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“纸牌反面那句话是对的”和“纸牌反面那句话是错的”这两句话单独拎出来看互相矛盾，显然不可能同时为真，只有一句话是对的。如果把它们写到纸牌的两面，会发现无论假设哪句正确都不行，都会陷入自我矛盾的拧巴中去。这个死循环就是大家都熟悉的纸牌悖论。这个小游戏可以在喝酒聊天的时候拿来欺负你的小伙伴。
在精致的数学系统中，这样的悖论被认为没有容身之地。20世纪初，大数学家希尔伯特认为数学象牙塔是“完备而且自洽”的。也就是说数学系统中的所有结果都是可以从一堆不会互相矛盾的公理中严格推导出来的。数学是个纯粹而干净的平行宇宙，可以无限生长，一砖一瓦地堆砌，而且所有的部件都稳定、坚固、环环相扣，没有漏洞。
世界是乱的，数学不是，数学是所有其他科学的基础——我猜测希尔伯特眼中的鄙视链大概长这个样子。
希尔伯特的这个猜想如果正确，那数学家要做的就是补足公理，其他的都是机械操作，数学王国必将独立而完整。纵观数学界积累下来的巨大成绩，他乐观地认为这个猜想不会有错，也号召数学家们行动起来，向这个方向努力。希尔伯特当时如日中天，影响力巨大，整个数学界沉浸在乐观的情绪中，向希尔伯特指明的方向前进。
1929年年底，哥德尔完成了一阶逻辑上的证明，向目标推进了一步，他的贡献超过了其他同行的总和。凭着区区两页纸的证明，哥德尔于第二年年初取得了维也纳大学的博士学位。那一年，哥德尔才23岁。
哥德尔在证明更复杂的二阶逻辑时向朋友们承认他“碰到了麻烦”。没有谁会想到，解决这个麻烦的后果是造成了更大的麻烦。半年后，他证明了希尔伯特猜想是不成立的：无法同时保证数学系统的自洽性和完备性。这个结果动摇了数学王国的根基，哥德尔动了所有人的奶酪。
不完备性定理的证明大致分成两大步骤，用了几乎是魔术师般神奇的手段。首先哥德尔做了个磁纸牌，可以把任何数学公式，包括数学定理的证明，通过一串基于素数的操作变成一个独一无二的“哥德尔数”，“吸”到纸牌上。这个哥德尔数也可以拿下来，完美无损地恢复原来的公式。接着，他构造了一个自我矛盾的数学定理（“哥德尔数为g的表达式是不可证明的”），粘到了纸牌上，而这就像我们无法判断“这句话是假的”的真伪一样。
他造成的大麻烦在于宣告了在数学系统中永远存在可能为真的命题，却无法用数学自身来证明（更严格地说，是在整数系统中用有限步证明）。
数学是一种形式化的语言，人的思考依赖非形式化的语言，那语言本身又如何自证清白呢？“开口就是错”并不耸人听闻。从这点上来看，哥德尔和同时代的哲学巨人维特根斯坦的理论也互相印证。也许我们会想象两个天才惺惺相惜、互相唱和，可惜不是，但原因却又颇复杂，耐人琢磨，并不因为是既生瑜何生亮，个中原因，就留着读者自己去发现吧。
哥德尔不完备性定理的影响远远超出了数学本身。在计算机领域，有一个对应的经典问题叫作“停机问题”：在有限的时间内能否判断一个任意的程序结束运行或者死循环。证明这个定理的是另一个巨人，他的名字叫图灵，使用的证明框架类似，也是自我指涉带来的悖论。而大家熟知的卡尔·波普关于划分科学与非科学理论的可证伪性原则，也有不完备性定理的影子。定理横空出世距今已近一个世纪，但探索世界本质的科学活动如影随形，至今未有了断。
提到停机问题，我想象有的读者会下意识地去摸下电脑，看是不是有些滚烫。事实上，目前程序死循环的原因，全在于码农的不仔细，因为有足够的保守编程手段来做保证。哥德尔不完备性定理也没有影响到诸多为真且可证的数学定理在实操中的运用。
世界依然乱，但滚滚向前。
事实上，在实操中“无所作为”的不完备性定理，同海森堡的不确定性原理和爱因斯坦的广义相对论一起，被人戏称为“知识滥用的源泉”，催生了无数并不靠谱的想象力。
那么，为什么我们要去了解哥德尔？
作为第二代复旦人，我一直以为“自由而无用的灵魂”这句话说得口齿不清。知道了不知道，才能划清学问的边界，而只有知道了边界，才能继续推远边界，而这正是哥德尔身后一直在发生的事。因此，这种无用是非常深刻的有用。
哥德尔清楚地知道，他被世人所知的都是一些否定的结论（哥德尔的其他重大贡献在他去世之后才被陆续重新发现）。而且，可能为真却无法证明的数学定理的存在，也意味着我们也许永远无法窥视到启动这个世界的神秘之手。世俗的我们不会为这个费神，但哥德尔会。这种阴影一直伴随着哥德尔，也可以理解成他罹病的一部分精神原因。我个人认为，即便科学活动的最终结果只是发现，探索行动中的发明，比如哥德尔在证明中使用的手段（比如哥德尔数），也是先验世界中没有包含的，是人类文明活动璀璨的新结果。
当年的维也纳学术圈，对爱思考的人来说，真是个令人神往的天堂，影响20世纪的很多思潮和流派都发端于这些小圈子中。天才如哥德尔，也需要其他天才的伴随。哥德尔和他的朋友们经常浸泡在备好了黑板的咖啡馆中讨论问题（我还不知道咖啡馆如此之多的上海有哪一家准备了黑板）。
但维也纳并不是。事实上，奥匈帝国正在迅速滑向地狱。学术讨论的天堂悬浮在地狱之门的边缘，两者距离如此之近，匪夷所思。被强烈的民族主义裹挟的亲德青年，反犹活动愈演愈烈，并最终把火烧向象牙塔尖。这一幕，熟悉中国现代史的读者自然不会陌生。
然而象牙塔尖也不是铁板一块，为希特勒背书的不乏诺贝尔奖获得者，学者之间也有借机公报私仇、互相讨伐的。这就抛出了一个尖锐的问题：在一个公共危机中，如果知识分子不能安放自己的心灵，又如何安放自己的书桌？
我认为没有理由对知识分子持有更高的道德期待。也许事实正相反，聪明人更有能力说服自己投靠黑暗。把武艺和武德混为一谈，认为流氓不会武功、英雄德艺双全，是世人美好的幻想。压力之下，嘴脸才显。随着战争的脚步逼近维也纳，一个相当广阔的光谱呈现在眼前。这也是这本传记花重墨之处：你是谁，等同于你在哪。
哥德尔的密友和恩师中不乏“左派”反战人士，不少还因此锒铛入狱。哥德尔自己相对出世，有些若即若离，但本质上也是个坚定的和平主义者。即便如此，他也曾被更坚定的好友抛弃过，令他痛苦不堪。我认为底线在于，面对极权的暴力和身边的不公正，不参与作恶是外在的作为，并不是衡量良心的唯一的标准。更重要的是，当你独面自己的软弱与怯懦，你看见了什么——你会心生惭愧，还是心安理得？
离开，是因为安不下心灵，也可能是因为安不下书桌，也可能两者兼有。无论是谁，对故乡的眷恋无可替代，哥德尔和他的朋友们也是这样。这就提到本书另一个重要的看点：人才是如何成功地聚合到美国的，这是对当今中国至关重要的一个话题。这也是为什么哥德尔投奔普林斯顿研究院的前前后后，提供了一个绝好案例的原因。为什么这么说？留待读者自己去发现了，我只能说经常看到的“东方的麻省理工学院/斯坦福/加州理工”等的宏伟愿景，如果只是简单的拷贝，而不去了解当时的历史肌肤，那注定是太天真。而我们除了准备好书桌，还必须准备心灵的安放之处。
关于科学家的传记是我阅读的最爱之一，一本好的传记可以读出厚重的时代感，恢复这个群体的血肉。比如刚刚去世的戴维·麦卡洛（David McCullough）的《莱特兄弟》，埃里克·拉森（Erik Larson）关于无线电发明人马可尼的传记（ Thunderstruck ），还有沃尔特·艾萨克森（Walter Isaacson）的《富兰克林传》。能读到这本《哥德尔传》，是我的好运气。满分推荐。
张峥
2022年8月14日，于上海