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现在我们来做一点高级算术。2的平方等于4，3的平方是9，4的平方是16，5的平方是25，因此4的平方根等于2，9的平方根是3，16的平方根是4，25的平方根是5。
但负数的平方根又该是什么呢？
和
这样的数学式有何意义？
若要寻找一个合理的解释，你会毫不犹豫地得出结论：上述数学式完全没有意义。用12世纪数学家布拉敏·婆什迦罗的话来说：“正数的平方和负数的平方都是正数，因此正数的平方根有两个，其一为正，其二为负。负数没有平方根，因为任何数的平方都不会是负数。”
但数学家都是顽固的家伙，如果某种完全没有意义的东西反复出现在他们的方程里，他们就会想方设法，试图赋予它意义。负数的平方根就是这么个讨厌的家伙，无论是在古代数学家苦苦思索的简单算术问题里，还是在20世纪相对论框架下时空统一的方程中，你总能看见它的身影。
第一位将看似无意义的负数平方根列入方程的勇者是16世纪的意大利数学家卡尔达诺。当时他试图将数字10拆成两个部分，使二者的乘积等于40。卡尔达诺指出，尽管这个问题没有合理的解，但从数学上说，它的答案可以写成两个看似不可能的表达式：
尽管卡尔达诺认为这两个数学式没有意义，完全出于幻想和虚构，但他还是把它们写了下来。
既然有人不惮背负虚构之名，写下负数的平方根，那么将10拆分成两个乘积等于40的部分，这个问题也就有了解。“负数的平方根”这块坚冰被打破了，人们从卡尔达诺使用的修饰词中挑了一个来给这样的数命名，所以现在它被称为“虚数”。自从虚数诞生以后，数学家开始越来越频繁地使用这个概念，虽然在用的时候他们常常表现得顾虑重重，借口多多。1770年，著名德国数学家莱昂哈德·欧拉出版了一本代数学著作，虚数在这本书中得到了广泛的应用，但欧拉在书中留下了这样的附言：“诸如
、
之类的表达都是不可能的数，或称虚数。因为它们代表负数的平方根，对于这样的数，也许我们只能说，它们不是零，但并不比零大，也不比零小，所以它们完全是虚构出来的数，或者说不可能的数。”
尽管有这么多借口，但虚数还是迅速成为数学领域不可或缺的元素，就像分数和根式一样，要是不能使用虚数，你简直寸步难行。