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要讨论整数，费马大定理是个绕不开的话题，它代表着与质数性质全然无关的另一类数学问题。费马大定理的根源可以追溯到古埃及时期，那时候的每个好木匠都知道，如果一个三角形的边长之比是3∶4∶5，那它必然包含一个直角。事实上，古埃及人利用这样的三角形来充当木匠的三角尺，所以今天的我们称之为“埃及三角形”。
公元3世纪，亚历山大的丢番图开始进一步探索这个问题。他想知道，除了3和4以外，是否还有另外两个整数的平方和正好等于第三个整数的平方。他的确找到了性质和“3、4、5”完全相同的其他数字组合（事实上，这样的组合有无穷多个），并给出了寻找这类组合的通用规则。现在，这种三条边的长度都可表达为整数的直角三角形被称为“毕达哥拉斯三角形”，埃及三角形是人类发现的第一个毕达哥拉斯三角形。构建毕达哥拉斯三角形的过程可以简单地概括为一个数学式：
x 2 +y 2 =z 2
其中x、y和z都必须是整数。
1621年，皮埃尔·费马在巴黎买了一本丢番图著作《算术》的法语新译本，其中就有关于毕达哥拉斯三角形的内容。读到这里的时候，费马在页边写了一条简短的笔记，他提出，方程x 2 +y 2 =z 2 有无穷多组整数解，但对于
x n +y n =z n
这样的方程，如果n大于2，那么该方程无解。
“我有一个绝妙的办法可以证明这一点，”费马继续写道，“但这一页的页边太窄了，实在写不下。”
费马死后，人们在他的藏书室里找到了丢番图的著作，费马在页边留下的这条笔记也因此变得举世皆知。三个多世纪以来，各国最优秀的数学家一直试图重现费马写下笔记时所想的证明过程，但迄今仍未成功。不过确切地说，数学界在这个问题上已经取得了长足的进展，为了证明费马大定理，他们甚至发展出了一门全新的数学分支，也就是所谓的“理想论”。欧拉证明了方程x 3 +y 3 =z 3 和x 4 +y 4 =z 4 不可能有整数解；狄利克雷又证明了x 5 +y 5 =z 5 没有整数解，再加上其他几位数学家的努力，目前我们已经确认，只要n小于269，这个方程都没有整数解。但目前（截至作者成书年代）我们仍未找到n为任意值的通用解，越来越多的人开始怀疑，费马本人可能根本没有证明这一猜想，或者是他弄错了。为了证明费马大定理，甚至有人提供了10万德国马克的悬赏，于是这个数学问题变得更加炙手可热，但所有试图淘金的业余爱好者最终都无功而返。
当然，费马大定理可能是错的，也许我们能找到一个反例，证明两个整数的高次幂之和等于第三个整数的同一次幂。不过事到如今，这个n必然大于269，要找到它可不容易。