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费马大定理

要讨论整数,费马大定理是个绕不开的话题,它代表着与质数性质全然无关的另一类数学问题。费马大定理的根源可以追溯到古埃及时期,那时候的每个好木匠都知道,如果一个三角形的边长之比是3∶4∶5,那它必然包含一个直角。事实上,古埃及人利用这样的三角形来充当木匠的三角尺,所以今天的我们称之为“埃及三角形”。

公元3世纪,亚历山大的丢番图开始进一步探索这个问题。他想知道,除了3和4以外,是否还有另外两个整数的平方和正好等于第三个整数的平方。他的确找到了性质和“3、4、5”完全相同的其他数字组合(事实上,这样的组合有无穷多个),并给出了寻找这类组合的通用规则。现在,这种三条边的长度都可表达为整数的直角三角形被称为“毕达哥拉斯三角形”,埃及三角形是人类发现的第一个毕达哥拉斯三角形。构建毕达哥拉斯三角形的过程可以简单地概括为一个数学式:

x 2 +y 2 =z 2

其中x、y和z都必须是整数。

1621年,皮埃尔·费马在巴黎买了一本丢番图著作《算术》的法语新译本,其中就有关于毕达哥拉斯三角形的内容。读到这里的时候,费马在页边写了一条简短的笔记,他提出,方程x 2 +y 2 =z 2 有无穷多组整数解,但对于

x n +y n =z n

这样的方程,如果n大于2,那么该方程无解。

“我有一个绝妙的办法可以证明这一点,”费马继续写道,“但这一页的页边太窄了,实在写不下。”

费马死后,人们在他的藏书室里找到了丢番图的著作,费马在页边留下的这条笔记也因此变得举世皆知。三个多世纪以来,各国最优秀的数学家一直试图重现费马写下笔记时所想的证明过程,但迄今仍未成功。不过确切地说,数学界在这个问题上已经取得了长足的进展,为了证明费马大定理,他们甚至发展出了一门全新的数学分支,也就是所谓的“理想论”。欧拉证明了方程x 3 +y 3 =z 3 和x 4 +y 4 =z 4 不可能有整数解;狄利克雷又证明了x 5 +y 5 =z 5 没有整数解,再加上其他几位数学家的努力,目前我们已经确认,只要n小于269,这个方程都没有整数解。但目前(截至作者成书年代)我们仍未找到n为任意值的通用解,越来越多的人开始怀疑,费马本人可能根本没有证明这一猜想,或者是他弄错了。为了证明费马大定理,甚至有人提供了10万德国马克的悬赏,于是这个数学问题变得更加炙手可热,但所有试图淘金的业余爱好者最终都无功而返。

当然,费马大定理可能是错的,也许我们能找到一个反例,证明两个整数的高次幂之和等于第三个整数的同一次幂。不过事到如今,这个n必然大于269,要找到它可不容易。 isxUfUIZazatmcA8SAi0g9dEzVPE4y37FSGD+5RlNZf21hVLx6m4DwFNEX/j9KCA

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