2.3 特征提取与信号处理方法

2.3.1 特征选择与提取

按照信号的特征，信号的分类如图2-10所示。

如果描述系统的状态变量可以用确定的时间函数来表述，则称这样的物理过程是确定性的，描述它们的测量数据就是确定性信号。

周期信号包括简谐信号和复杂周期信号。表述简谐信号的基本物理量是频率、振幅和初相位；复杂周期信号可借助傅里叶级数展成一系列离散的简谐分量之和，其中任意两个分量的频率比都是有理数。

非周期信号包括准周期信号和瞬态信号。准周期信号也是由一些不同离散频率的简谐信号合成的信号，但它不具有周期性，组成它的简谐分量中总有一个分量与另一个分量的频率比为无理数；瞬态信号的时间函数为各种脉冲函数或衰减函数，如有阻尼自由振动的时间历程就是瞬态信号。瞬态信号可借助傅里叶变换得到确定的连续频谱函数。

如果描述系统的状态变量不能用确切的时间函数来表述，无法确定状态变量在某瞬刻的确切数值，其物理过程具有不可重复性和不可预知性时，则称这样的物理过程是随机的，描述它们的测量数据就是随机信号，在数学上称为随机过程。随机信号虽然具有不确定性，但却具有一定的统计规律性，可借助概率论和随机过程理论来描述。

传统的特征提取技术主要有信号的幅值域分析、信号的时域分析，以及以傅里叶变换为核心的经典信号处理分析方法（主要有频谱分析、相关分析、相干分析、传递函数分析、细化谱分析、倒频谱分析、包络分析等）。它们在旋转机械故障特征提取中发挥了巨大的作用。下面主要介绍一些常用的传统的特征提取技术。

2.3.2 时域分析方法

时域分析最重要的特点是信号的时间顺序，即相关设备振动信号产生的先后顺序。时域分析能通过旋转机械振动信号的时间波形来提取旋转机械的故障特征。在时域分析中主要有时基波形分析、自相关分析和互相关分析等方法。时域特征是旋转机械振动信号比较直观的特征信息，比较常见的一些指标是均值、最大值、最小值、均方根值等。常用的方法和参数公式如下。

1.均方根值（RMS）

RMS的计算公式为

式中， x _i 为振动幅值， N 为采样点数，RMS反映振动能量的大小。

2.峰值因子

峰值因子表示波形中波峰高度的指标，用公式 计算，反映振动中冲击成分的大小。

3.峭度因子

峭度因子通过公式 计算得到，其中 ，峭度因子表示在冲击下的振动波形如何变化，或者说表示波形是如何变得陡峭的量值。

4.时基波形分析

设备的振动信号在时域一般是以时间波形的形式表示的。时间波形有直观、易于理解等特点，由于是最原始的信号，所以包含的信息量大。其缺点是不太容易看出所含信息与故障的联系。对于某些信号，由于其波形具有明显的特征，这时可以利用时间波形做出初步判断。例如，对旋转机械而言，当其不平衡故障较严重时，信号中有明显的以旋转频率为特征的周期成分。使用MATLAB进行时基波形分析的代码如下。

5.自相关分析

信号或数据 x （ t ）的自相关函数 R _x （ τ ）用于描述一个时刻的取值与另一个时刻的取值之间的依赖关系。若信号 x _s （ t ）为采样所获得的一组离散数据 x ₁ ， x ₂ ，…， x _N ，则自相关函数的离散化数据计算公式为

式中， N 为采样点数， r 为时间序列， n 为时延序列（时间位移数）。

R _x （ τ ）是有量纲的，不同波形的自相关程度很难比较；工程中常使用自相关系数来描述相关性，其量纲为1，更具有对比性和方便性。

自相关系数定义为

式中， μ _x 是均值， 是方差，自相关系数的值总在区间[-1，1]中。当 τ =0时，自相关系数总为1。

自相关分析的应用如下。

（1）判断信号的性质。周期信号的自相关函数仍为同周期的周期函数：对于随机信号，当时间延迟趋于无穷大时，自相关系数趋于信号均值的平方，当时间延迟为0时，自相关系数为最大，等于1。

（2）用于检测随机信号中的周期成分，尤其是噪声中的确定性信号。因为周期信号在所有时间延迟上，自相关系数不等于0，而噪声信号当时间延迟趋于无穷大时，自相关系数趋于0。

（3）对自相关函数进行傅里叶变换，可以得到自功率谱密度函数为

典型信号的自相关分析如图2-11所示。可以看出，自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段。只要信号中含有周期成分，其自相关函数在 τ 很大时都不衰减，并具有明显的周期性。不包含周期成分的随机信号，当 τ 稍大时，自相关函数将趋于0。宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到0，窄带随机信号的自相关函数具有较慢的随机特性。

在正常运行时，机器的振动或噪声一般是大量的、无规则的、大小接近的随机扰动的结果，因而具有较宽且均匀的频谱，其自相关函数往往与宽带随机噪声的自相关函数接近；对于不正常运行状态下的振动信号，通常在随机信号中会出现规则的周期性脉冲，其大小也往往比随机信号强得多。

使用MATLAB进行自相关计算的代码如下。

6.互相关分析

互相关函数如 R _xy （ τ ）是表示两组数据之间依赖关系的相关统计量，互相关函数表示为

若信号 x （ t ）为采样所获得的一组离散数据 x ₁ ， x ₂ ，…， x _N ，则互相关函数的离散化数据计算公式为

式中， r 为时间序列， N 为采样点数， n 为时延序列（时间位移数）。

工程中通常使用互相关系数来描述相关性，更具有对比性和方便性。互相关系数定义为

式中， μ _x 和 μ _y 为均值， σ _x 和 σ _y 为标准差。互相关系数的值总是在区间[-1，1]中。

互相关分析的应用如下。

（1）研究系统的时间滞后性质，系统输入信号和输出信号的互相关函数，在时间延迟等于系统滞后时间的位置上出现峰值。

（2）利用互相延时和能量信息可以对传输通道进行分析识别。

（3）检测噪声中的确定性信号。

（4）确定设备振动噪声主要来源于哪个部件。

（5）对互相关函数进行傅里叶交换，可以得到互功率谱密度函数：

使用MATLAB进行互相关计算的代码如下。

2.3.3 频域分析方法

工程中所测的信号一般用时域来描述，称为时域信号。然而，由于故障的发生、发展往往会引起信号频率结构的变化，为了通过所测信号了解、观测对象的动态行为，往往需要频域信息。将时域信号通过数学处理变换为频域分析的方法称为频谱分析。频谱分析是设备健康监测中用得最广泛的信号处理、特征提取方法之一。在研究频谱分析方法之前，首先介绍一下数字信号处理的一些基本概念。

1.傅里叶变换

傅里叶变换是进行频率结构分析的重要工具，它可以辨别或区分组成任意波形的一些不同频率的正弦波和它们各自的振幅。对于一个时域信号 x （ t ），其傅里叶正变换为

傅里叶逆变换为

傅里叶变换是从时域到频域或从频域到时域的信号转换，并无信息丢失，不同的只是其表示方法。

2.离散傅里叶变换

离散傅里叶变换是为适应计算机进行傅里叶变换而派生的专用术语。在对信号 x （ t ）进行傅里叶变换运算，并在计算机上实现时，必要的步骤是把模拟信号 x （ t ）和 X （ω）改造为离散数据，并且把计算范围限定在一个有限区间，进而实现正、逆傅里叶运算。这样，在时域和频域中都只取有限个离散数据，这些数据分别构成周期性的离散时间函数和频率函数。离散傅里叶变换（DFT）和离散逆傅里叶变换（IDFT）公式如下。

式中， ， N 为采样点数。

这就是所要求的离散傅里叶交换式，它将 N 个时域采样点与 N 个频域采样点联系起来。实际信号只要在所关心的处理区间（0≤ n ≤ N -1，0≤ k ≤ N -1）是确定的，则无论其在非处理区间如何，都可以用上述两式构成DFT与IDFT的关系。

使用MATLAB进行8点DFT和16点DFT变换的代码如下。

3.快速傅里叶变换

快速傅里叶变换（FFT）方法是由美国的库利和图基（J.W.Cooley和J.W.Tukey）于1965年首先提出来的。快速傅里叶变换方法的诞生，被认为是信号分析、数据处理技术具有划时代意义的进步。快速傅里叶变换是一种计算离散傅里叶变换的新方法，大大减少了离散傅里叶变换的运算次数，缩短了运算时间。使 N 点的乘法计算量由 N ² 次降为 log ₂ N 次。仍以 N =1024为例，计算量降为5120次，仅为原来的4.88%。

由上述可知 N 点序列 x （ n ）的离散傅里叶变换为

系数 是一个周期函数， 且是对称的：

快速傅里叶变换正是基于这样的基本思想发展起来的。快速傅里叶变换的算法形式有很多种，基本可以分成两大类：时间抽取（DIT-FFT）和频率抽取（DIF-FFT）。

使用MATLAB进行快速傅里叶变换的代码如下。

4.功率谱分析

功率谱分析是故障诊断中常用的谱分析方法。在频谱分析中，幅值谱通过信号的傅里叶变换直接求得，而功率谱可通过幅值谱的平方求得，另外，也可以通过相关函数的傅里叶变换求得。功率谱在对各种动力学过程的分析中，具有更加明显的效果，功率谱图中突出了主频率。许多动力过程的破坏是与功率紧密相关的，而且随机信号往往只进行功率谱分析。

1）自功率谱分析

用快速傅里叶变换方法直接从原始数据计算功率谱密度，从原理上讲，可以用任意采样长度 N 。但是，为了减少运算次数，在实践中，往往采用长度 N =2 ^m （ m 为正整数）记录数据。因此，数据序列必须被截断或者加上零点，以得到所要求的数据点个数。也就是说，对原始数据必须用时间窗进行处理。

对于一个测量数据记录样本来说，当采样长度为 T ₀ 时，其连续功率谱密度为

假设采样时间间隔为 T ，采样点数为 N ，则 T ₀ = NT 。由连续傅里叶变换和离散傅里叶变换关系式得

故

自功率谱分析能够将实测的复杂工程信号分解成简单的谐波分量来研究，描述了信号的频率结构，因此，对机器设备的动态信号进行功率谱分析相当于给机器“透视”，从而了解装备各部分的工作状况。功率谱分析在解决工程实际问题中获得了广泛的应用。

使用MATLAB进行自功率谱分析的代码如下。

2）互功率谱分析

频谱分析中需要对各信号本身和相互之间的关系进行探讨。为此，需进行各种谱的形状和谱之间的相互分析，如自功率谱（密度）和互功率谱（密度）。求互功率谱有两种方法——直接方法和通过快速傅里叶变换的方法。它们实际上是功率谱密度函数计算方法的推广，下面只介绍通过直接方法得到互功率谱密度。

设测量数据记录的两个样本 x （ t ）和 y （ t ）的采样序列分别为{ x _k }和{ y _k }。与自功率谱密度推导类似，互功率谱密度表达式可写为

使用MATLAB进行互功率谱分析的代码如下。

5.倒频谱分析

倒频谱（Cepstrum）分析可以处理复杂频谱图上的周期结构。倒频谱包括功率倒频谱分析和复倒频谱分析两种主要形式。倒频谱用于分析具有同族谐频或异族谐频、多成分边频等复杂信号，找出功率谱上不易发现的问题。

倒频谱的数学描述包括两类：一类是实倒频谱（Real Cepstrum，R-CEP）；另一类是复倒频谱（Complex Cepstrum，C-CEP）。

1）实倒频谱

如果时间序列 x （ t ）的傅里叶正变换为 X （ f ），其功率谱为

那么，功率倒频谱 C _R （ q ）=| F |ln G _x （ f ）|| ² ， F 为傅里叶变换符号，是将对数功率谱进行傅里叶变换，然后取其模的平方。

幅值倒频谱实际应用较多的是式（2-30）的算术平方根定义形式，称为幅值倒频谱，即

2）复倒频谱

在实倒频谱的分析中，丢失了相位信息。复倒频谱是另一种倒频谱，它是从复谱得来的，因此不损失相位信息。与实倒频谱不同，获得复倒频谱的过程是可逆的，这在很多情况下符合工程要求。

设时间信号 x （ t ）的傅里叶变换为

则复倒频谱 C _C （ q ）为

倒频谱分析技术早期用于地震的回波分析，近年在装备故障诊断、语音信号分析、生物医学、雷达及声呐的数据处理等方面得到广泛的应用。它能分离边带信号和谐波，这在齿轮和滚动轴承发生故障、信号中出现调制现象时，对于检测和分析信号十分有效。

3）倒频谱应用

工程上实测的波动、噪声信号往往不是振源信号本身，而是振源或声源信号 x （ t ）经过传递系统 h （ t ）到测点的输出信号 y （ t ）。线性系统 x （ t ）、 h （ t ）、 y （ t ）之间的关系可用卷积公式表示：

在时域中，信号在经过卷积后一般是一个比较复杂的波形，难以区分源信号与系统的响应。为此，需要对式（2-34）继续进行傅里叶变换，在频域上进行分析。

对式（2-35）两边取对数，得

对式（2-36）再进一步进行傅里叶逆变换，可得倒频谱

或

式（2-38）在倒频谱上由两部分构成，即低频和高频部分。它们各自在倒频谱图上占有不同的倒频率位置，因而，倒频谱可以提供清晰的分析结果。

使用MATLAB进行倒功率谱分析的代码如下。

6.全息谱方法

全息谱理论由我国已故工程院院士屈梁生教授于20世纪80年代提出，在之后的工程实践中，全息谱理论经受了实践的考验，解决了许多工程中的难题，同时自身也得到了较为完备的发展，已经成为机械故障检测和诊断的有力工具。

全息谱就是为了使故障诊断所需要的信息量增加，把幅度、频率和被忽略的相位信息综合起来考虑，使设备的振动形态特征得以充分反映。这种谱分析方法把频谱分解的优点与轨迹的直观性结合起来，弥补了某些情况下难以通过轴心轨迹判断振动特点的缺陷。谱的显示形式也由谱线变成了椭圆状，包含椭圆的大小、圆偏心率、倾角、转向等特征。

二维全息谱是全息谱的一种，反映了旋转机械某个平面相互垂直的两个方向振动信号幅值，以及它们之间的相位关系，是幅度、频率、相位的有机结合。二维全息谱将 x 、 y 方向分别经过谱分析，再将两个方向的频率成分进行融合，由于只含有单一频率，所以，轴心轨迹是一系列的圆、椭圆、直线、斜线。

二维全息谱的实现过程如下。

（1）将各传感器输出的振动信号通过快速傅里叶变换算法分解成谐波频率。

（2）将同一平面内水平、竖直两个方向上频率谐波相同的成分合成为一个运动轨迹。具体做法是把相互垂直的两个方向信号分解的各阶次谐波合成轨迹，并依次放在由转子振动的阶次频率为横坐标的对应位置。

全息谱理论振动传感器采用正交安装的方法，具体如图2-12所示。

从向量的正交分解原理可知道，如图2-12所示的安装方法可实现机械部件振动信息的全面采集，得到振动的全面信息。

X 、 Y 传感器所测量的信号为同源信息（同一轴承的不同方位信息），以此为基础，可以进行如图2-13所示的分析。

从图2-13中可以看出，全息谱分析技术在常规的时域分析、频域分析和趋势分析的基础上增加了全息谱（二维和三维）、全息瀑布谱、轴心轨迹分析及时频域分析，全面以数量分析了轴承的启动与运行信息，实现了“度”的数量化。与Bently的全频谱相比，具有明显的故障分辨优势。

全息谱实例如下。

某一输油泵轴承经电涡流传感器测得轴承 X 、 Y 方向的时域波形如图2-14所示，轴承对应的频域分析如图2-15所示，轴承二维全息谱如图2-16所示。

7.频谱细化

现代信号分析和数据处理除了要求快速，对频率分辨率的要求也越来越高。频谱细化分析技术是由快速傅里叶变换发展起来的一种新技术，采用了高分辨率的傅里叶分析方法（简称HR-FA法），即局部放大某些感兴趣的重点频谱区域，在该区域得到更加详尽的频率成分信息，以提高分析的准确性。

一般的快速傅里叶变换分析是一种基带的分析方法，在整个分析带宽内，频率是等分辨率的，即

式中， N 为采样点数； f _m 为分析带宽的最高频率； f _s 为采样频率，依采样定理，取 f _s =2 f _m ； Δt 为采样间隔； T 为采样长度， T = NΔt 。

采样点数 N 一般是固定的（如512、1024、2048），显然，要提高频率分辨率 Δf ，需加大采样间隔 Δt 。这种处理的结果是缩小了分析带宽，加大了采样长度。

如图2-17所示，将任选频段的中心频率 f ₀ 移至原点处，然后按基带的分析方法即可获得细化频谱，这就是复调制细化方法的原理。