数论

迄今为止，数学领域内仍有一套庞大的体系一直坚守着“无用”的高贵地位，它唯一的作用就是帮助人们锻炼智力，这样的超然绝对配得上“纯粹之王”的桂冠。这套体系就是所谓的“数论”（这里的“数”指的是整数），它是最古老、最复杂的理论数学思想之一。

事实上，数论的绝大多数命题来自实践——人们尝试用数字去做各种事情，然后得到一些结果，由此形成理论。这样的过程和物理学别无二致，只不过物理学家尝试的对象是现实中的物体而非理论化的数字。数论和物理学还有一个相似之处：它的某些命题得到了“数学上”的证明，但另一些命题仍停留在经验主义的阶段，等待着最杰出的数学家去证明。

我们不妨以“质数问题”为例。质数指的是不能被比它小的数字（除了1以外）整除的数，如3、5、7、11、13、17等。而12就不是质数，因为它可以表示为2×2×3。

质数的个数是无限的吗？还是说存在一个最大的质数，比它大的任何数字都可以表示为已有质数的乘积？首先提出这个问题的正是欧几里得本人，他以一种简单而优雅的方式证明了质数有无穷多个，所以并不存在所谓的“最大质数”。

为了验证这个命题，我们暂且假设质数的个数是有限的，并用字母N来代表已知最大的质数。现在，我们将所有质数相乘，最后再加1，数学式如下：

（1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1

这个数学式得出的结果当然比所谓的“最大质数”N大得多，但是，这个数显然不能被任何一个质数（最大到N为止）整除，因为它是用上面这个数学式构建出来的；根据这个数学式，我们可以清晰地看到，无论用哪个质数去除它，最后必然得到余数1。

因此，我们得到的这个数字要么是个质数，要么能被一个大于N的质数整除，无论哪个结果都必将推翻我们最初的假设：N是最大的质数。

我们刚才采用的证明方法叫作“反证法”，它是数学家最爱的工具之一。