过程控制系统最新章节_刘艳梅著

2.5 液位对象的机理法建模

只有一个储蓄容器的对象称为单容控制对象，依此类推，具有两个及以上储蓄容器的控制对象则称为多容控制对象。

液位对象被控过程数学模型的建立遵循动态物料（或能量）平衡关系。

（1）静态物料（或能量）平衡关系：

单位时间内进入被控过程的物料（或能量）等于单位时间内从被控过程流出的物料（或能量）。

（2）动态物料（或能量）平衡关系：

单位时间内进入被控过程的物料（或能量）减去单位时间内从被控过程流出的物料（或能量）等于单位时间内被控过程中物料（或能量）存储量的变化率。

下面以单容液位对象为例展开讨论，结论适用于其他的单容被控对象（如热容、气容和电容）。

2.5.1 自衡单容液位对象建模

所谓自衡过程，是指当被控对象在扰动作用下，偏离原平衡状态时，能够不采用人为干预或控制装置干预，依靠自身的能力重新恢复平衡状态，这样的对象就是具有自平衡能力的对象。自衡单容过程，是指只有一个贮蓄容量的又具有自平衡能力的过程。图2-7所示为一个自衡单容液位对象，图2-8所示为单容液位对象的阶跃响应曲线。

图2-7 自衡单容液位对象

图2-8 单容液位对象的阶跃响应曲线

由图2-7可知，其流入量为 q ₁ ，改变阀1的开度可以改变 q ₁ 的大小；其流出量为 q ₂ ，它取决于用户的要求及液位 h 的高低，改变阀2的开度可以改变 q ₂ ；液位 h 越高，水箱内的静压力越大， q ₂ 也越大，液位 h 的变化反映了 q ₁ 与 q ₂ 不等而引起的水箱中蓄水或泄水的过程。若 q ₁ 作为被控过程的输入量， h 为其输出量，则该被控过程的数学模型就是 h 与 q ₁ 之间的数学表达式。

根据动态物料平衡关系有：

将式（2-1）表示成增量形式为：

式中Δ q ₁ 、Δ q ₂ 、Δ h 分别为偏离某一平衡状态 q ₁₀ 、 q ₂₀ 、 h ₀ 的增量； A 为水箱截面积。

当系统处于静态时， q ₁ = q ₂ ， =0；当 q ₁ 发生变化时，液位 h 随之变化，水箱出口处的静压也随之变化，由流体力学可知， q ₂ 也发生变化，流体在紊流情况下，液位 h 与流量之间为非线性关系，但为了简化起见，经线性化处理，则可近似认为在工作区域内， q ₂ 与 h 成比例关系，进而与阀2的阻力 R ₂ 成反比，即：

式中 R ₂ 为阀2的阻力，称为液阻。

为了求单容液位过程的数学模型，将式（2-1）、式（2-2）进行拉氏变换后，画出如图2-9所示的框图。

图2-9 单容液位过程的数学模型框图表示

单容液位过程的传递函数为：

式中 T ₀ 为液位过程的时间常数， K ₀ 为液位过程的放大系数， C 为液位过程的容量系数或称为过程容量。

单容液位过程的两个重要特征参数：

（1）放大系数 K ₀ ：放大系数 K ₀ 只与被控量的两个稳态值有关，是描述对象静态特性（稳态性能）的参数。 K ₀ 小，则自平衡能力强。 K ₀ 的倒数称为自平衡率，是衡量对象自平衡能力强弱的一个参数。

（2）时间常数 T ₀ ：时间常数 T ₀ 是表征调节对象惯性大小的参数，由对象的容量和阻力决定。可以反映对象受到扰动后达到新平衡点的快慢。

被控过程都具有一定贮存物料（或能量）的能力，其贮存能力的大小称为容量或容量系数，其物理意义是引起单位被控量变化时，被控过程贮存量变化的大小。

从上面分析可知，液阻 R ₂ 不但影响过程的时间常数 T ₀ ，而且影响过程的放大系数 K ₀ ，而容量系数 C 仅影响过程的时间常数。

2.5.2 双容液位对象的数学模型的建立

图2-10所示为两只水箱串联工作的双容过程。

图2-10 双容液位过程

设其被控量是第二只水箱的液位 h ₂ ，输入量为 q ₁ ，与上述分析方法相同，根据物料平衡关系，可以列出如下方程：

根据上述方程的拉氏变换，可画出框图（见图2-11）。

图2-11 双容液位过程框图

双容液位过程的数学模型为

式中， T ₁ 为第一只水箱的时间常数， T ₁ = R ₂ C ₁ ； T ₂ 为第二只水箱的时间常数， T ₂ = R ₃ C ₂ ； K ₀ 为过程的放大系数， K ₀ = R ₃ ； C ₁ 、 C ₂ 分别为两只水箱的容量系数。

2.5.3 三容液位对象的数学模型的建立

具有三个储蓄容器的控制对象称为多容控制对象，如图2-12所示。

图2-12 三容液位过程

根据动态物料平衡关系，建立三容过程数学模型的微分方程：

则三容过程的数学模型为：

2.5.4 多容液位对象的数学模型的建立

具有两个及以上储蓄容器的控制对象称为多容控制对象，如图2-13所示。

则 n 容对象数学模型为：

多容过程的传递函数为

如果 T ₁ = T ₂ =…= T _n = T ₀ ，则上式可表示为

图2-13 多容液位过程

图2-14所示为多容液位过程，流入量有一阶跃变化时被控量液位 h ₂ 的响应曲线。与单容过程相比，多容过程受到扰动后，被控量 h ₂ 的变化速度并不是一开始就最大，而是要经过一段滞后时间之后才达到最大值，即多容过程对于扰动的响应在时间上存在滞后，被称为容量滞后，产生容量滞后的原因主要是两个容积之间存在着阻力，所以 h ₂ 的响应时间向后推移，容量滞后时间可用作图法求得，即通过 h ₂ 响应曲线的拐点 D 作切线与时间轴相交于 A 点，与 h ₂ （∞）相交于 C 点， C 点在时间轴上的投影为 B ，OA为容量滞后时间 τC ，AB为过程的时间常数 T ₀ 。

图2-14 多容过程阶跃响应曲线

如果过程的容量系数越大，则容量滞后时间 τ _c 也越大；容量个数越多（阶数 n 越多），也会使 τ _c 增大，阶跃响应曲线上升越慢，图2-15为 n 取不同值时多容过程（ n =1～5）的阶跃响应曲线。

2.5.5 非自衡过程建模

在阶跃扰动下，对象的原有稳态被破坏，被控量发生变化，而被控量对流出量（或流入量）没有影响，这种对象被称为无自平衡能力的对象，它们只能依靠控制装置的作用才能重新恢复平衡状态。若将图2-12所示的水箱出口阀 R ₂ 换成定量泵，则如图2-15（a）所示，这样其流出量 q ₂ 与液位 h 无关。当流入量 q ₁ 发生阶跃变化时，液位 h 也发生变化。由于流出量是不变的，所以水箱液位或者等速上升，直至液体溢出，或者等速下降，直至液体被抽干。其阶跃响应曲线如图2-15（b）所示。