第6讲
加减法的巧算

我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算．

——纳皮尔

知识方法扫描

计算是学习数学应该掌握的基础知识和基本技能之一．你一定希望自己在计算时,算得既正确又迅速,既合理又灵活吧!那么,怎样才能做到这些呢?

首先,我们要熟练地掌握加减基本计算法则;其次,我们还要根据题目的特点,选用合适的运算定律、性质及巧算方法．

1．加法运算定律

(1)加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变．即

a ＋ b ＝ b ＋ a ．

(2)加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,再加上第三个数;或者先把后两个数相加,再同第一个数相加,它们的和不变．即

a ＋ b ＋ c ＝( a ＋ b )＋ c ＝ a ＋( b ＋ c )．

这时应注意,如果推广到多个数相加,任意交换加数的位置,它们的和不变;或者先把其中的几个数结合成一组相加,再把所得的和同其余的数相加,它们的和不变．

在连加算式中,我们可以同时使用加法的交换律和结合律,先把和是整十、整百、整千……的加数加起来,然后再与其他加数相加,从而达到进行巧算的目的．

2．减法的运算性质

(1)一个数减去几个数的和,等于从这个数里依次减去和中的每个加数．即

a －( b ＋ c ＋ d )＝ a － b － c － d ．

反之,一个数连续减去几个数,等于从这个数里减去这几个数的和．即

a － b － c － d ＝ a －( b ＋ c ＋ d )．

(2)一个数减去两个数的差,等于从这个数中减去差里的被减数(在能减的情况下),再加上差里的减数;或者先加上差里的减数,再减去差里的被减数．即

a －( b － c )＝ a － b ＋ c ,

或

a －( b － c )＝ a ＋ c － b．

(3)几个数的和减去一个数,等于从任何一个加数里减去这个数(在能减的情况下),再同其余的加数相加．即

( a ＋ b ＋ c )－ d ＝( a － d )＋ b ＋ c

＝ a ＋( b － d )＋ c

＝ a ＋ b ＋( c － d )．

为了帮助记住这些运算性质,可以简要地概括如下:

第一,在连减或加减混合运算中,如果算式中没有括号,计算时,可以带着符号“搬家”．即

a － b － c ＝ a － c － b ,

a － b ＋ c ＝ a ＋ c － b ．

第二,在加减混合运算中,如果括号的前面是“－”号,那么,去掉括号时,括号内的减号变加号,加号变减号;如果括号的前面是“＋”号,那么,去掉括号时,括号内的符号不变．我们把这种运算性质叫作加减混合运算去括号的性质．即

a －( b ＋ c )＝ a － b － c ,

a －( b － c )＝ a － b ＋ c ,

a ＋( b ＋ c )＝ a ＋ b ＋ c ,

a ＋( b － c )＝ a ＋ b － c ．

经典例题解析

【例6-1】 巧算下面各题．

(1)876＋385＋124＋615．

分析 我们仔细观察算式,很快发现:

876＋124＝1000,

375＋615＝1000．

如果两个数的和正好是10,100,1000,10000,……我们就说这两个数互为补数．

解 876＋385＋124＋615

＝(876＋124)＋(385＋615)

＝1000＋1000

＝2000．

评注 互为补数的两个数个位数字之和是10,其他对应数位上的数字之和是9．

(2)673＋288．

分析 这道题目乍看起来,不具备巧算的条件,那怎么办呢?我们可以利用转换的思考方法,把其中一个加数拆分成两部分,使其中一部分刚好是另一个加数的补数,能与另一个加数凑整,这样计算比较简便．

解 673＋288

＝661＋12＋288

＝661＋(12＋288)

＝661＋300

＝961．

(3)(84＋37＋55)＋(16＋45＋63)．

解 原式＝(84＋16)＋(37＋63)＋(55＋45)

＝100＋100＋100

＝300．

(4)9＋99＋999＋9999＋6．

解 原式＝(9＋1)＋(99＋1)＋(999＋1)＋(9999＋1)＋2

＝10＋100＋1000＋10000＋2

＝11110＋2

＝11112．

【例6- 2 】 巧算下列各题．

(1)6397＋1876－397; 5462－1245－462．

分析 我们可利用带着符号“搬家”的性质,使运算简便．

解 6397＋1876－397

＝6397－397＋1876

＝6000＋1876

＝7876;

5462－1245－462

＝5462－462－1245

＝5000－1245

＝3755．

(2)532－(32＋184); 5283－(283－298);

1825＋(175＋648); 576＋(438－176)．

分析 我们可利用去括号的性质,使运算简便．

解 532－(32＋184)

＝532－32－184

＝500－184

＝316;

5283－(283－298)

＝5283－283＋298

＝5000＋298

＝5298;

1825＋(175＋648)

＝1825＋175＋648

＝2000＋648

＝2648;

576＋(438－176)

＝576－176＋438

＝400＋438

＝838．

(3)1457－399; 3572＋998．

分析 可以先把减数或加数转化成整十、整百、整千……的数,再利用去括号的性质进行运算．也可以直接加补或减补．

解法 1 1457－399

＝1457－(400－1)

＝1457－400＋1

＝1057＋1

＝1058;

3572＋998

＝3572＋(1000－2)

＝3572＋1000－2

＝4572－2

＝4570．

解法 2 1457－399

＝1457－400＋1

＝1057＋1

＝1058;

3572＋998

＝3572＋1000－2

＝4572－2

＝4570．

(4)63＋62＋58＋59＋60＋61＋58＋59＋57＋64．

分析 当许多大小不同而又比较近的数相加时,可选择其中一个数,最好是整十、整百、整千……的数作为计数的基础,这个数叫作基准数．再把大于基准数的加数写成基准数与某数的和的形式,把小于基准数的加数写成基准数与某数的差的形式,最后再利用加减混合运算的性质进行简便计算．本题的基准数选为60．

解 原式＝(60＋3)＋(60＋2)＋(60－2)＋(60－1)＋60＋(60＋1)＋

(60－2)＋(60－1)＋(60－3)＋(60＋4)

＝60×10＋(3＋2－2－1＋1－2－1－3＋4)

＝600＋(3＋2＋1＋4)－(2＋1＋2＋1＋3)

＝600＋10－9

＝601．

评注 当许多大小不同，但彼此又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，最好是整十、整百、整千 …… 的数作为基准数,再找出每个加数与基准数的差,把这些差累计起来,再用基准数乘以加数的个数,加上累计差,就是答案．本题可简写如下:

原式＝60×10＋(3＋2＋1＋4)－(2＋1＋2＋1＋3)

＝600＋10－9

＝601．

(5)29＋299＋2999＋29999＋299999．

解 原式＝(29＋1)＋(299＋1)＋(2999＋1)＋(29999＋1)＋(299999＋1)－5

＝30＋300＋3000＋30000＋300000－5

＝333330－5

＝333325．

强化训练

1．12355＋48061＋87326＋87645＋51939＋12674＝___．

2．375＋139＋225＋261＝___．

3．8736＋197＋198＝___．

4．8＋98＋998＋9998＋99998＝___．

5．15＋9＋99＋999＋9999＝___．

6．675－123－377＝___．

7．457－123－57－77＝___．

8．9856－(856＋1130)＝___．

9．1083－(283－119)＝___．

10．583＋674－574－183＝___．

11．101＋102＋103＋99＋104＋96＋106＋103＋98＋97＝___．

12．5＋55＋555＋…＋5555555555的和,后四位数字是几?

13．(123456＋234561＋345612＋456123＋561234＋612345)÷77的商是多少?

14．1~1999这1999个自然数的所有数字之和是多少?(如1999的数字之和为1＋9＋9＋9) hNSYmDC4xXNCskx9bPRteLCOxZlqZu4YCug4NQEl872dnywQoVQrtAXSIyOOQXlS