2.6 测试法建模

测试法建模是根据工业过程的输入和输出的实测数据进行某种数学处理后得到的模型。它的主要特点是把被研究的工业过程视为一个黑匣子，完全从外特性上测试和描述它的动态特性，因此不需要深入掌握其内部机理。然而，这并不意味着可以对内部机理一无所知。只有当过程处于变动状态下时，它的动态特性才会表现出来，在稳态下是表现不出来的。因此为了获得动态特性，必须使被研究的过程处于被激励的状态，如施加一个阶跃扰动或脉冲扰动等。为了有效地进行这种动态特性测试，仍然有必要对过程的内部机理有明确的定性了解，如究竟有哪些主要因素在起作用，它们之间的因果关系如何等。丰富的先验知识无疑会有助于成功地用测试法建立数学模型。那些内部机理尚未被人们充分了解的过程，如复杂的生化过程，也是难以用测试法建立其动态数学模型的。

用测试法建模一般比用机理法建模要简单和省力，尤其是对于那些复杂的工业过程。如果机理法和测试法两者能达到同样的目的，一般采用测试法建模。

根据加入的激励信号和结果的分析方法不同，测试对象动态特性的实验方法也不同，主要有以下几种。

1.测定动态特性的时域法

时域法是指运用对象的时域飞升曲线的实验数据来建立模型，是对被控对象施加阶跃输入，测出被控对象输出变量随时间变化的响应曲线，或者通过施加脉冲输入测出输出的脉冲响应曲线。分析响应曲线的结果，进而确定被控对象的传递函数。这种方法测试设备简单，测试工作量小，因此应用广泛，但测试精度不高。

2.测定动态特性的频域法

频域法是通过对被控对象施加不同频率的正弦波，测出输入量与输出量的幅值比和相位差，从而获得对象的频率特性，进而来确定被控对象的传递函数。这种方法在原理和数据处理上都较简单，测试精度比时域法更高，但此法需要用专门的超低频测试设备，且测试工作量较大。

3.测定动态特性的统计相关法

统计相关法是对被控对象施加某种随机信号或直接利用对象输入端本身存在的随机噪声进行观察和记录，由于它们能引起被控对象各参数的变化，故可采用统计相关法研究对象的动态特性。这种方法可在生产过程正常状态下进行，可以在线辨识，精度也较高。但统计相关法需要使用大量数据，而且需要用相关仪表和计算机对这些数据进行计算和处理。

上述三种测试动态特性的方法，是以时间或频率为自变量的实验曲线为表现形式的，称为非参数模型。这种建立数学模型的方法称为非参数模型辨识方法或经典的辨识方法。这种方法假定过程是线性的，不必事先确定模型的具体结构，因而这类方法可适用于任意复杂的过程，应用也较广泛。

4.参数模型辨识方法

此外，还有一种参数模型辨识方法（又称现代的辨识方法）。该方法必须假定一种模型结构，通过极小化模型与过程之间的误差准则函数来确定模型的参数。根据不同的基本原理，这类辨识方法又可分为最小二乘法、梯度校正法、极大似然法三种类型。

2.6.1 测定动态特性的时域法

当输入为阶跃函数时，可用下面的实验方法测定其输出量变化曲线。实验时，先让被控过程工作于某一稳态一段时间，然后将选定的输入量做一阶跃变化，使对象达到另一稳态，记录输出量的变化，所得到的记录曲线就是被控过程的阶跃响应曲线。

有时输入阶跃时，输出的变化达到不允许的数值，此时，可以采用输入方波测量输出的方法，再由方波响应得飞升曲线。当输入为脉冲方波时，输出的反应曲线被称为“方波响应特性曲线”。方波响应特性曲线与阶跃响应特性曲线有着密切的关系，可将矩形脉冲看成正负两个等幅的阶跃信号，据此而得到输出的阶跃响应，如图2-18所示。

x ( t )= x ₁ ( t )+ x ₂ ( t )= x ₁ ( t ) -x ₁ ( t-t )

则

y ( t )= y ₁ ( t ) -y ₁ ( t-t )

或

y ₁ ( t )= y ( t )+ y ₁ ( t-t )

时域法测定对象动态特性的一般步骤：

（1）测定对象的飞升特性。

飞升特性测定：通过测试方波响应或阶跃响应获取对象的飞升特性。使用脉宽为△ t 的方脉冲得到的响应曲线称为“方波响应”，方波响应与飞升曲线具有密切的关系，一旦测得方波响应，就能很容易地求出它的飞升曲线。运用方波响应比运用阶跃响应更能减少对过程的冲击影响，故方波响应是工程中常用的方法。

测试条件：测试信号幅度一般取额定值的8%～10%。在稳定工况下，于对象最小、最大及平均负荷下，重复测试两三次，取其平均值作为对象的动态特性。

（2）选定对象时域模型的结构形式，运用实验数据确定模型参数。

首先根据实验所获得的对象飞升曲线的特点，选择适当的数学模型结构形式（阶数，纯滞后性和自衡性），既适合工程应用又有足够的精度，然后运用实验数据确定模型参数。数学模型应力求简单，对多数过程，可近似看作一阶、二阶及其延时结构：

对象具有容量系数、阻力、传输距离，故表现为惯性、自平衡和迟延这三个重要的动态特性。运用实验数据需要确定描述对象动态特性的三个特征参数为：放大系数 K ，时间常数 T ，迟延时间 τ 。

2.6.2 阶跃响应测试法建模

响应曲线法建模常用阶跃响应曲线，在稳态时，改变输入，测出响应曲线，称为阶跃响应测试法建模，如图2-19所示。

阶跃响应的获取

在被控过程处于开环、稳态时，将选定的输入量作一阶跃变化（如将阀门开大），测试记录输出量的变化数据，所得到的记录曲线就是被控过程的阶跃响应曲线。

为了能够得到可靠的测试结果，在试验时应注意以下几点：

（1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态。否则，就容易将被控过程的其他动态变化与试验时的阶跃响应混淆在一起，影响辨识结果。

（2）在相同条件下应重复多做几次试验，从几次的测试结果中选择两次以上比较接近的响应曲线作为分析依据，以减少随机干扰因素的影响。

（3）分别做阶跃输入信号为正、反方向时的试验并进行对比，以反映非线性对过程的影响。

（4）完成一次试验测试后，应使被控过程恢复原来的工况并稳定一段时间，然后再做第二次试验测试。

（5）输入的阶跃变化量不能过大，以免对生产的正常进行造成影响。也不能过小，以防其他干扰影响的比重相对较大。一般取阶跃变化在正常输入信号最大幅值的5%～15%，多取10%。

在进行阶跃响应试验后，根据试验结果先假定数学模型的结构，再确定具体参数。

2.6.3 一阶惯性环节参数的确定

若过程的阶跃响应曲线如图2-20所示， t =0时的曲线斜率最大，之后斜率减小，逐渐上升到稳态值 y （∞），则该响应曲线可用一阶无时延环节来近似：

对一阶无时延环节，需要确定的参数为 K ₀ 和 T ₀ 。设过程输入信号的阶跃量为 x ₀ 。

（1）放大系数 K ₀ ：在数值上等于对象处于稳态时输出变化量与输入变化量之比，如图2-21所示。

（2）时间常数可通过以下方法求得。

① 切线法：

过 O 点作阶跃响应曲线的切线，交稳态的渐近线 y （∞）于 A 点，其投影 OB 即为过程的时间常数 T ₀ 。或者作63.2%线求取。

② 计算法：

先将阶跃响应曲线标准化：

y *（ t ）的解为：

取自然对数得：

在标准化曲线上选择两点：

y *( t ₁ )=0.632, y *( t ₂ )=0.33

则 T ₁ = t ₁ ， T ₂ =2.5 t ₂ 。

（4） T ₀ 取平均值， T ₀ =（ T ₁ + T ₂ ）/2

2.6.4 有时滞的一阶惯性环节参数的确定

有时滞的一阶惯性环节传递函数为：

对应的被控过程如图2-23所示。

1.切线法

在阶跃响应曲线拐点处作一切线，如图2-24所示，交时间轴于 C 点，交稳态值于 A 点。 OC 即为过程的滞后时间， CA 在时间轴上的投影 BC 即为过程的时间常数 T ₀ 。

2.计算法

（1）先将阶跃响应曲线标准化：

（2） y *（ t ）的解为：

（3）在标准化曲线上选择两点， t ₁ 和 t ₂ 分别对应 y *（ t ₁ ）、 y *（t ₂ ）联立求解，即可确定参数。

（4）为了计算方便，取 y *（ t ₁ ）=0.39， y *（ t ₂ ）=0.63，

则可得：

【例2-2】 测定某物料干燥筒的特性，突然加阶跃输入，物料出口温度记录仪得到的阶跃响应曲线如图2-25所示，写出描述物料干燥筒数学模型（温度变化量为输出，加热蒸汽量的变化为输入；温度测量仪的范围0～200℃；流量测量仪的范围40m ³ /h）。

解：由阶跃响应曲线可知：

放大系数 K ：

时间常数： T =4

滞后时间： τ =2

物料干燥筒特性的传递函数：

其中 K =2， T =4， τ =2。

2.6.5 二阶惯性环节参数的确定

二阶惯性环节的传递函数为：

假设 K =1，则其单位阶跃响应特性方程为：

其响应曲线如图2-26所示。

在曲线上取两点，如图2-27所示。

两点法求解：

T ₁ 、 T ₂ 可根据阶跃响应曲线上两个点的位置来确定：

作 y （ t ）稳态值的渐近线 y （∞），读取曲线 y （ t ₁ ）=0.4 y （∞）所对应的时间 t ₁ 值，取曲线 y （ t ₂ ）=0.8 y （∞）所对应的时间 t ₂ 值。

当0.32＜ t ₁ / t ₂ ＜0.46时：

当 =0.32时：

当 =0.46时：

当 t ₁ / t ₂ ＞0.46时：

式中的 n 可根据 t ₁ / t ₂ 的值从下表中查得，高阶过程的 n 与 t ₁ / t ₂ 的关系如表2-1所示。

2.6.6 二阶时延环节参数的确定

二阶时延环节的传递函数为：

式中需要确定的参数有 T ₁ 、 T ₂ 、 K ₀ 和 τ 。

在如图2-28所示的阶跃响应曲线上，通过拐点 F 作切线，得纯时延 τ ₀ = OA ，容量时延 τ _C = AB ，以及 T _A = BD ， T _C =ED。

推导可得：

同时应有 T ₁ + T ₂ = T _C 。

K ₀ 的求法同前， τ = τ ₀ + τ _C 。 izpB+ppRbn2jR4sdeYjdl14452WEFqKMMBS4faAwmSsE6HUZU1AVr8LL4RVnwfgj