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我们来到一座陌生的城市，询问酒店前台某家著名公司的位置，那么店员也许会说：“往南走五个街区，然后右转经过两个街区，直接上七楼。”这三个数字通常被称为坐标，在我们刚才讲的这个例子里，坐标描述了城市街道、建筑楼层和酒店大堂起点之间的关系。不过显然，要前往一个确定的目的地，无论起点如何变化，只要有一套能够正确描述新起点与目的地之间方位关系的坐标系，我们总能找到正确的方向。与此同时，我们还能通过简单的数学运算，根据新旧坐标系之间的相对位置得出原有目的地的新坐标，这个过程被称为坐标变换。这里或许应该补充一句，这三个坐标不一定是代表距离的数字，事实上，在某些情况下，角坐标比距离坐标更方便。
我们在图2中给出了几个例子，你可以从中看到如何用不同的方法来表达空间中某个点的三个坐标，其中有的坐标代表距离，有的坐标代表角度。但无论采用哪种坐标系，我们都需要三个数字才能准确描述方位，因为这里讨论的是三维空间。
图2
对于习惯了三维空间的我们来说，要想象大于三个维度的超空间（不过我们很快就将看到，这样的空间的确存在）无疑是件难事；但反过来说，想象小于三个维度的低维空间就简单多了。平面，球面，或者其他任意什么面，这都是二维空间，因为我们只需要两个数就能表达这个面上任意一点的位置。以此类推，线（无论是直线还是曲线）是一维空间，在这样的空间中描述位置只需要一个数。我们还可以说，点是零维空间，因为一个点内的任何位置都没有区别。但谁也不会对点有多大的兴趣吧！
作为三维生物，我们很容易理解线和面的几何性质，因为你可以“从外面”观察；不过要理解我们身处其中的三维空间，那就难得多了。所以你可以毫无障碍地理解曲线和曲面，但要说三维空间也可以是弯曲的，你大概就会一脸茫然。