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例 9 使用计算机求解和分析。
某工厂采用研磨和钻孔两种加工工艺生产五种产品P 1 , P 2 ,…, P 5 。扣除成本后，单位产品可获得的利润如下:
单位产品在每一种加工中所花费的工时为:
此外，单位产品的最后装配需要 20 工时。
已知产品P 2 的最低需求和最高需求分别为 10 和 100 个单位；产品P 4 的最低需求和最高需求分别为 20 和 150 个单位，其余产品的产量无限制。
该厂有九台磨床和六台钻床，每周工作6 天，每天两班，每班8 小时。另用24 名工人进行装配，每人每天一班。为获取最大的总利润，试求一周内每种产品各应生产多少？并根据计算机求解后的输出结果回答下列问题:
(1)这家工厂还有剩余的资源吗？如果有的话，是哪种资源？有多少?
(2)增加一台磨床每周将增加多少利润?
(3)如果钻孔的总工时下降至 440,每周的利润有什么变化?
(4)如果每周能增加劳动工时 90 小时，成本每人时 8.5 元，或者能租借研磨工艺 100工时，每工时的租金为 9.5 元，你将选择哪一种方案?
(5)如果产品P 2 的单位利润从 600 元增至 650 元，最优生产计划有什么变化？总利润会有什么变化?
(6)产品P 1 的单位利润在什么范围内变化，最优生产方案保持不变？总利润有改变吗?
(7)若产品P 4 的最低需求变为 25,或产品P 2 的最低需求变为 5,总利润又是多少?
(8)若减少两台磨床，对总利润有什么影响?
解：设 x j 表示一周内产品P j 的产量。下面计算各种资源的限额。因工厂有 9 台磨床，每台一周工作 96 小时，故共有 864 磨床工时。同理，每周的钻床工时为 576 小时。而装配工作总共使用 24 名工人，每人每周工作 48 小时，可给出的工作时间为 1 152 小时。
我们不难得到该问题的线性规划模型:
图 3 -4 (a)是使用QM for Windows求解后的输出结果，图 3 -4 (b)是对应的灵敏度输出结果。我们看到，最优生产方案为一周内生产产品P 1 13.666 7 单位，产品P 2 10 单位，产品P 3 13.933 3 单位，产品P 4 20 单位，不生产产品P 5 ,可得最大利润26 393.33 元。
图 3 -4 (a)
图 3 -4 (b)
下面是各小问题的答案:
(1)由各约束条件的松弛(或剩余）变量值可知工厂有 136.4 钻床工时的剩余。
(2)增加 1 台磨床意味每周增加 96 磨床工时。磨床工时的影子价格为 16.666 7,影子价格的有效范围为[700,1 031.2],864 + 96 没有超出这个范围，因此，增加 1 台磨床将增加利润 16.666 7 × 96 = 1 600.003 2 (元)。
(3)由于钻孔工时的影子价格为 0,因此总利润没有变化。
(4)每周增加劳动工时 90 小时，扣除成本后利润的净增量为 90 × (17.5 -8.5)=810 (元）。而租借 100 磨床工时所带来的利润净增量为 100 × (16.666 7 -9.5)= 716.67(元）。所以，正确的选择应为增加劳动工时。
(5)由目标函数系数的可变范围可见最优生产计划不变，但总利润增加 50 × 10 = 500(元)。
剩下的(6)、(7)与(8)三个问题留给读者思考，并思考问题(8)为什么无解。