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音乐能激发或抚慰情绪,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可改善物质生活,但数学能给予以上的一切．
——F．克雷恩
在上一讲,我们学习了如何从图形排列中找规律．在这一讲中,我们将学习怎样从数字排列中找规律．
怎样从数字排列中找规律呢?一要开动脑筋,细心观察题目中数字的特征;二是灵活运用整数的有关知识,加、减、乘、除的计算法则及它们之间的关系,并进行合理的推想,认真分析题目中所给数据与未知数据的关系,从中发现规律,按规律填数,使问题得到解答．
具体地讲,从数字排列中找规律时,应努力把握好以下几点．
(1)对一列数的排列规律的分析,一般的思考步骤是:按顺序依次对这列数中相邻的几个数进行相同的四则运算,将它们的运算结果依次写下来组成新的一列数．通过对这列数的排列规律进行分析,从而达到对原来那列数的排列规律的了解．
(2)有时,需要将一列数分成两列数,分别找出它们各自的变化规律．
(3)对一列数的排列规律的分析,往往需要我们灵活地思考,具体问题具体分析,因为不同事物的规律往往也是不相同的．有时需要综合运用其他知识,当一种方法行不通时,就要换另一种方法接着分析．
(4)对于找到的规律,它应该适用于这列数中的所有数,不能只适用于前面的几个数,或最后的几个数,而不适用于这列数中其他的数．对于这一点,我们解题时须特别注意．
【例4-1】 观察与分析下面各列数的排列规律,然后填空．
(1)5,9,13,17,___,___．
(2)10,12,16,22,___,___．
(3)1,4,9,16,___,___．
(4)4,5,7,11,19,___,___．
(5)2,4,8,16,___,___．
分析与解 分析数列的排列规律,一般是按顺序依次对这列数中相邻的数进行相同的四则运算,根据计算结果进行比较,从中找到规律．
(1)依次用后一个数减去相邻的前一个数,差都是4．所以,后两个空依次填21,25．
(2)依次用后一个数减去相邻的前一个数,它们的差依次为2,4,6．所以,后两个差应依次为8,10,后两个空应填30,40．
(3)由于1＝1×1,4＝2×2,9＝3×3,16＝4×4,因此,后两个数应分别为5×5,6×6．所以,后两个空应依次填25,36．
(4)由于5－4＝1,7－5＝2,11－7＝4,19－11＝8,而且观察1,2,4,8这列数,一个数的2倍便是它后面的数．因此,后两个空应分别填16＋19＝35,32＋35＝67．
(5)因为2＝2,4＝2×2,8＝2×2×2,16＝2×2×2×2,因此,后两个数应分别为5个2相乘和6个2相乘．所以,后两个空应分别填上2×2×2×2×2＝32,2×2×2×2×2×2＝64．
评注 对于一数列的排列规律的分析，通常是对这一数列进行某种运算，然后依次将运算结果写下来,组成新的数列．而后,观察新的数列的排列规律,从而得出原来数列的排列规律．
【例4-2】 找出下面各数列的排列规律,在横线上填出适当的数．
(1)5,15,45,135,___,___．
(2)60,63,68,75,___,___．
(3)180,155,131,108,___,___．
(4)0,1,1,2,3,5,___,___．
(5)6,1,8,3,10,5,12,7,___,___．
分析与解 (1)因为15＝5×3,45＝15×3,135＝45×3,所以这一数列的排列规律是:后一个数总是它前一个数的3倍．由此可知,要填的数次为405,1215．
(2)如果算一算相邻两个数的差,有63－60＝3,68－63＝5,75－68＝7．可知,相邻的两个数的差依次为3,5,7,9,11．所以,75再往后的数将是75＋9＝84,84＋11＝95．
(3)因为这一数列的排列是从大到小,相邻的两个数的差依次是25,24,23,22,21．所以,108后面的数依次应是108－22＝86,86－21＝65．
(4)算一算相邻两数的和．0＋1＝1,1＋1＝2,1＋2＝3,2＋3＝5,很明显,这一数列的排列规律是:后面的数是前面两个数的和．所以,5后面的两个数应分别为8,13．
(5)这道题仅从相邻的两个数字难以看出内在的规律．仔细观察,才悟出要将原来的数列分为两个数列来考虑．第一个数列是6,8,10,12,14,每相邻的两个数的差是2;第二个数列是1,3,5,7,9,每相邻的两个数的差也是2．又因为第一个数列与第二个数列是间隔排列,所以,7后面依次应填14,9．
【例4-3】 找规律,在横线上填上适当的数．
(1)17,1,15,1,13,1,___,___,9,1．
(2)45,1,43,3,41,5,___,___,37,9．
(3)10,20,21,42,43,___,___,174,175．
(4)4,9,19,34,54,___,___,144．
分析与解 (1)观察这一数列后,发现每隔一个数就出现一个1,其余的数依次减少2．所以,两个空白处依次应填11和1．
(2)观察这一数列后,可以发现,第一个数减少2就是第三个数,第二个数增加2就是第四个数……由此可知,空白处依次填39和7．
(3)第二个数是第一个数的2倍,第三个数比第二个数多1,第四个数是第三个数的2倍,第五个数又比第四个数多1……根据这一规律,第六个数应是第五个数的2倍,第七个数应比第六个数多1．所以,空白处依次填86和87．
(4)第二个数比第一个数多5,第三个数比第二个数多10,第四个数比第三个数多15……其中的规律可表示为:
所以,空白处依次填79和109．
【例4-4】 先观察下面各算式,找出规律,然后填数
(1)因为,19＝1×9＋(1＋9),
29＝2×9＋(2＋9),
39＝3×9＋(3＋9),
所以,89＝_____．
又因为,199＝19×9＋(19＋9),所以,1999＝_____．
(2)因为,1＋2×9＝19,
1＋22×9＝199,
所以,1＋222×9＝_____．
又因为,2＋232×9＝2090,
3＋343×9＝3090,
所以,4＋454×9＝_____,8＋898×9＝_____．
且因为,11＋121×9＝1100,
12＋232×9＝2100,
所以,13＋343×9＝_____,
15＋565×9＝_____,
18＋898×9＝_____．
分析与解 这类题是先给出规律,然后依照这个规律填数．
(1)我们可以看出,在给出的四个等式中,等式左边的个位数字都是9;等式右边的第一部分是十位上的数字乘以9,第二部分是十位上的数字加上9．由此可知
(2)观察所给的六个等式,我们发现:9乘几个2组成的数再加1,就等于几个9和一个1组成的数,其中最高位上的数字是1;9乘一个三位数,这个三位数的百位和个位数字相同,十位数字都比百(个)位数字大1,再加上一个与三位数的百(个)位数字相同的一位数,就等于一个四位数,这个四位数的十位数字都是9,百位、个位数字都是0,千位数字就是等号左边的那个一位数;9乘一个和上面相同的三位数,再加上一个两位数,这个两位数的十位数字都是1,个位数字与三位数的百(个)位数相同,就得到一个四位数,这个四位数的个位和十位数字都是0,百位数字都是1,千位数字正好就是等号左边那个两位数的个位数字．所以
1＋222×9＝1999, 4＋454×9＝4090,
8＋898×9＝8090,13＋343×9＝3100,
15＋565×9＝5100,18＋898×9＝8100．
找规律,在横线上填上适当的数(1~9题)．
1．9,11,15,21,29,___,___．
2．5,14,41,122,___．
3．1,2,2,4,8,32,___．
4．7,14,10,12,14,9,19,5,___,___．
5．7,8,10,___,22,38．
6．1,3,9,27,___,243．
7．1,3,6,10,___,21,28,36,___．
8．1,2,6,24,120,___,5040．
9．5,7,11,19,35,___,131,259．
10．一串数按下面规律排列:
1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,…
从第一个数算起,前100个数的和是多少?
11．下面各行数中都有一个与众不同的数,请找出来．
(1)6,12,3,27,21,10,15,30．
(2)2,5,10,16,22,28,32,38,24．
(3)2,3,5,8,12,16,23,30．
(4)2,4,8,12,16,32．
12．先观察前面三个算式,然后找出规律,并根据找出的规律,直接写出后面两个算式的积．
(1)123456789×9＝111 111 1101,
(2)123456789×18＝222 222 2202,
(3)123456789×27＝333 333 3303,
(4)123456789×72＝_____,
(5)123456789×63＝_____．
13．观察下面三个等式,找出规律,然后依次写出第四至第八个等式．
1×9＋2＝11,
12×9＋3＝111,
123×9＋4＝1111．
14．40个数排成一排,除排头、排尾两个数外,每个数的3倍数都等于它两边的两个数的和．已知排头四个数是2、1、1、2,那么,排尾那个数是奇数还是偶数?