下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
2.1 电阻电路的等效变换
具有两个出线端的部分电路通常被称为 二端网络 ，如果这个二端网络中含有独立电源，则称为 有源二端网络 ；如果不含独立电源，则称为 无源二端网络 。在图2.1a中，A部分电路是由电源和电阻构成的，是有源二端网络。B部分电路是由几个电阻构成的，是无源二端网络。
图 2.1 电路的等效变换
对电路进行分析和计算时，有时可以把电路中某一部分简化，即用一个较为简单的电路替代原电路。图2.1a中的B这个无源二端网络就可以利用电阻的串并联公式用一个电阻 R eq 替代，如图2.1b所示，使整个电路得以简化。进行替代的条件是使图2.1中B部分和C部分电路有相同的伏安特性（相同的电压和电流），电阻 R eq 称为 等效电阻 。当图2.1a中B部分电路被 R eq 替代后，A部分电路的任何电压、电流和功率都将维持与原电路相同，这就是电路的“等效概念”，即当电路中某一部分（二端网络）用其等效电路替代后，未被替代部分的电压、电流和功率均应保持不变。
用等效电路的方法求解电路时，需要注意的是“ 对外等效 ”的概念。电压、电流和功率保持不变的部分仅限于二端网络以外的电路。等效后的电路与原来的部分显然是不同的，例如把图2.1a所示电路简化后，不难按图2.1b求得端子1-1’左部分的电流 i 和端子1-1’的电压 u ，它们分别等于原电路中的电流 i 和电压 u 。如果要求图2.1a中B部分电路的各电阻的电流，就必须回到原电路，根据已求得的电流 i 和电压 u 求解。所谓“对外等效”也就是对端口外部电路的作用效果相等。
习惯上把图2.1a与图2.1b说成是互为等效变换电路。电路等效变换的目的是为简化电路，可以方便地求出结果。
例2.1 求图2.2所示电路中电压源发出的功率 P 。
图 2.2 例2.1电路
解 ：这是一个电阻的混联电路，右侧1Ω电阻和2Ω电阻串联，再和中间6Ω电阻并联，然后和左侧2Ω电阻串联，利用第1章电阻的串并联等效公式，可以简化为一个单回路电路。
总的等效电阻为
R eq =（1+2）//6Ω+2Ω=4Ω
等效以后就是一个单回路电路，电压源发出的功率 P 就等于等效电阻消耗的功率
有的电路的混联是无法用串并联合并的。比较典型的有电阻的星形与三角形联结，两者之间可以进行等效变换。
图 2.3所示是一种具有桥形结构的电路，它是测量中常用的一种电桥电路，其中的电阻既非串联又非并联。 R 1 、 R 3 和 R 5 （ R 2 、 R 4 和 R 5 ）各个电阻有一端接在一个公共结点上，另一端则分别接到3个端子上，构成一个 Y联结 （ 或称为星形联结 ）；电阻 R 1 、 R 2 和 R 5 （ R 3 、 R 4 和 R 5 ）各个电阻分别接在3个端子的每两个之间，构成一个△ 联结 （ 或称为三角形联结 ）。
图 2.3 电桥电路
Y联结和△联结都是通过3个端子与外部相连。图2.4a、2.4b分别示出接于端子1、2、3的Y联结和△联结的3个电阻。端子1、2、3与电路的其他部分相连，图中没有画出电路的其他部分。当两种联结的电阻之间满足一定的关系时，它们在端子1、2、3以外的特性可以相同，就是说它们可以互相等效变换。如果在它们的对应端子之间具有相同的电压，即 u 12 = u 23 = u 31 ，而流入对应端子的电流分别相等，即 i 1 = i′ 1 ， i 2 = i′ 2 ， i 3 = i′ 3 ，在这种条件下，它们彼此等效。这就是Y-△等效变换的条件。
对于图2.4a所示的Y联结电路，根据KCL和KVL求出端子电压与端子电流之间的关系方程组为
图 2.4 Y联结和△联结
可以解出电流为
对于图2.4b所示的△联结电路，各电阻中电流为
根据KCL，图2.4b中的△联结电路端子电流分别为
由于两个等效电路对应的端子电压、电流均相等，故式（2-1）与式（2-2）中电压 u 12 、 u 23 、 u 31 前面的系数应该对应相等。于是得到
式（2-3）就是根据Y联结的电阻确定△联结的电阻的公式。
由式（2-3）可求出
式（2-4）就是根据△联结的电阻确定Y联结的电阻的公式。
式（2-3）和式（2-4）的共同规律是端子1、2、3的“互换性”。为了便于记忆，以上互换公式可归纳为
分析这两个公式的量纲可以发现这两组公式的量纲式为Ω=Ω·Ω/Ω，所以乘积项一定在分子上——此为“积上”。式（2-3）是求△联结的电阻的公式，“△”字的“一”在下，则“和”在上；式（2-4）是求Y联结的电阻的公式，“Y”字的“一”在上，则“和”在下。此为“和平”，合起来即为“积上和平”。
若Y联结中3个电阻相等，即 R 1 = R 2 = R 3 = R Y ，则等效△联结中3个电阻也相等，由式（2-12）可以求出它们等于
或
例2.2 求图2.5a所示桥形电路的总电阻 R 12 。
图 2.5 例2.3的图
解 ：将结点①、③、④内的△电路用等效Y电路替代，得到图2.5b。利用式（2-4）得
然后用串、并联的方法，得到图2.5c～图2.5e，所以
二端口网络向外引出一对端子，这对端子可以与外部电源或其他电路相连接。对一个端口来说，从它的一个端子流入的电流一定等于从另一个端子流出的电流。图2.6a所示是一个二端口网络的图形表示。
图 2.6 二端口网络的输入电阻
如果一个二端口网络内部含电阻，则应用电阻的串、并联和Y-△变换等方法，可以求得它的等效电阻。如果二端口网络内部除电阻以外还含有受控源，但不含任何独立电源，可以证明（见3.3节），不论内部如何复杂，端口电压与端口电流均成正比，如图2.6a所示，定义此端口的 输入电阻 为
端口的输入电阻也就是端口的等效电阻，但两者的含义有区别。求端口的等效电阻的一般方法称为电压、电流法，即在端口加以电压源
u
s
，然后求出端口电流
i
；或在端口加以电流源
i
s
，然后求出端口电压
u
，如图2.6b和c所示。根据式（2-7），
。
图 2.6b中二端口网络的输入电阻可通过电阻串并联化简求得，图2.6c电路具有桥形结构，应用Y-△变换才能简化。
例2.3 求图2.7所示的ab右侧二端口网络的输入电阻。
图 2.7 例2.3的图
解 ：对电路写KVL方程有
- u + Ri-μu =0
例2.4 求图2.8所示电路的输入电阻。
图 2.8 例2.4的图
解 ：设端口电压、电流如图所示。由电路得
u 1 =2 i
由KCL得
i + i 2 =2 i 2
所以
i = i 2
由KCL得
