3.2 灵敏度分析

截至目前，我们一直从静态的角度来讨论线性规划问题，即假设各个系数 a _{i j} 、 b _i 和 c _j 都是已知的常数。然而，实际上这些系数往往是一些估计值或预测值，因此不可避免带有一定的误差；另外，现实世界的不断变化(如市场条件的改变、工艺技术的改进等）也使这些系数具有不确定性。为了提高线性规划模型及其求解结果的可靠性，有必要研究这些系数发生变化时对最优解(或最优基）的影响，这就是灵敏度分析或优化后分析的有关内容。本书的讨论仅仅是一个入门介绍。

3.2.1 目标函数系数变化的灵敏度分析

假定目标函数只有一个系数 c _j 发生变化，模型中的其他系数保持不变。我们要确定 c _j 在什么范围内变化时，原问题的最优解不变，称这个范围为 c _j 的可变范围。

解：本例的最优单纯形表如表 3 -2 所示(参见表 2 -4):

在表 3 -2 中, x ₂ 的目标函数系数 c ₂ 的当前值为 120。现把这个系数的值用符号 c ₂ 代替。此时，相应的单纯形表如表 3 -3 所示(注意表 3 -3 与表 3 -2 的差别只在检验数行)。

为使问题的最优解不变，只需表 3 -3 中的检验数满足最优性准则，即 c ₂ 要满足不等式组:

由此可得到 c ₂ 的可变范围:87.5≤ c ₂ ≤233.33。

若 c ₂ 的值超出可变范围，则最优性条件遭到破坏，这时，需利用单纯形法求出新的最优解。

读者不难求出目标函数其余系数的可变范围。

3.2.2 右端项变化的灵敏度分析

假定右端项中只有一个参数 b _i 发生变化，模型中的其他系数保持不变。由于右端项的变化只会引起基变量值和目标函数值的变化，而不会引起检验数的变化，因此，我们只需讨论右端项变化对最优基变量的影响。具体处理时，我们要确定 b _i 在什么范围内变化，最优基变量保持不变，称这个范围为 b _i 的可变范围。

注意最优基变量保持不变与最优基不变是同一回事，因此，可以看出 b _i 的可变范围也是影子价格 保持不变的范围及有效范围。

从最优表(见表 3 -2)知最优基变量为 x ₃ , x ₁ , x ₂ ,最优基为(注意这里提到的是初始数据，可由表 2 -4 看出):

根据单纯形法旋转变换的代数原理，不难看出初始基变量 x ₃ , x ₄ , x ₅ 在最优表中相应的列构成最优基 B 的逆矩阵，即

在本例中, b ₃ 的当前值为 300 (也是用初始数据），现用 b ₃ 代替这个数值，则最优表(见表 3 -2)中除了 b′ 这列以外，其他数据不变。而 b′ 由

若要保持 B 的最优基地位，应保证基变量的值非负，即要求

由此可得到不等式组:

最后解得:227.586≤ b ₃ ≤400。这是最优基(变量）保持不变的范围，也是上一节所得到影子价格 = 5.2 保持不变的范围及有效范围。

图3 -1是QM for Windows输出的第 2 章例 1 的目标函数系数与右端项的可变范围(执行“Solve”命令后，在菜单栏的“Window”中选择“Ranging”可得)。 Excel软件的“规划求解结果”对话框中的“报告”方块也有“敏感性报告”选项供用户选择(见图2 -11)。

图 3 -2 是使用Excel解第 2 章例 1 (也是本章例 5 与例 6)时输入的电子表格模型工作表，其中可变单元格(代表决策变量）为B4 和C4,目标单元格为D6。请读者在各单元格D8、 D9 和D10 中输入有关公式，并在“规划求解参数”对话框中输入相应的信息。

图 3 -3 是求解后有关灵敏度分析内容的输出。

3.2.3 多个参数变化的灵敏度分析

前面的灵敏度分析都是以单个参数发生变化为前提的，但实际上往往有多个参数同时发生变化。本小节讨论多个目标函数系数 c _j 变化的灵敏度分析。

假设某些 c _j 变化为 c _j + Δ c _j ,根据前面的单参数灵敏度分析，我们可确定这些 c _j 单个变化的可变范围，假定为:

记指标集 发生变化且 x _j 为基变量}。多参数变化灵敏度分析的具体步骤如下:

(1)检查发生变化的 c _j 是否都满足条件 LB _j ≤ c _j + Δ c _j ≤ UB _j ,若都满足则进入步骤(2);否则，最优解会发生变化，进入步骤(4)。

(2)若 J 只包含一个指标，进入步骤(3);否则对于每个指标 j ∈ J ,计算单个变化比率:

再计算总变化比率 若 V _T ≤1,进入步骤(3);否则进入步骤(4)。

(3)作出最优解保持不变的结论，计算变化后的目标值(目标值的变化量为 ),停止。

(4)从原最优单纯形表出发，修改相应参数的值后进行迭代。

对第 2 章例 1 的问题，如果由于市场条件发生变化，产品A的单位利润降为 53 元，产品B的单位利润升至 160 元，最优生产计划是否会发生变化？如果产品A的单位利润升为 95 元，而产品B的单位利润降到 90 元，又将如何?

解：产品A单位利润降为 53 元，则Δ c ₁ = -17;产品B单位利润升至 160 元，则Δ c ₂ = 40。使用图 3 -1 的结果计算单个变化比率和总变化比率:

所以最优生产计划不会改变，总利润的相应增量为(-17)×20 +40 ×24 =620 (元)。

如果产品A和B的单位利润分别变为 95 元和 90 元，则Δ c ₁ =25,Δ c ₂ = -30,经计算:

V _T = v ₁ + v ₂ > 1,所以最优解会发生变化。从原最优表(见表 3 -2)出发，修改相应的参数值得新单纯形表，经迭代后(建议读者自行列表计算），可求得变化后的最优解 x ₁ = 34.482 7, x ₂ = 12.413 8;最优值 z = 4 393.1。

3.2.4 其他形式的灵敏度分析

除了上述的灵敏度分析形式外，实际问题还会产生诸如增加新变量、增加新约束条件或系数 a _ij 发生变化等灵敏度分析。其处理方法是从原问题的最优单纯形表出发，适当修改后继续进行迭代以获得变化后的问题的最优解。若使用计算机求解，则可使用软件的编辑功能对模型进行修改，这里不再赘述。

在第 2 章例 1 中，该厂除了生产产品A、 B外，还设计了一种新产品C。已知产品C的单位利润为 110 元；生产一单位产品C需使用劳动力 6 工时，设备 5 台时，消耗 7 千克原材料。问该厂是否应生产产品C和生产多少?

解：令 x ₆ 表示产品C的产量。根据题意，我们在最优单纯形表(见表3 -2)中增加变量 x _{6 ,} x ₆ 的目标函数系数为 110, x ₆ 对应的列为:

x ₆ 对应的检验数 σ ₆ = 110 -[0 × (-1.48)+ 70 × 0.6 + 120 × 0.52]= 5.6。

表 3 -4 是修改后的单纯形表，它是新问题的一个基可行解的单纯形表。

表 3 -4 不是最优表，经迭代后可获得新问题的最优单纯形表(见表 3 -5)。

由表 3 -5 可得新最优生产方案：生产产品B 6.667 单位，产品C 33.333 单位，不生产产品A。总利润为 4 466.667 元，比原计划增加了 186.667 元。

如果决策者只想知道新产品C是否应该投产，则从检验数 σ ₆ > 0便可得出投产有利的结论(当然，要假设当前基最优解是非退化的)。