无穷大有多大

上一节中我们讨论了数字，其中很多数字相当大。尽管这些数字界的巨无霸（例如西萨·本·达希尔要求的麦粒数量）大得超乎想象，但它们依然是有限的，只要有足够的时间，你总能将它数到最后一位。

但世界上还有一些真正“无穷大”的数字，无论你花多少时间都写不完。比如说，“所有数字的数量”显然无穷大，同样的还有“一条线上所有几何点的数量”。除了“无穷大”以外，你还能用什么办法来描述这样的数字？或者说，我们能不能比较两个不同的“无穷数”，看看它们谁“更大”？

“所有数字的数量和一条线上所有几何点的数量，这两个数到底哪个大？”我们能这样问吗？著名数学家格奥尔格·康托尔头一次认真审视了这些被视作异想天开的问题，他是当之无愧的“无穷数学”奠基者。

要比较“无穷数”的大小，我们首先会遇到一个问题：这些数字我们既无法描述，也无法数清。康托尔提出：我们可以对两组无穷数进行配对，每个集合里的一个元素分别对应另一个集合里的一个元素，如果最后它们正好一一对应，任何一个集合都没有多余的元素，那么这两个数的大小相等；但是，如果两组无穷数无法一一对应，某个集合中存在无法配对的剩余元素，那么我们可以说，这个集合的无穷数更大，或者更强。

这显然是最合理的办法，事实上，要比较无穷大的数字，我们也只有这个办法；但是，如果你真的打算采用这种办法，那你得做好大吃一惊的准备。比如说，奇数的数量和偶数的数量都是无穷大，我们先来比较一下这两个无穷数。当然，出于直觉，你肯定认为这两个数相等，它们也完全符合我们刚才描述的规律，奇数和偶数可以列成一对一的组合：

在这张表格中，每个偶数都有一个对应的奇数，反之亦然；因此，奇数的数量和偶数的数量是两个相等的无穷数。看起来真的非常简单自然！

不过，请稍等一下。下面两个数你觉得哪个更大：所有数字的数量（包括奇数和偶数）和偶数的数量？你当然会说，肯定是所有数字的数量更大，因为除了偶数以外，它还包含了奇数。不过这只是你的直觉，要找到准确答案，你得严格按照我们上面描述的方法来比较这两个无穷数。这样一来，你会惊讶地发现，你的直觉错了。事实上，所有数字的集合和只有偶数的集合也能做成一张一一对应的表格：

根据无穷数的比较规则，我们只能说，偶数的数量和所有数的数量是两个相等的无穷数。这听起来当然很矛盾，因为偶数只是所有数字的一部分，但我们必须记住，这里讨论的是无穷数，所以我们只能做好准备，直面它们的古怪特性。

事实上，在无穷数的世界里，部分可能等于整体！这方面最好的例子大概是德国数学家大卫·希尔伯特讲的一个故事。据说希尔伯特曾在开讲座的时候这样描述无穷数的矛盾特性：

我们不妨想象一家旅馆，它的房间数量是有限的。现在所有房间都住满了，一位新来的客人想要一个房间。“对不起，”店主回答，“但我们已经客满了。”接下来，我们再想象一家拥有无穷多个房间的旅馆，所有房间同样住满了。这家旅馆也来了一位想住店的新客人。

“当然可以！”店主热情地喊道。于是他将原来住在一号房的客人挪到二号房，二号房的客人挪到三号房，三号房的挪到四号房，以此类推……最后新客人住进了刚刚腾出来的一号房。

现在我们继续想象，一家旅馆拥有无穷多个房间，现在来了无穷多个想住店的新客人。

“没问题，先生们，”店主回答，“稍等一下。”

他让一号房的客人挪到二号房，二号房的客人挪到四号房，三号房的客人挪到六号房，以此类推……

现在所有奇数号的房间都空了出来，新来的无穷多位客人轻轻松松就安置了下来。

这个故事抓住了问题的重点：无穷大的数字的确拥有一些不同于普通数字的古怪特性。

根据康托尔的“无穷数比较法则”，我们现在还能证明分数（例如3/7或者735/8）的数量等于整数的数量。事实上，我们可以根据如下规则将所有分数排成一行：先写下分子与分母之和等于2的分数，这样的分数只有一个：1/1；然后写下分子分母之和等于3的分数：2/1和1/2；接下来是分子分母和为4的：3/1、2/2、1/3。以此类推，最终我们将得到一个包含了所有分数的无限长的数列。现在，我们在这个数列上方写下整数数列，让这个数列中的每个项和分数数列一一对应。最后你会发现，分数的数量和整数的数量相等！ LExjhep3NwVL1ajiHJ5uP91L5u8yYH7ZYh5mBBsZl/1+fPtVGHfTYVVDpaHh42VN