汪老师的数学

马　融（2003级）

我在交大上学的日子，是从汪礼礽教授的《现代分析基础》开始的。所以汪老师是我的第一个数学启蒙老师，也是我值得终生学习的榜样。

初识汪老师的时候，他正好六十岁了，但精神状态仍和二三十岁的小伙子一样，声如洪钟，健步如飞，学生们无一不称赞他的板书工整，很多同学都抱怨他写得太快了，自己的笔记速度根本赶不上他的粉笔字。他则告诫我们要“手脚勤快”，不然是来不及在两个学期内学完他的东西的。

“他的东西”——按汪老师本人的说法，应该是“德国的东西”。他特别推崇哥廷根学派的R.柯朗。我们的教科书，就是柯朗写的《微积分和数学分析引论》，这确实是一本经典著作。和通行的教材不同，这本书特别强调微积分问题的实际来源。在很多问题的处理上，它不见得采用最简洁的表述，而是倾向从演绎历史的角度来解释。比如在介绍定积分时，它不借助不定积分或微分的概念，而是直接利用求极限的技巧来导出所有初等函数的积分公式。这样虽然要求更高的技巧来计算无穷级数，但确实是符合历史发展规律的。R.柯朗详细讨论了幂函数的定积分问题，从指数为2的情况开始研究，再逐步过渡到指数为整数、为有理数、为实数的情况，每一步的处理都需要不同的技巧。这样的处理，给初涉微积分概念的我带来了无穷的乐趣，我觉得自己就像当年的牛顿一样，产生了一种发现奥秘后的成就感，于是就彻底地被数学的美所征服了。

一门好课需要一个吸引人的开头，R.柯朗的书无疑做到了这点。但这毕竟是一本上世纪30年代的老书，最遗憾的地方是没有讨论测度与勒贝格积分的概念。任何嗅觉敏感的老师都不会漏掉这些东西。既然汪老师把他的课称作现代分析基础，他就敢大胆地压缩多变量微积分的内容，把测度和勒贝格积分作为了第二学期的主要讨论内容。我觉得这种处理方法是非常合适的，传统教材中的多变量微积分，一部分是一元微积分的重复，其余的内容我更喜欢Michael Spivak在《流形上的微积分》中的处理方法，即多变量微积分最好是为微分几何做准备，而不是为了大学物理求积分做准备。后者本质上就是一些琐碎的运算，汪老师称这些东西是“花拳绣腿”，而宣布自己一直是开“钢铁公司”的。

喜欢开“钢铁公司”的汪老师，还要带领着我们搞“大跃进”。他私下开小灶，指定我们几个程度尚好的学生阅读姜礼尚先生的《数学物理方程》，这本书也是一本解决实际数学物理问题的好书。每周上午的大课结束之后，下午的小课再讨论书上的内容，还有些论文，都是汪老师的研究工作。让一群本科新生来做这些事情，是不是太疯狂了？我们私下都戏称这个组织是“汪礼礽敢死队”。记得第一次讨论汪老师就指定我来演讲，我花了几天时间熬夜看完了《数学物理方程》的前几章——其实对几处问题的解法还处于懵懂的状态，但汪老师听完之后高兴地宣布，我可以继续看第二本书了——它的名字如雷贯耳——《数学物理方法》——柯朗和希尔伯特的合著。

如果不是和汪老师相处了一年的时间，我可能终生都不会去读《数学物理方法》这样的巨著，但更重要的是，如果不是汪老师斩钉截铁般的叮咛与鼓励，我怎么会有勇气阅读这样的书呢？2006年春节，我去汪老师家拜年，他说自己正在看庞加莱猜想的证明，并向我翻出读书笔记。工整的字迹满满几百页，红笔是外国文献的翻译，蓝笔是自己的批注。我不禁想起来他的《现代分析基础》讲义，也是一手工整漂亮的钢笔字。他自谦英语不好，但仍然自信可以赶上形势，只要遵循那句老话——“手脚勤快”。他还自嘲搞偏微分方程是“背着一身大包袱，气喘吁吁地爬上山坡，大费周章之后却一无所得”。其实，既然汪老师自称要开“钢铁公司”，硬的骨头总是难啃的，所谓“一无所得”是谦虚过度了，毕竟他对数学的要求很严格，总是向我们抱怨“法国的某某数学不行了”、“美国的什么什么东西都是抄来的”。

提到抄，汪老师自己有很多手抄本，除了前面提到的教材和研究笔记外，他还会把每个学生的作业本都变成自己的手抄本。汪老师的作业题目出得很难，对“敢死队”队员的要求就更高了，什么Polya的《数学分析中的问题和定理》，什么《实变函数中的反例》，尽是一些高难度的问题和反例，就算看了答案也要算个老半天，他则轻描淡写地说解决它们的办法仍然是“手脚勤快”。有时候遇到难题，我只能在作业本上随便写两句，譬如对需要解的微分方程做一些变形，但完全看不出问题的关键点在哪里。此时，汪老师就会用他工整的钢笔字帮我继续做下去：考虑使用极坐标系，建立如下事实……结合上述两式……由此得到……到了学期末，我赫然发现自己的作业本也变成了讨论数学的地方。现在回忆起来，好像和他在任何地方谈论的话题都没离开过数学。

我和汪老师谈话总是以数学开始，以数学结束——准确地说我只是在聆听他的布道。我们的话题往往会从某个数学题目开始，然后任由汪老师天马行空地谈论他最近所关注的话题：某某猜想，某某定理，某某方法，某某应用，最后总不忘加上他对社会的建议：“我一直觉得国家应该养一批纯粹的数学家，让他们安安静静地研究喜欢的数学，他们一定可以回馈社会的。”是的，汪老师向我馈赠的人生礼物就是数学，纯粹的数学，喜欢的数学。

然而，我要更正一点：他从来都没有安安静静地研究过数学，他总是在以汪礼礽的方式——“手脚勤快”地、热火朝天地、废寝忘食地研究着他的数学。