1.3　各向异性介质中光传播的偏振性

1.3.1　反射光与折射光的偏振性

如图1.15（a）所示，入射的是自然光，在界面处发生反射和折射。反射光与折射光都是部分偏振光，其中随着入射角度的增加，反射光中光矢量垂直于纸面的分量（S波）比平行于纸面的更多；折射光中光矢量平行于纸面的分量（P波）比垂直于纸面的更多。光的折射定律表示为

式中， n ₁ 为入射光介质的折射率； i 为入射角； n ₂ 为折射光介质的折射率， r 为折射角。随着入射角角度增加，当反射光线与折射光线互相垂直时，

此时的入射角 i ₀ 称为布儒斯特角。此时，反射光是光矢量垂直纸面的完全偏振光，而折射光是光矢量平行纸面占优势的部分偏振光，如图1.15（b）所示。在一些光学器件中，获得完全偏振的反射光，又称布儒斯特角为起偏振角。以玻璃为例，玻璃的折射率是1.5，则光由空气入射时，反射光为完全偏振光的起偏振角为57°。

1.3.2　晶体的双折射

1．晶体与光轴

光学器件中最常用的透明材料是晶体和非晶体。非晶体比较常见，如玻璃、熔融石英等，它们的光学性质一般在宏观上呈现出各向同性。晶体的特点是其原子（离子或分子）在空间排列上具有一定的规则性，生长良好的单晶体具有规则的几何外形。单晶体中，除了立方晶系的单晶体具有空间各向同性的光学性质外，一般的单晶体光学性质均具有空间上的各向异性。在一定的外界物理场，如电场、磁场、机械力或热应力的作用下，某些非晶态介质，甚至立方晶系的单晶体会在宏观上由各向同性转变为各向异性的特点。这种场致各向异性与晶体的自然各向异性具有类似的特点。最常见的两种各向异性的单轴晶体是方解石和石英，如图1.16所示。方解石又称冰洲石，属六角晶系晶体，其化学成分为碳酸钙（CaCO ₃ ），为斜六面体形，菱面的锐角为78°08'，钝角为101°52'。纯质的方解石晶体呈无色透明状，且在天然状态下可以形成较大尺寸，是制造偏振光学器件的重要材料之一。石英又称水晶，属三角晶系晶体，其化学成分为二氧化硅（SiO ₂ ），呈锥状。纯质的石英晶体呈无色透明状，因而也是制造偏振光学器件的重要材料之一。

晶体的光轴是指各向异性晶体中的一些特定方向，沿此方向入射的自然光不发生双折射现象。单轴晶体指只有一个光轴的晶体，主要有四方晶系、六角晶系、三角晶系等晶体，如六角的方解石、三角的石英、红宝石和铌酸锂等。双轴晶体是指包含两个光轴的晶体，主要有正交晶系、单斜晶系、三斜晶系等晶体，如云母（单斜）、黄玉（正交）、铌酸钾（正交）等，其三个轴向的折射率都不相等。自然界中的晶体大多是双轴的。

2．双折射现象

双折射现象指同一束入射光射入晶体时，同时出现两束折射光线的现象。其中在单轴晶体中始终满足折射定律的光束称为寻常光，即O光（Ordinary Light）；而在单轴晶体中一般情况下不满足折射定律的光束称为非寻常光，即E光（Extra-Ordinary Light）。O光和E光都是线偏振光。透过食盐（NaCl）晶体和方解石晶体的线条如图1.17所示，可以看出方解石晶体因为光学各向异性，发生了双折射现象，观察到了两条线。入射的自然光在单轴晶体中发生双折射的O光与E光的偏振态，O光的光矢量振动方向垂直于纸面，E光的光矢量振动方向平行于纸面，如图1.18所示。

3．单轴晶体中的主截面与主平面

主截面是指晶体光轴与界面法线组成的平面。折射光线在晶体中传播，其与光轴组成的平面称为主平面，即光轴与O光或E光组成的平面分别称为O光主平面和E光主平面。

O光光矢量的振动方向垂直于自己的主平面，E光光矢量的振动方向平行于自己的主平面，并且在平面内，如图1.19（a）所示。当主截面与入射面重合时（入射光线与法线组成的平面称为入射面），即入射光线、法线与光轴共面，O光与E光主平面重合且与主截面重合，此时两折射光线的光矢量振动方向正交，如图1.19（b）所示。当光线垂直界面入射时，O光和E光处在同一平面内，这个平面是它们的主平面。

光轴不在入射面内（主截面与入射面不重合）时，O光与E光主平面有一夹角，因而O光与E光的光矢量振动方向不正交。

马吕斯定律表明自然光入射时O光与E光的强度为

式中， I 为入射自然光的强度； 和 分别为O光与E光的强度。当线偏振光入射，并且垂直入射到晶体上时，O光与E光的振幅：

式中， E 为入射线偏振光的振幅； θ 为入射光振动面与O光和E光的主平面的夹角，如图1.20所示。

在液晶显示中，液晶是单轴晶体，并且在光学上是正性晶体，液晶分子的长轴是光轴。在FFS与IPS模式中，液晶分子处于初始的取向状态时未加电或L0灰阶时，当入射的线偏振光垂直入射到液晶盒，光矢量的振动方向与液晶分子长轴平行时，即 θ 角为0°，此时O光强度为0，说明折射光只有E光，通常称为E-mode（E模式）；如果入射的线偏振光光矢量的振动方向与液晶分子长轴垂直，即 θ 角为90°，此时E光强度为0，说明折射光只有O光，通常称为O-mode（O模式）。但是在实际显示中，液晶分子在电场作用下发生了旋转，因此液晶晶体中同时存在O光与E光的双折射。

1.3.3　单轴晶体中的折射率

1．主折射率

设单轴晶体中有一个点光源，它发出的光波在晶体中传播时，将形成两个波面，即分别对应O光与E光的球面波和椭球面波。O光在各个方向传播速度相同，因此是球面；E光显示各向异性，即各个方向传播速度不同，因此是椭球面。在光轴方向，O光的速度等于E光的速度。

光在晶体中传播，不管是O光还是E光，其折射率遵循：

按此定义，晶体中的O光光速 在各个方向一样，因此其折射率 在各个方向也一样；晶体中的E光在各个方向上光速 在各个方向不一样，因此其不同方向的折射率不同。 表示E光的电矢量振动方向与光轴平行， 表示O光的电矢量振动方向与光轴垂直。 和 合称为晶体的主折射率。对于正性晶体， ；对于负性晶体， 。光学正性与负性晶体O光与E光在∆ t 时间后的波面如图1.21所示。表1.1列出了方解石与水晶在几个波长下O光与E光的主折射率。

2．折射率椭球

单轴晶体只存在一个光轴，其折射率椭球如图1.22所示。O光折射率小于E光折射率的晶体称为正单轴晶体或光学正性单轴晶体，其折射率椭球为橄榄状的长椭球形；O光折射率大于E光折射率的晶体称为负单轴晶体或光学负性单轴晶体，其折射率椭球为飞碟状的扁椭球形。

正单轴晶体中的光波与折射率如图1.23所示，晶体为正单轴晶体，O光和E光的波法线分别为 和 ，过原点并垂直波法线作折射率椭球的截面，对O光和E光各得到一个椭圆形截面，每个椭圆均有长轴和短轴两条轴线。对O光取位于水平面内的轴线长度 为其折射率，对E光则取位于非水平面内的轴线长度 为其折射率。

如图1.23所示，当波法线与光轴方向一致时，所得截面是一个位于水平面内的圆，只有一个轴线长度 ，因此只有O光而没有E光。当波法线垂直光轴时，所得截面是一个位于竖直平面内的椭圆，长轴和短轴分别为 和 ，因此O光和E光的光线在空间上仍然重合，但是传播速度不同，产生相位差。一般情况下，波法线与光轴成夹角 θ ，所得椭圆截面的长轴和短轴分别为 和 ，O光波法线 与E光波法线 分开一定角度，O光的光线 与波法线 方向一致，E光的光线 与波法线 之间存在离散角 α 。在正单轴晶体中， ，E光的光线比波法线更靠近光轴，而负单轴晶体中的情况正好相反。

O光与E光波法线之间的夹角取决于入射光波在晶体界面上的折射情况，而E光的折射率 和离散角 α 均取决于其波法线 与光轴的夹角 θ ，如式（1.43）和式（1.44）所示。

双折射晶体中，E光的折射率与其传播方向有关，因此传播速度也与方向相关。根据图1.22中的折射率椭球，可以绘制相应的波面椭球，如图1.24所示。波面代表光波的等相位面，O光与E光的波面椭球在光轴方向内切，正单轴晶体的E光波面椭球内切于O光波面椭球，表示E光传播速度慢于O光，负单轴晶体反之。

在各向同性介质中，光线方向总是与波法线一致，因此可以直接以折反射定律来分析光线的传播情况。在各向异性的双折射晶体中，E光的波法线遵守折反射定律，而光线不再遵守此定律，因此必须先通过折反射定律得到E光的波法线方向，再根据离散角得到光线方向，最终得到的光线与光轴夹角为 。当 时 ；当 时 。

3．单轴晶体中折射光线的传播方向

下面用惠更斯作图法（见图1.25）以负性晶体为例确定单轴晶体中O光与E光的光线传播方向。

①画平行的入射光束的两边缘光线 LA 和 ；

②作垂线 AB ，量出 的长度；

③以 A 点为中心， 为半径画半圆，以 为半轴画椭圆；

④经 点分别画半圆和椭圆的切线；

⑤经 A 点连接切点 和 。

则 和 直线方向分别是折射光线O光和E光传播的方向。

根据上面的基本方法，下面以单轴负性晶体为例做出几种不同光轴情况下的O光与E光光线传播方向。

（1）光轴同时平行于入射面与界面

图1.26显示了负性单轴晶体中，入射光线分别垂直正入射与斜入射时，晶体中O光与E光的光线传播方向。光轴是水平方向，主截面与入射面重合，故O光与E光主平面重合，光矢量振动方向正交。垂直入射时，O光与E光不分开，只是速度不同，分别为 和 。斜入射时，E光偏离O光，并且更靠近法线，E光不满足折射定律。

（2）光轴平行于入射面，但与界面垂直

图1.27显示了负性单轴晶体中，入射光线分别垂直正入射与斜入射时，晶体中O光与E光的光线传播方向。光轴垂直于界面，O光和E光的主平面、主截面与入射面重合，O光与E光光矢量振动方向正交。垂直入射时，O光与E光不分开，且速度均为 。斜入射时，O光和E光分开，O光更靠近法线。

（3）光轴与界面平行，但垂直于入射面

图1.28显示了负性单轴晶体中，入射光线分别垂直正入射与斜入射时，晶体中O光与E光的光线传播方向。光轴平行于界面，但垂直于入射面（垂直于纸面），主截面与入射面正交，O光与E光波面与入射面交线均为圆。垂直入射时，O光与E光不分开，光矢量振动方向正交但速度不同；斜入射时，O光和E光分开，O光与E光主平面不重合，但光矢量振动面正交。需要注意的是，O光主平面垂直于纸面，因此光矢量振动方向用“线”表示。

（4）光轴平行于入射面，并与界面相交一角度

由图1.29可知，主截面、入射面和主平面重合，无论是垂直入射还是斜入射，O光与E光均分开。