针上时，不得让较大的圆盘压在较小的圆盘上。当64片圆盘都从创世之时神所放置的针上转移到另一根针上时，塔、庙以及婆罗门都将灰飞烟灭，世界也将湮灭于轰鸣的霹雳之中。

故事中描述的场景如图3所示，只是图中显示的圆盘少了一些。你可以用普通硬纸代替纯金圆盘，用长铁钉代替钻石针，自己制作这个印度传说中的解谜玩具。不难发现，按照圆盘移动的基本规律，每一个圆盘的移动次数都比上一个圆盘多一倍。第一个圆盘只需要移动一次，但后续每个圆盘需要移动的次数都会以几何级数增长，因此，轮到第64片圆盘时，僧侣所需要移动圆盘的总次数正好和西萨·本·达希尔所要求的小麦数量一样多！ ^[3]

那么，将梵塔上的64片圆盘从一根针转移到另一根针上需要多长时间呢？假设僧侣们夜以继日地工作，每移动一次圆盘需要耗时1秒钟，以一年大约31,558,000秒计算，完成这项工作所需的时间要比58万亿年还略久一些。

将这个传说预言的“世界末日”与现代科学预测的宇宙寿命做比较，也很有意思。根据现有的宇宙演化相关理论，恒星、太阳和包括我们的地球在内的行星，都是在大约30亿年前由不定形物质凝聚而成的。我们还知道，给恒星（特别是太阳）提供能量的“原子燃料”大约还可以维持100亿年到150亿年（见第十一章《创世日》）。因此，我们宇宙的总寿命肯定是不到200亿年，而不是印度传说中预估的58万亿年！但是，这毕竟只是一个传说！

文献中提及的最庞大的数字很可能与著名的“印刷行数数学问题”有关。假设我们制作了一台印刷机，它可以一行接一行、连续不断地工作，并能自动选择字母表中的字母和其他印刷符号。这台机器内有许多独立的圆盘，圆盘的边缘刻着整套的字母和符号。这些圆盘之间的齿轮咬合方式与汽车里程显示器的数字圆盘相同，圆盘每转一圈，就会带动下一个圆盘向前移动一格。滚筒上的纸张也会随着滚筒的移动被压到印刷筒上。制作这样的自动印刷机很容易，它的外观如图4所示。

我们开启这台机器，检查印刷机中源源不断印出的资料。大部分的内容完全没有任何意义，它们看起来是这样的：

“aaaaaaaaaaa……”

或者：

“boobooboobooboo……”

又或者：

“zawkporpkossscilm……”

不过既然这台机器能够印刷出所有字母和符号的组合，那么我们肯定能在这堆毫无意义的垃圾中发现一些有意义的句子。当然，也有很多没用的句子，比如：

“马有六条腿，而且……”

或者：

“我喜欢用松节油煮苹果……”

但只要仔细检查，就能发现里面还有莎士比亚写的每一句诗，甚至还有他自己扔进废纸篓里的那几句！

其实，这种自动印刷机可以印刷出人类学会写字以来所记录的一切：每一句散文和诗歌、每一份报纸上的社论和广告、每一部沉闷枯燥的科学专著、每一封情书、每一张给送奶工的便条……

此外，这台机器还可以印刷出未来几个世纪所有印刷的东西。在那旋转的印刷筒送出的纸上，我们可以找到30世纪的诗歌、未来的科学发现、美国第500届国会上的演讲稿，以及2344年行星之间交通事故的记录。我们还会看到无数尚未被人写出的短篇和长篇小说，如果出版商们的地下室里有这样的机器，他们只需要从一大堆垃圾中挑选出好的文章，再进行编辑就行了。

那我们为什么不能这样做呢？

好吧，让我们来计算一下这台机器要印多少行，才能展示出所有字母和印刷符号的全部组合。

英文字母表中共有26个字母，此外，还有10个数字（0，1，2……9）和14个常用符号（空格、句号、逗号、冒号、分号、问号、感叹号、破折号、连字符、引号、省略号、小括号、中括号、大括号），加起来共50个符号。假设这台机器有65个圆盘，也就是说每行可以印65个符号。每一行的第一个符号都随机选择，共有50种可能。那么第二行的符号同样有50种可能，所以这两个符号的组合就共有50×50=2500种可能。对于任意指定的前两个符号的组合来说，第三个符号依然拥有50种可能，以此类推。这样算下来，每一行可能的符号组合总数可以表示为：50×50×50×……×50（65个50相乘），或者50 ⁶⁵ ，约等于10 ¹¹⁰ 。

为了感受这个数字的庞大程度，我们可以假设宇宙中的每个原子都代表一台独立的印刷机，那么现在我们就拥有了3×10 ⁷⁴ 台同时工作的印刷机。再假设这些印刷机自宇宙诞生以来一直在连续不断地工作，也就是工作了30亿年或10 ¹⁷ 秒，它们的印刷速度等于原子的振动频率，也就是每秒印刷10 ¹⁵ 行。那么到现在为止，它们应该已经印刷了约3×10 ⁷⁴ ×10 ¹⁷ ×10 ¹⁵ =3×10 ¹⁰⁶ 行——这仅仅是所有任务的三千分之一。

没错，想从这些自动印刷出来的材料中挑选任何东西，都需要花费很长时间！

2. 如何数到无穷大

在上一节中，我们讨论了数字，其中许多都是相当大的数字。虽然有些数字庞大到令人难以置信（比如西萨·本·达希尔要求的麦子数量），但它们依然是有限的，如果有足够的时间，人们是可以将它们全部写完的。

但世上还有真正无穷大的数字，比我们不眠不休地写出的任何数字都要大。比如说，“所有数字的数量”显然是无穷大的，“直线上所有几何点的数量”也是无穷大的。除了“无穷大”以外，我们还有什么方法可以描述这些数字呢？或者说，我们能不能对两个不同的“无穷大”进行比较，看看哪个“更大”呢？

“所有数字的数量和直线上所有几何点的数量谁大谁小？”这样的问题有意义吗？著名数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）首先思考了这个乍一看似乎不切实际的问题，称他为“无穷算术”的创始人可谓是名副其实。

如果我们想要比较“无穷大”的大小，首要的问题是，这些数字我们既无法对其命名，也无法数清楚。而且，我们或多或少会面临类似这种情况：一位霍屯督人检查他的宝箱时，总想知道他拥有的玻璃珠更多还是铜币更多。但你们应该还记得，霍屯督人最多只能数到3。那么，他会因为不会数数，就放弃比较玻璃珠和铜币的数量吗？当然不会。如果这位霍屯督人足够聪明，他就会将玻璃珠和铜币一对一对地摆出来做比较。他可以将一颗玻璃珠放在一枚铜币旁边，另一颗玻璃珠放在另一枚铜币旁边，以此类推……如果他的玻璃珠先用完了，但铜币还剩下一些，他就会知道铜币比玻璃珠多；如果他的铜币用完了，而玻璃珠还剩下一些，就代表玻璃珠比铜币多；如果哪个也没剩下，就代表玻璃珠和铜币一样多。

康托尔提出的比较两个“无穷大”的方法与上述做法如出一辙：如果我们能把两个无穷大的数一一对应起来，且没有剩余，那么这两个无穷大的数就是相等的。反之，如果两个无穷大的数无法一一对应，导致某一个数中有落单的数字，那么我们就可以说有落单数字的数比另一个数更大，或更强。

这显然是比较“无穷大”的数最合理也是唯一可能的方法，但当我们真正开始应用这一方法的时候，必须做好大吃一惊的准备。举个例子，所有偶数的数量和所有奇数的数量都是无穷大的。直觉上，你一定会觉得偶数和奇数的数量一样多，并且这个比较完全符合上述方法，因为这些数字可以一一对应：

在这张表中，每一个偶数都有与之对应的奇数，反之亦然；因此，偶数的数量等于奇数的数量。这看起来一目了然又顺理成章！

但是等一下！你认为哪个更大：包含偶数和奇数的所有数字的数量更大，还是偶数的数量更大？你一定会说所有数字的数量更大，因为它不仅包含了所有的偶数，还包含所有的奇数。但这只是你的感觉，为了得到准确的答案，你必须使用上述方法来比较两个无穷大的数。这样你就会惊奇地发现你的感觉是错误的。下面这张表就一一对应地列出了所有数字和所有偶数：

根据比较“无穷大”的数的规则，我们必须承认，偶数的数量和所有数字的数量一样大。这听起来当然是矛盾的，因为偶数只是所有数字的一部分，但我们必须记住，我们现在讨论的是“无穷大”的数，自然要准备好面对它们的特殊与古怪。

其实，在“无穷大”的世界里，部分可能等于全部！以德国著名数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）的某个故事为例，便能够最好地阐明这点。人们说，希尔伯特在他的讲座中是这样描述无穷大的数的：

“假设现在有一家只有几间房间的旅馆，且所有房间都客满了。一位客人走进旅馆，想要一间房间。‘不好意思，’店主说，‘我们所有的房间都住满了。’现在让我们想象一个拥有无数房间的旅馆，且所有房间都客满了。这家旅馆也来了一位客人，想要一间房间。

“‘当然可以！’店主一边热情回应，一边把之前住在N1号房间的客人转移到N2号房间，把N2号房间的客人转移到N3号房间，把N3号房间的客人转移到N4号房间，以此类推……新的客人便获得了经由此种转换腾空的N1号房间。

“现在让我们想象一个拥有无数房间的旅馆，且所有房间都客满了，并且有无数新的客人拥入，想要开房间。

“‘没问题，先生们，’店主说，‘请稍等一下。’

“他将N1号房间的客人转移到N2号房间，将N2号房间的客人转移到N4号房间，N3号房间的客人转移到N6号房间，以此类推……

“现在，所有奇数号的房间都空出来了，无数新的客人可以很容易地入住旅馆了。”

希尔伯特描述的这些，即使放在战时的华盛顿也不太容易想象，但这个例子显然表明，“无穷大”的数的特性的确与我们常见的普通数的特性不同。

如今，根据康托尔比较两个无穷数的规则，我们还可以证明所有像3/7或735/8这样的分数的数量和所有整数的数量相同。我们可以按照以下规则将所有普通分数排成一行：首先写出分子和分母之和为2的分数——这样的分数只有一个，即1/1。然后写出分子和分母之和等于3的分数，即2/1和1/2；然后是分子和分母的和为4的，即3/1、2/2、1/3。以此类推，我们将得到一个无穷的分数数列，包含人们能想到的每一个分数（如图5）。现在，我们在这个数列上方写出整数数列，让这个数列中的每一个数与分数数列一一对应，最后我们会发现，它们的数量是一样的！

“行吧，这些都挺棒的，”你可能会这样说，“但这不就意味着所有的无穷数都相等吗？如果是这样，那么比较它们的大小又有什么意义呢？”

不，并非如此。我们很容易就能找到比所有整数或分数的数量还要大的无穷数。

其实，只要我们对本章前面提出的问题——直线上点的数量和整数的数量哪个大——稍作回顾，就会发现这两个无穷数并不相等：直线上的点比整数或分数的数量要多。为了证明这个说法，让我们试着建立直线上的点和整数数列之间的对应关系，直线的长度设为1英寸。

直线上的每个点的位置都可以用它到线段某一端的距离来表示，这个距离可以用无穷小数的形式表示，比如0.7350624780056……或0.38250375632…… 这样一来，我们就必须将整数的数量与无穷小数的数量进行比较。那么，上面给出的无穷小数与3/7或8/277之类的分数有什么区别呢？

你一定记得数学课上老师曾经讲过，所有分数都可以转换成有限的小数或无限循环的小数。因此2/3=0.66666……=0.（6），3/7=0.428571 | 428571 | 428571 | 4……=0.（428571）。我们刚才已经证明所有分数的数量等于所有整数的数量，所以，所有循环小数的数量也必然等于所有整数的数量。但直线上的点却不一定是循环小数，在大多数情况下，这些点对应的位置反而是无限不循环的小数。而且，在这种情况下，两个数列很难一一对应。

假设有人声称他完成了一一对应，那么他列出的对应关系应该是这样的：

N

1 0.38602563078……

2 0.57350762050……

3 0.99356753207……

4 0.25763200456……

5 0.00005320562……

6 0.99035638567……

7 0.55522730567……

8 0.05277365642……

·…………………

·…………………

·…………………

·…………………

·…………………

这也是理所当然的，因为我们不可能写出无穷多的无限小数的每一位数，这位声称用上述表格完成了线性对照的作者必然在构建这张表格的时候遵循了某些基本规则（与我们刚才排列分数时一样），这样才能确保被想到的所有小数都出现在表中。

然而，任何排列法则都无法确保这种事情，要证明这点并不难，因为我们总能写出一个这张表里没有的无限小数。怎么做呢？哦，很简单。写下一个小数，它的小数点后第一位不同于表中N1对应的小数点后的第一位，第二位不同于N2对应的小数点后第二位，以此类推。你将得到的数字大概是这样的：

不管往下翻多少行，这个数字都不会出现在这张表中。其实，如果这张表的作者告诉你，你写的这个小数位于他表中的第137行（或其他任何一行），你可以毫不犹豫地回答：“不可能，因为你那个小数的小数点后第137位和我想的第137位不同。”

因此，在直线上的点和整数之间建立一一对应的关系是不可能的，这意味着直线上的点的数量比整数或分数的数量更大或更强。

关于“1英寸长”的直线上的点的讨论已有些篇幅了，现在，根据“无穷数学”规则不难证明，任何长度的直线上的点都是无穷的。其实，不管直线的长度是1英寸、1英尺还是1英里，上面的点的数量都是相同的。想要证明这一点，只需看一下图6即可，图中比较了AB和AC两条不同长度的线段上的点的数量。为了在这两条线段之间建立一一对应的关系，我们从线段AB上的每一点出发，画了很多平行于线段BC的线，每条平行线与两条线段的交点分别是D和D1，E和E1，F和F1，以此类推。AB上的每个点在AC上都有与之对应的点，反之亦然。因此，根据无穷数的比较规则：这两条线段拥有的点的数量是相等的。

遵循同样的规则，我们还有一个更惊人的发现：平面上所有点的数量和直线上所有点的数量相等。让我们以1英寸长的线段AB上的点和正方形CDEF内的点为例，来证明这一结果（图7）。

假设线段AB上每个点的位置都用一个数字表示，比如0.75120386……我们可以取小数点后的偶数位和奇数位，重组出两个不同的数字，即0.7108……和0.5236……

现在，这两个数分别代表正方形内某个点的横坐标和纵坐标，我们便可以得到平面内的一个对应点。反过来说，如果平面内某个点的横坐标和纵坐标分别为0.4835……和0.9907……，那么，将这两个数字合并，我们同样可以得到线段AB上的对应点：0.49893057……

很明显，通过这个方法，就可以在两组点之间建立一一对应的关系。直线上的所有点都可以在正方形内找到自己的对应点，反之亦然，且没有落单的点。因此，根据康托尔的规则，平面上所有点的数量与直线上所有点的数量相等。

用同样的方法，我们也很容易证明，立方体内的所有点的数量与正方形或直线上的所有点的数量相同。要证明这一点，我们只需要将原来的小数分成三部分 ，并使用这三个新的小数来确定立方体中“对应点”的位置。此外，和上述两条任意直线的例子一样，不同大小的正方形或立方体内的点的数量也是相同的。

虽然所有几何点的数量比整数和分数的数量都大，但它却不是数学家已知的最大的数。确切地说，人们已经发现曲线（包括那些最奇形怪状的）中所包含的点的数量比几何点的数量更大，因此必须将其视为第三级无穷数列。

根据“无穷算术”创始人格奥尔格·康托尔的说法，无穷大的数字可以用希伯来字母ℵ（aleph）来表示，数字右下角的角标表示该数字在无穷数列中的位置。因此，我们便可以得到一个这样的数列（包含无穷数）：

1，2，3，4，5，……ℵ ₁ ，ℵ ₂ ，ℵ ₃ ……

我们可以说“直线上有ℵ1个点”或者“曲线共有ℵ ₂ 条”，这和我们说“世界上有七大洲”或“一盒扑克里有52张牌”是一个意思。（见图8）

在关于无穷数的讨论即将结束之际，我们不难发现，这些无穷数的增长速度极快，很快就会超越任何我们能想到的集合。我们知道，ℵ ₀ 代表所有整数的数量，ℵ ₁ 代表所有几何点的数量，ℵ ₂ 代表曲线的所有种类，但到现在为止，还没人能够想到ℵ ₃ 能够代表什么集合。看来，前三个无穷数足以穷尽我们能想到的任何东西了，这么看来，我们现在的处境与那位有很多儿子却只能数到3的霍屯督人老朋友正好相反！

[1] 用我们习惯的方法表示就是：一千万（10,000,000）×第二级单位（100,000,000）×第三级单位（100,000,000）×第四级单位（100,000,000）×第五级单位（100,000,000）×第六级单位（100,000,000）×第七级单位（100,000,000）×第八级单位（100,000,000），或简单表示为：10 ⁶³ （也就是1加63个0）。

[2] 在数学中，每个数字按照相同的倍数（此例中倍数为2）递增而形成的数列被称为等比数列。可以证明，等比数列中所有项的总和的计算方法为：将公比（此例中为2）的项数次幂（此例中为64）减去第一项（此例中为1），再将得到的结果除以上述提到的公比减1。表示方法如下：

计算得出的结果就是：18,446,744,073,709,551,615。

[3] 如果我们只要移动7片圆盘，那么移动次数是：1+2 ¹ +2 ² +2 ³ +……+2 ⁶ ，即2 ⁷ -1=2×2×2×2×2×2×2-1=127。如果移动圆盘的速度又快又准，大概需要一小时就能完成任务。如果是64片圆盘，那么移动次数则是：2 ⁶⁴ -1=18,446,744,073,709,551,615。正好等于西萨·本·达希尔所求的小麦数量。 BCv1AeWVq5PDEiengDAkKV2vdU/2a6rdm5oWgj1um1BiofR3hkbp6EqbDz2HCorC