05　毕达哥拉斯之梦

在接受了多年的科学训练后，我试着把自己对音乐与物理学的热爱融合起来。我逐渐意识到，音乐的类比有助于物理学研究，而且物理世界具有音乐的特性。克里斯·艾沙姆与罗伯特·布兰登伯格是少数鼓励我结合二者的大师，除此之外，我感受到的压力使我不得不把这两个领域分别对待。于某些人而言，物理学是以数学表达的绝对真理，而音乐是一种表达情感的语言。如果我知道在科学史的早期音乐与天文学是密不可分的，那么这种压力也许就会烟消云散。在现代音乐家与科学家看来，这可能颇为荒谬，但是对缺乏现代科学工具的古人来说，音乐很自然地就成了宇宙结构和秩序的一个类比。

万物皆存在于数的和谐之中

和现代人一样，古人也会自问：我们从哪里来？我们在宇宙中处于何方？这种古人与今人面对死生之问、面对自然环境的考验时所生出的敬畏，以及随之而来的幸运或是不幸，都促使人类将自然人格化，并且崇拜“他们”，以平息自然的种种力量。从某种角度上说，创世神话正是这些因素的副产品。从创世神话到演绎法这种类科学的推理法的转变，可能始于2 500年前的毕达哥拉斯学派。他们致力于寻找数学和神秘力量的结合体，以理解天体运动及其与人类的关系。 ¹ 虽然就“宇宙是数学的”这一概念是起源于巴比伦王国还是埃及，科学界尚存在争议，但是提出“宇宙由数的和谐组成”的毕达哥拉斯获得了一致的赞誉。如果我在研究弦理论时就知道这段历史，那么在我的老师鼓励我将音乐与科学结合起来时，它就会提供强有力的支持。但是，跨学科学习太紧张、太少见，我一度对它的有效性产生了怀疑。现在回想起来，“百分之五”族在那时候比我所知的还要多一些呢。

毕达哥拉斯因他著名的毕达哥拉斯定理而广为人知。根据这个定理，在直角三角形两条直角边 a 和 b 边长已知的情况下，可以计算出斜边 h 的边长。

对于毕达哥拉斯是否应该因得出“ a ² + b ² = h ² ”这一公式而获得赞誉，学界尚有争议，但这并不是使他成名的唯一原因。很多人也许会惊讶地发现，他竟然还是西方音标方面的先驱。他通过数学演绎法来理解物理世界，并为数千年后物理学和天文学领域出现的突破奠定了基础。

传说中，毕达哥拉斯背井离乡，以寻找“神圣的知识”。他从爱琴海东部的萨摩斯岛（Samos）出发，游历了埃及和巴比伦王国，然后又返回故乡。在20年的旅程中，他进一步确定了自己的学说，即“万物皆存在于数的和谐之中”。他提出，行星的自转会奏出音符，他称之为“音”，其音高由行星的速度以及它与太阳之间的距离决定。当时，已知的行星共有5颗，毕达哥拉斯假设它们共同奏出“美妙的和谐”。他还认为，处于特定位置的行星和运动中的行星都在演奏“宇宙之歌”，而传说中，他可以听到“天体之声”。于毕达哥拉斯而言，真理就存在于数字及其彼此之间的联系之中。数学能揭开宇宙的奥秘，宇宙的和谐只是数字之间的关系的一种表现形式。

据说，毕达哥拉斯在一家铁匠铺中顿悟。在不断重复的敲打声和金属之间的碰撞声之下，毕达哥拉斯突然领悟了现在所谓的“协和音”（consonant tone）。他敏捷的耳朵和数学头脑能捕捉到悦耳的振动，即音符，这是因为声音的振动与人耳的实际物理结构产生了共振，或者说两者同步了。通过询问铁匠，他发现锤子的重量正好是对半递减的。

毕达哥拉斯沉迷于探究宇宙可能具有的和声本质，并把这些比例应用到观察和公设中。他开展了一项实验：将许多根弦悬挂起来，弦被拨动时，会奏出各种音（图5-1）。他发现，锤子之间的重量之比与弦长之比是相同的。虽然两者是不同的物体，材质也不同，但其中隐藏的数学与泛音是相同的。在此基础上，他做出了一项伟大的发现。当他拨动一根长度为原长一半的弦时，得到了一个相似的音，但频率更高，这就是八度音阶。经过重复这个拨动长度逐阶减半的弦的过程，毕达哥拉斯最终得到了西方音阶。弦长减半意味着它的频率翻倍。例如，220赫兹的音符A的频率与440赫兹的音符A的频率的比例就等于1∶2。在西方音乐中，这个频率的翻倍相当于升高一个八度音阶，也即从一个A音到另一个A音，或者在古典钢琴上提升8个调。我们会感觉到，音符虽没有发生变化，但音高却比原来的更高。

接着，毕达哥拉斯又拨动只有原本长度1/3的弦，发现它的振动是纯五度音阶，在C调中就是音符G。在“猫王”埃尔维斯·普雷斯利的歌曲《情不自禁爱上你》中，音符G恰好是第二个音符：“Wise（C）men（G）say（E）”。当弦长减到原长的1/4时，C调上有了音符F。这种模式在1～5之间的整数上都成立。协和音是由弦长的整数关系确定的，这证实了毕达哥拉斯所坚信的“万物皆数”是正确的，而且确实存在“天体之声”。

虽然毕达哥拉斯证明了弦长中小数字所占的比例会产生辅音，但产生这种现象的原因尚未找到，我们在后面将用一整章的篇幅来讨论这一点。他的发现不仅为后来出现的众多令人惊叹的音乐，比如巴赫、莫扎特和披头士乐队的作品奠定了基础，对理论数学与天体物理学来说也是一项极大的贡献。“万物皆数”是毕达哥拉斯的基本信念，在大约3 000年后，这成了研究现代理论物理学的人的口头禅。我发现，狄拉克就是一个毕达哥拉斯学派中人。

古希腊哲学家与天文学家认为，地球处于宇宙的中心——这就是“地心说”。毕竟，那时人们还没有发现万有引力，而且从表面上看，确实所有事物都往地球上落。地球周围都是完美的球体，它们主导着球形天体的运动，因此产生了“天体之声”。当时的人认为球形具有神性，并坚信球形是宇宙动力学和宇宙结构的本质，一切事物的存在都是为了维持这种状态。

时至今日，亚里士多德所推崇的完美宇宙模型依旧为人们所欣赏，无论是因为它的美，还是它的精确性。在此模型中，行星、恒星和月球全都嵌在绕地球旋转的水晶球上，而水晶球由他称之为第五元素的“以太”（Ether）构成。亚里士多德是柏拉图的学生，后者也是毕达哥拉斯学派中人。柏拉图将“天体之声”的数值基础扩展到了几何结构，并以自己的名字将其命名为“柏拉图多面体”（Platonic Solid）。除球体外，5种柏拉图多面体是最特殊的几何结构，它们具有对称性、规则性和精确性。根据毕达哥拉斯-柏拉图哲学，这些完美的几何结构被认为是从人类所在的球体中自发产生的，就像完美的音乐一样 ² 。所有这些凸多面体都是由同种类型的规则多边形构成的，每个顶点上相邻的多边形个数相同。立方体也许是最简单、最普遍的柏拉图多面体了，它由6个正方形组成，每个顶点上都有3个正方形相邻。其他的柏拉图多面体包括四面体（4个三角形）、八面体（8个三角形）、十二面体（12个五边形）和二十面体（20个三角形）。

柏拉图将这些多面体与土（立方体）、火（四面体）、气（八面体）和水（二十面体）这4种元素联系起来。由于没有元素与十二面体相对应，所以柏拉图究竟有没有发现全部5种几何结构就成了一个未解之谜。古代哲学家对宇宙中存在的美的迷恋，以及试图找到与之对应的精确的数学的尝试，促进了现代科学的形成。

从托勒密到牛顿，一场反直觉的探索

在亚里士多德之后的400年里，天文学观测变得越来越精确，人们开始重新审视旧的宇宙模型，那些古老的水晶球理论也遭到质疑。约公元100年，托勒密创造了著名的托勒密模型（图5-2），以解释行星穿过夜空时表现出的明显的逆行现象。现在我们知道，从地球上看到的行星时而慢下来，并且逆向运动，像在天空中被阻滞了一样，这是因为它们在绕太阳运动，我们看到的实际上是它们相对于地球的运动。然而，存在完美球形模型的“地心说”，几乎不可能解释这种不规则运动。托勒密是一位富有创造力的天才，他竭尽所能地完善了托勒密模型。当时，人们仍坚信宇宙的神性和完美的圆是不可动摇的，所以他不得不在循环圆周中引入一系列圆周（或称本轮），以解释行星逆行现象和一些行星表观上的小椭圆运动。托勒密模型不仅极其复杂，而且极为反直觉，但它维护了古人的信仰。

大约过了1 500年，人类对自身知觉的自信才战胜了对神圣几何的信仰。对一介凡夫俗子而言，鼓起勇气与神对抗是极为艰难的，其结果并非每个人都能承受。让我们看一看1054年爆发的超新星吧。这是一颗极为明亮的爆发星，它生成了今天我们在天空中依旧可以看到的壮观的蟹状星云（图5-3）。它突然出现在夜空中的已确定的恒星之间，并被中国人与阿拉伯人记录了下来。这是上帝创造的完美宇宙中出现的可变化的新事物吗？这是“天体之声”中出现的不和谐啊！虽然超新星很明显是一种反常现象，但人们依旧用了几百年的时间才推翻古老的标准。出生于15世纪晚期的哥白尼是一位波兰数学家和天文学家，他扔出了一颗石头，彻底颠覆了人们对水晶球、本轮和上帝（对某些人来说）的信仰。

哥白尼用太阳取代地球，并认为太阳是宇宙的中心，所有行星都围绕太阳运动。行星的逆行是我们从地球上看绕太阳公转的行星的结果，而太阳在天空中的运动之所以会发生变化，是因为地球围绕太阳公转。他认为，正是因为地球在轴上自转，恒星每天才会在天空中移动。这是多么伟大的发现啊！他不仅准确地描述了所有要点，还认识到其他恒星距离太阳和行星都非常遥远，这就解释了它们运动的不同之处。“日心说”因此被尊称为“哥白尼革命”。也许是承受的压力太大，在提出“日心说”的同年，哥白尼就逝世了，在某种程度上，这也许是一种幸运。他没能活着看到他把上帝降级为一个旁观者的后果，那是一个更具人性和理性的世界。

大约在1600年，“观测天文学之父”伽利略做出了一系列伟大的天文学发现。太阳黑子、月球表面的陨石坑和金星的相位都是由他观测并确定的。他还对银河系产生了兴趣。银河系是一条神奇的星带，由密布的恒星和星际云构成。当我们凝视我们所在星系的中心时，会看到一条星带将夜空分为了两部分。伽利略最重要的成就之一，也许是发现了木星的4颗大卫星，现在它们被称为伽利略星。夜复一夜，日复一日，他一丝不苟地记录着行星在木星前后来回运动的方式，最终证明了那些卫星围绕着木星公转。这些观察结果本身就足以推翻“地心说”，并为哥白尼的“日心说”提供强有力的证据。与哥白尼不同的是，伽利略在有生之年一直捍卫着自己的理论，并为此被指控扰乱了神圣的秩序，余生都被软禁在家。虽然因为“妨碍上帝的存在”而受到了处罚，但伽利略与他的前辈哥白尼一起开辟了一条道路，永远向希望在所见之美下探索物理学而不仅仅是宗教推理的未来理论家敞开。

第谷·布拉赫（Tycho Brahe）是一位荷兰 贵族、天文学家，他在天文观测方面的成就与伽利略不相上下，但在信仰选择上更为保守。在一生中的大部分时间里，他都致力于发明观测仪器，并且逐步对天体的位置进行更精确的测量。在那个时代，他无疑掌握着关于天体运动的最精确的数据。他虽然尊重哥白尼的一些几何论证，但并没有放弃“地心说”，并且坚定地支持托勒密学说。1599年12月，他聘请了一位临时助手来帮助自己整理所有的数据，那位助手就是年轻的约翰尼斯·开普勒。一年之后，第谷猝然离世，为家人留下了大量巨细无遗的观测数据。最后，他的家人很不情愿地把那些宝贵的数据交给了他的临时助手——年轻的开普勒。

开普勒是第一位试图放弃神性、寻找行星运动的物理原理的天体物理学家（学界对此尚有争议）。他一生坎坷，母亲因为巫术差点儿被烧死在火刑柱上，而他5岁之后就再也没有见过自己那唯利是图的父亲，开普勒的妻子和三个孩子因为瘟疫与疾病相继去世。他童年时得过天花，这毁掉了他的视力，给他的手留下了残疾。虽然经历了各种悲剧，但当开普勒还是个小男孩时就开始了天文观测，看到了伟大而振奋人心的宇宙现象。人间的痛苦与不幸只会让他更渴望拥抱天堂。第一个重大事件是1577年出现的大彗星。它从地球附近掠过，全欧洲的人都看到了它，第谷也不例外。他正确地推断出，这并不是一个大气现象，而是出现在地球之外的一种事物。不久之后，开普勒观察到了月蚀，虽然他的视力很差，但他还是被月球的红色外表震惊了。从此，他将自己的心和剩下的视力都奉献给了天空。第谷良好的视力与他那不幸助手的短板形成了完美的互补。

开普勒是一位杰出的数学家、充满激情的天文学家和富有创造力的实验主义者，他敢于否定“地心说”和“完美球体”说，在整个学术生涯中始终坚守自己的信念，并对第谷毕生的工作给予了公正的评价。

一天，在一次关于天文学的演讲中，开普勒的脑中突然灵光一闪。在讨论行星运动时，开普勒猛然意识到，行星之间的距离并不是由偶然因素决定的，而是反映了毕达哥拉斯的“神圣比例”的观点。例如，就与太阳之间的距离来说，火星只有木星的一半，而前者会在一个比后者高8度的轨道上转动。虽然开普勒确信那些行星是按照“天体之声”运动的，但他并没有停止追问，就像现代科学家所做的那样。他想知道，为什么太阳系总共有6颗行星？为什么不是25颗或者3颗？那时，天王星和海王星尚未被发现。在经过数日令人沮丧的工作之后，开普勒得到了一个惊人的发现，即宇宙在数学比例上必然遵循着某种更深层的几何和谐。这一发现贯穿了他的余生。他认为，5种柏拉图多面体正是行星只有6颗的原因，它们还可以确定6颗行星之间的距离和各自的运动。

想象一个由柏拉图多面体构成的俄罗斯套娃。每个柏拉图多面体都可以被放进一个球壳中，多面体的每个顶点都能接触到球壳的内表面。通过这种方式，开普勒建立了一个模型，他在模型中设定了6个假想球壳，并把它们与6颗行星的位置对应起来。冒着被终身监禁的风险，他把太阳放在了中心，然后依次是水星、金星、地球、火星、木星和土星。它们的运动被限制在由柏拉图多面体分隔开的球壳内。1596年，他在《宇宙的奥秘》（ The Cosmic Mystery ）上发表了自己的研究成果（图5-4）。通过应用对称性与几何学，开普勒取得了非凡的成就，成功地解决了两个困扰了哲学家与天文学家两千年的基本问题。在26岁时，开普勒就指出了太阳系只有6颗行星的原因，并且几乎给出了它们的轨道。

然而，开普勒的观点并不全是对的。凭着惊人的直觉和数学才能，开普勒不断地完善着自己的方程和模型，并提出了一个意义深远的问题：在物理学上，到底是什么导致了行星环绕太阳运动？这又是另一个研究方向了。开普勒笃信宗教，最初希望从“三位一体”（Holy Trinity）的理论中寻找答案。上帝，也即太阳，居于中心；圣子是那些定星；圣灵散发出力量，或是力，以产生所有天体的运动。然而，这还不足以构成令他满意的解释。开普勒写道：“可能的解释只有两种：第一种，挪动行星的圣灵离太阳越远，其力量就越弱。第二种，太阳周围只有一个圣灵，离太阳越近的行星，圣灵施加于它的力量就越强。” ³ 他进一步推断，这种力量“与距离成反比，就像光的力量那样”。这是人类历史上首次将物理学推理的方法应用于天文学。开普勒正在慢慢解开一个巨大的谜题，在那些纠缠的未知之下潜藏着的是引力和光的物理学。他发现了圣灵和光在行为上的相似之处，即它们的力量都是离源越远越弱。开普勒还敏锐地意识到，太阳的“圣灵”是一种驱动行星运动的力，实际上，这就是后来被称为引力的力。然而，揭开行星绕太阳运动的秘密还需要更多的信息，而这些信息就隐藏在他已经掌握的数据之中——第谷在忙碌之中潦草地记下了详细的数据，这些数据揭示了火星的运动规律。

开普勒极为注重细节，他很快就意识到，第谷关于火星轨道的数据与自己模型的契合度并没有预期中那么高。严谨的数学肯定能解决这些细节问题。他想这可能要花几天时间，但他并没有望而却步。实际上，他花了将近8年时间才解决了这个问题。真正的问题在于，火星绕太阳运行的轨道偏离圆周太多，所以不可能用基于完美球体的模型来描述它。与之前的天文学家不同的是，开普勒最终放弃了他的柏拉图多面体理想模型，并本着发展的精神，转而采用了今日我们视之为现代科学方法的假说-检验法，以获得新的知识。那时，人们已经知道地球会释放出磁力，在此基础上，开普勒通过类比法，用来自太阳的磁力取代了圣灵。1605年，开普勒写道：

我忙于研究那些物理学原理。我这么做是想证明那些天体机器与神圣的生物没有关联，而只是钟表般的装置……几乎所有天体的运动都是通过一种简单到不能再简单的磁力来实现的，就像钟表一样。一种简单的重量决定了所有的运动。接下来，我还将展示通过计算和几何结构来表达这种物理概念。

虽然太阳的确具有磁力，而正是磁力催生了伽利略所观测到的太阳黑子，但它并不是开普勒所寻找的引力。

开普勒继续着自己的研究，并决定重新审视自己的毕达哥拉斯式理想，以及自己所坚信的“天体和谐论”。他充分领略了这种理想所带来的美。毕竟，毕达哥拉斯提出的数学理论奠定了西方音乐的基础，而文艺复兴时期的许多著名作曲家都是开普勒的侪辈，比如克劳迪奥·蒙特威尔第（Claudio Monteverdi）和威廉·伯德（William Byrd）。开普勒推测，如果这些行星沿着完美的圆轨道运动，那么整个轨道上的音高就应该是相同的。然而，有些行星的轨道是椭圆形的，就像火星那样。开普勒认为，这种行星离太阳越近，它就会运动得更快，音高也会变得更高。通过一种全新的形式，音高的变化为毕达哥拉斯学派的“宇宙和谐”理论做出了贡献。毕达哥拉斯的追随者认为比例能产生和谐的音符，比如八度音阶（其中的比例是2∶1）或纯五度音（其中的比例是3∶2），后者是“do re mi fa so la ti do”中的5个音符。就开普勒版本的“天体和谐论”来说，其关键之处在于采用了行星旋转的最大速度与最小速度之比。

令人着迷的是，开普勒是通过几何推理与音乐推理得到了开普勒三定律。这三条定律是非平凡方程，它们共同决定了行星沿着椭圆轨道进行的精确运动。到1605年时，他已经确定了行星是沿着椭圆形轨道而不是其他长形轨道运动，而且行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积（图5-5）。不过，直到15年后的1620年，他才发表了自己的三大行星定律，它们不仅描述了火星的运动，还描述了其他行星的运动。最后一条定律给出了行星轨道的周期与长度之间的精确数学关系。

成功之路漫长而艰难，开普勒最终理解了毕达哥拉斯提出的充满传奇色彩的“天体之声”，他甚至能把其中的音符写下来展示给世人（图5-6）。我曾有幸聆听了一张关于开普勒的“天体之声”的专辑，专辑名为《世界的和谐：约翰尼斯·开普勒之耳的天文学数据的实现，数据来自1619年的<世界的和谐>》（ The Harmony of the World: A Realization for the Ear of Johannes Kepler's Astronomical Data from Harmonics Mundi 1619 ） ⁴ ，由耶鲁大学音乐学院的作曲家威利·拉夫（Willie Ruff）和约翰·罗杰斯（John Rodgers）创作。行星在绕太阳做椭圆运动时所奏响的迷人且令人回味无穷的和声，经由这张唱片展现得淋漓尽致。令人惊讶的是，这些和声混合在一起竟形成一种统一的节奏，而这种节奏恰好与行星的周期性轨道相对应。例如，土星奏出大三度（音高比例为5∶4），木星奏出小三度（音高比例为6∶5），火星奏出五度（音高比例为3∶2）。在开普勒的设想 ⁵ 中，所有行星在神圣的愉悦中共同奏出了一首天体的和声。

最终，另一位天才牛顿确定了开普勒三大定律背后的正确的物理学原理。牛顿无疑是有史以来最具影响力的数学、物理学家之一，他于17世纪晚期发现了一种新的力——引力。正是因为引力的存在，太阳才能吸引行星，并使它们保持在椭圆轨道上。在出版于1687年的著作《自然哲学的数学原理》（ Mathematical Principles of Natural Philosophy ）中，牛顿描述了天体以及地球上的物体在引力作用下的运动。此外，他还从自己的万有引力定律中推导出了开普勒三定律，后者是开普勒通过分析几何结构与和谐宇宙得出的，不过带有一点毕达哥拉斯学派的遗留瑕疵。

在跨越领域的过程中，开普勒清楚地意识到了类比思维的作用。从球体的神性到和声与几何比例的数学，再到地球磁力和陌生的天体运动，他为后继的研究者提供了无尽的灵感。尤其是对理论物理学家来说，开普勒的奉献精神、创造力以及对待数学的严谨态度，都指向了通向新发现的终极大道。

如今，毕达哥拉斯畅想着天体和谐的时代已成为遥远的过去，“行星奏出音符”的理念也有可能被认为是经不起推敲或无关紧要的。即便这样，我们仍可以想象，若是毕达哥拉斯得知在太阳系之外竟然还有那么多行星，想必也会欢欣鼓舞吧。截至目前，开普勒任务（Kepler Mission）已经发现了2 000多颗候选系外行星，而这只是银河系中万亿数量级行星中的一小部分，就不用说自牛顿时代以来在宇宙中发现的其他新事物了，比如星系、星系团，以及难以捉摸的暗物质。当然，宇宙中还存在亚原子等级的物质，比如夸克和中子，以及包含在统一不同粒子与作用力中的对称性。对于一切自然现象可能都是由弦决定的这一观点，毕达哥拉斯又会如何看待呢？于毕达哥拉斯而言，今日的宇宙是一个在几何与和声方面具有无限可能的梦想。那么于我们又如何呢？

现代物理学家非常清楚，他们所构建的漂亮的数学模型无法描述他们所看到的事物。我们并没有尽到一个物理学家的职责。差异、分歧、反常现象，以及不合理的元素或初始条件总是存在，当然，问题远远不止这些。一些物理学家认为这是发现更深层的数学真理的机会，另一些物理学家则认为我们所掌握的知识已经达到了极限。当我们面对这些局限时，毕达哥拉斯的理想或许能发挥作用。古人仅凭直觉就意识到宇宙的本质是音乐，所以我很好奇，如果给定所有已知的知识，我们是否可以将这种直觉应用于今日的问题，从而进入现代物理学的新阶段？宇宙有没有可能实际上就是一种宏大的和声振动的表现方式呢？不和谐在我们的宇宙中扮演的又是什么角色呢？当然，任何类比都有极限，但在对知识的追求中，类比法的力量正在于其局限性。明白了类比法有其局限性后，我们只要在面对它留给我们的问题时足够大胆并不断创新，就能获得新的发现。优雅与美丽不仅存在于方程的形式中，还存在于人类做出发现的方法中。在我的求学历程中，利昂·库珀、布兰登伯格和艾沙姆都是极为重要的老师，因为他们教会了我探索发现的方法。

古代哲学家的学生仔细思索过天体之声、几何形式的完美、物力论（dynamism），以及有机的人与宇宙的数学之间的博弈。现在的学生学习的是古代哲学家提出的精确计算，比如开普勒的椭圆形轨道、牛顿的万有引力定律，以及爱因斯坦的更为复杂的时空方程。至于未来的学生会学习什么，我们无从得知。教育、技术和全球互联性正在飞速发展，学生若想跟上进度，研究者若想发现新的真理，教授若想给出指导和洞见，或许需要将古代和现代的哲学、创造力以及即兴创作能力结合起来，还要有着不怕犯错的魄力。

对我来说，开弓没有回头箭。 bM5WS01aekqdXqG9qBIt9wskl8GV3YJKtp1kT5zJqiWBDPnFdpRVPpJLJbPOo7/B