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西绪福斯受到了惩罚，被要求将一块圆石推上山坡，但却只能任由它由于自重而滚回原处。冥界之神哈得斯惩罚他在昏暗的冥界中无休止地重复做这件事。尝试去解决悖论是与此同样的徒劳吗？毕竟现在的哲学家还在研究的大多数重要悖论早在2000多年前就已经被讨论了。
阿尔贝·加缪认为西绪福斯是一位英雄人物。西绪福斯通过失败获得了胜利，正是尝试去做不可能的事本身使得他高尚了起来。一些哲学家试图以类似的不屈态度来证明与悖论进行斗争的合理性。
我认为你无法尝试去做你自己都认为不可能做到的事情。要完成一次尝试，你需要靠近你的目标。如果你相信你所做的一切都不能让你更接近目标的话，那么你所做的一切就都算不上尝试了。
幸运的是，我们在这并不需要英雄主义。历史表明，大多数悖论都不过是短暂存在的。每一代人所看到的悖论，都偏向于前人之努力尚未破解的残留问题。即使那些最为麻烦的悖论有朝一日也会得到解决。本章在方法论上的意旨是通过讨论芝诺悖论来证实这种乐观主义。
巴门尼德在公元前450年访问了雅典。他在此行中由他最喜欢的学生芝诺作陪。当时还年轻的苏格拉底可能是芝诺最喜欢的人之一，柏拉图记载了两人之间可能存在情人关系的流言。无论如何，埃利亚的芝诺（约公元前490年—前430年）写出了一本备受好评的书来为他的老师辩护。巴门尼德的论证来自关于否定的语义学，而芝诺的论证所要做的却是从有穷多的帽子中拉出无穷多的兔子来。
芝诺的一些论证支持了巴门尼德否认任何事物具有大小这一观点。如果一个物体存在大小的话，那么它就可以被细分为不同部分。那么，它本质上就是更小的物体的集合，而不是一个单一的事物。因此，真正的 个体 必然没有大小。但是如果一个物体没有大小，那么它就什么都不是了。因此，如果将一个没有大小的物体加到另一个物体上的话，后者的大小并不会增加。如果将成千上万个没有大小的物体组合在一起的话，它们的集合仍然不会成为任何东西。由于不具有大小的东西跟虚无没有什么不同，所以它们就是虚无。
芝诺还有另一个反对事物存在大小的论证。如果一件东西具有大小的话，那么对它而言就存在外部，例如，橙子的果皮处在其果肉之外。对于每个处于外部的部分来说，又必然存在别的区块处在它之外。这种外部性原理可以无穷地推演，因而任何具有大小的物体都必须无穷大。在球体S（图4.1）中，S1部分处在球心S2之外。靠外的部分S1可以被更细地分成（图4.2）靠内的外部S1.2和靠外的外层S1.1。外层S1.1又可以继续被分成内圈S1.12和外圈S1.11（图4.3）。我们可以继续细分到S1.111，然后到S1.1111，依此类推。如果这样划分出来的每个区块都至少有一定的大小，那么整个球体将会是无穷大的。
图4.1
图4.2
图4.3
芝诺提出了反对多的第三个论证。如果存在着多个物体的话，那么它们的总数就一定是某个特定的数字。这个数字可能是一个巨大的数，但它仍然是一个有穷的数。这就是阿基米德在《数沙者》一书中进行计算的意义。为了避免将巨大的数与无穷相混淆，阿基米德耐心地计算出要填充一个与我们的宇宙同样大的球体所需的沙粒数量小于10 51 。
在向我们说明了所有存在着的事物在数量上必然有穷之后，芝诺转而论证称，根据“不止存在着一个事物”的原则，同理可以推论出数是无穷的这一结论。因为在任何两个事物之间，必然存在着第三个事物。如果存在着两个独立的事物，必然有某个第三者将它们分隔开。这第三个事物本身也必须与其相邻者有所分隔。由于每当我们设定了一个分隔者时就必须有另一个分隔者存在，因而事物的数量必然是无穷的。
许多旁观者认为芝诺的归谬法论证无非是在炫耀他的辩论技巧罢了。芝诺首先会去证明讨论案例的一方面，然后再转过头去证明另一方面。弗利奥斯的提蒙（Timon of Philius）因而写下了这样的对句：“芝诺强就强在他的双刃舌剑。不论是谁说了些什么，他都能证明那是错误的。”但是芝诺并不认为每个人都可以被驳倒。比如说，巴门尼德就不能被驳倒。
与巴门尼德不同的是，芝诺不会直接给出论证去支持一个特定的观点。他总是间接地支持，从而将与他的观点相竞争的其他理论划归为荒谬之说。在芝诺朗读了他所著书中的部分内容之后，苏格拉底试图理解芝诺的观点：
“芝诺，你这是什么意思？你说道，存在着的事物如果有多个的话，那么它们必须既相似又不相似。然而这是不可能的，因为不相似的事物不可能相似，而相似的事物也不可能不相似。这是你所说的，不是吗？”
“确实就是这样。”芝诺回答道。
“那么，如果说不相似的事物无法相似，且相似的事物亦无法不相似，那么就不可能存在多个事物。因为如果存在多个事物的话，就一定会推论出很多不可能的结论。这是否就是你论证的目的——面对着所有反对者坚称不可能存在多个事物？你是否认为你给出的每一个论证都是在证明以上观点，因此在你看来，你的论述中所提出的论证之数目是如此之多，因此多就不存在了？确实是这个道理，还是说我误解了你的想法？”
“没错，”芝诺回答说，“令人钦佩的是，你已经完全理解了这本书的全部目的。”（柏拉图，《巴门尼德篇》，127 D）
许多介绍芝诺悖论的数学家和物理学家会向他们的读者强调说，芝诺并没有疯。他们称他只是在给我们提出挑战来厘清我们的思路。但是柏拉图的上述段落表明，芝诺对于促使我们针对熟悉的现象提出更好的理论并不抱有任何兴趣。芝诺认为这些现象并不存在。一个无神论者问道：“上帝可以创造一块大到连他自己都举不起来的石头吗？”此时他并不是在邀请有神论者提出一个关于上帝之全能性的自洽理论。无神论者利用这种“巨石悖论”来反驳上帝存在的可能性。芝诺具有相同程度的破坏性。芝诺希望展现出所有与他的老师巴门尼德的观点相对立的观点的荒谬性，以此来服务于前者。他在回答苏格拉底时明确指出了这一点：
事实是，这些著作的写作动机是支持巴门尼德的论证，以便应对那些试图讥讽他的论证的人。那些人说，如果整体是“一”，那么许多荒谬和矛盾的结论必然会随之而来。我的这个论述是对那些声称有多个事物存在的人的一则回应，而且它对他们是“连本带息地偿还”的。因为它表明如果你顺着他们的逻辑想得足够远，那么坚称有多个存在着的事物会产生更加荒谬的结论。（柏拉图，《巴门尼德篇》，127 D）
芝诺更有名的举动是辩护巴门尼德所提出的“运动不存在”这一观点。柏拉图没有提到过任何这类论证。我们主要是通过亚里士多德了解到它们的。这些谜题中最著名的是“二分悖论”。你能穿过一个房间吗？要到达对面的话，你必须先走完一半距离。在此之后，你必须走过剩余距离的一半。然后是新的剩余距离的一半。这样的半途点是无穷多的。没有人能在有穷的时间内完成无穷多的行动。
芝诺的第二个运动悖论围绕着阿喀琉斯与一只乌龟之间的赛跑展开。因为阿喀琉斯跑得更快，我们允许乌龟提前开跑。阿喀琉斯能否超过乌龟呢？为了超过乌龟，阿喀琉斯必须首先赶上乌龟在他开跑之前跑过的路程。但在他刚刚跑过了这段距离时，乌龟已经又向前移动了一段了。因此，阿喀琉斯必须再次跑完这一段距离。但是一旦阿喀琉斯这样做了之后，乌龟就已经又向前移动了一些。虽然这段新的距离较短，但阿喀琉斯仍然必须从后赶上。但是，尝试去赶上这种无止境的落后距离的努力是徒劳的。阿喀琉斯无法超过乌龟，因为他不可能无数次地追赶。
第三个悖论询问飞矢是否不动。如果一支箭处于与自身相同的位置，那么我们就认为它处于静止状态。在任意给定的时刻，无论多快的箭也不可能处在它所不在的位置。因此，它必须处在它所在的地方，也即是与自身相同的位置。因此可得，飞矢不动。
最后一个运动悖论涉及运动场内静止的观众面对朝相反方向运动的物体（图4.4）。假设AAAA代表观众。又设BBBB和CCCC代表两个复合物体，且它们以相同的速度向相反的方向移动，直到它们与观众对齐。这种相向对齐是可能的吗？在完成移动之后，BBBB中的第一个B经过了两个A。然而第一个C却经过了四个B。因此，第一个C的移动速度是第一个B的两倍。这个现象与我们最初所假设的两者以相同速度移动相矛盾。
我记得我曾感觉“运动场悖论”很难理解。难道芝诺不知道速度是相对的吗？BBBB和CCCC相对于AAAA以相同的速度移动，但它们相对于彼此的速度却是相对于AAAA的速度的两倍。
亚里士多德对于这个“悖论”的解决方案简单明了地指出了这种显而易见的区别。我觉得这对芝诺来说堪称一种羞辱；难道一位如此才华横溢的哲学家会犯下如此明显的混淆错误吗？
其实吧，什么东西称得上“显而易见”与一个人所处的环境息息相关。对我们来说，以铅制成的杯子明显有害健康。但与我们不同的是，芝诺并不是在警告防范铅中毒的公共卫生告示中长大的。如今，我们经常在移动的密闭空间中旅行，而这些密闭空间本身之中又有移动的物体（例如，列车员沿着火车的过道行走）。我们习以为常地认为地球的转动本身比任何车辆的移动都要快得多。我们早已经养成了以相对化视角看待运动的习惯。然而芝诺和亚里士多德多半从来没有获得这样的习惯。因此，芝诺才犯了这个错误，而亚里士多德需要经过很仔细的思考才能纠正芝诺。
另一种可能性是，芝诺意在用运动场悖论反驳时间由离散的、不可分割的单位组成这个假设。在这种对于时间的原子化理解中，最右边的B和最左边的C确实相互通过了对方。然而并不存在一个它们对齐的时刻。由于两个不同时刻由最短的时间所分离，因此它们之间不会存在任何时刻——其间相隔的时间会比我们能想象出的两个时刻间最小的时间间隔还要小。此处的教益是，如果时间确实存在，那么就不可能存在最小的时间单位。此后芝诺可以将这个有条件的结论与另一些反对时间连续可能性的论证结合起来，并且得出时间并非真实存在的结论。
亚里士多德对芝诺其他三个运动悖论的解决方案采用了对“实在无穷”和“潜在无穷”进行区分的方法。在不死的阿波罗出生后，他变得越来越老，而且没有上限。但他不可能到达“无穷岁”的生日。他总是比他的父亲宙斯年轻。他们的年龄都是“潜在无穷”的，但并非“实在无穷”。当阿波罗试着穿过房间时，他的路径可以无穷尽地分成两半。但与二分悖论所说的不同，这种潜在无穷并不意味着阿波罗在有穷的时间内进行了实在的无穷多次移动。当阿喀琉斯与乌龟进行比赛时，他重复地追赶乌龟曾走过的路程这一行为确实没有次数上限。但这种潜在的无穷次追赶并不意味着阿喀琉斯在实在的意义上无数次地做出了追赶动作。同样，箭的飞行路程可以被拆分成无穷多的分段。要是我们将它的飞行路程分成 n 个部分，我们也同样可以把它分成 n + 1个部分。但这并不意味着箭的飞行路程在实在意义上就是这些分段的集合。
巴门尼德已提出过一个反对位置之存在的论证了。我们的常识会对物体和它所占据的空间加以区分。毕竟，一个物体可以从它的位置移走，而另一个物体可以取代它占据那个位置。物体实际上还可以轻易地腾出这片空间，留下一个无物占据的位置。因为在此情况下物体是存在者，而位置是非存在者，所以巴门尼德对非存在者的否定也适用于位置。
对巴门尼德的一种答复是，位置并不仅是非存在者。马厩里的槽位是位置，但只有在建造了马厩之后槽位才产生。芝诺对于这种说法的反驳会是，如果位置确实存在，并且一切存在的事物都占有位置，那么每个位置本身也都占有位置。因此就会有一个无穷无尽的位置层级。在《一间自己的房间》（ A Room of One’s Own ）一书中，作为平等主义者的弗吉尼亚·伍尔芙认为每个人都应该拥有自己的房间。芝诺会告诉我们，伍尔夫没有办法将这种权利推广到房间本身。
通过宣称感官所感知的内容是不自洽的，芝诺对巴门尼德反对感官的论证给予了支持。在与普罗泰戈拉的对话中，芝诺问到单独一粒小米种子在落地时是否会发出声响。普罗泰戈拉的回答是否定的。芝诺继续说道：一大把小米在落地时无疑会发出声音。单个小米种子是一整把小米的一部分。因此，单个小米种子落地时必然也会发出一点声音。因为一整把发出的声音只是作为其构成部分的各单粒种子所发出的声音的复合体。因此，感官告诉我们单粒小米种子落下时不发出声音是错误的。
这与构成谬误（fallacy of composition）非常相似。 整体 中的 构成部分 不具有某种性质（比如，可被听到这一性质）这一事实并不意味着这个 整体 本身不具有该性质。
为了防止芝诺囿于细枝末节之中，一些人提出小米种子的问题可以被看作“谷堆悖论”的一种简单形式。芝诺实质上的论证将构成一个滑坡：一粒种子的落下不会发出声音。如果 n 粒种子不发出声音，那么 n + 1粒种子也不会发出声音。因此，一把种子不能发出声音。
如果小米种子能算作简单形式的连锁悖论（sorites）的话，那么德谟克利特（约公元前460年—前370年）有关锥体的两难困境又该怎么说呢？
如果一个锥体被一个平行于底面的平面切割（这意味着这个平面无穷地接近于底面），那么我们应该如何理解形成这些截面的表面？它们是相等的还是不相等的呢？譬如说，如果它们并不相等，那就会导致这个锥体变得不规则，因为那样它就会有许多不平滑的痕印，如台阶状和凹凸状等。但是，如果它们是相等的，那么这个圆锥体就会具有圆柱体的性质，由相等的而非不等的圆构成，而这是非常荒谬的。（普鲁塔克，1921，179—180）
圆锥是一堆无穷薄的圆盘的集合。如果圆盘逐渐变小，那么这个“圆锥”将会具有分明的层级结构，就像婚礼蛋糕一样。如果圆盘大小相等，那么这个“圆锥”将会变成一个圆柱体。人们可以将这种困境解释为对以下原则的质疑，即细小差异可以积累成显著变化。
要是将连锁悖论算作德谟克利特或者芝诺的发明的话，也许是对他们过于慷慨了。据记载，芝诺发明了大约40个悖论。自然，它们的质量不尽相同。和我们中的其他人一样，芝诺获得的成功也许离不开他的大量尝试。
大多数哲学家现在认为芝诺的悖论已经由格奥尔格·康托（Georg Cantor）在19世纪末发明的超限算术解决了。由于本书将在第22章中讨论该理论，并在其他地方严谨地将之加以呈现，我在此将满足于描述康托最简单的回答：芝诺错误地假定了速度存在限制。人们可以走得足够快以完成“超高速任务”（hypertask），在有穷多的时间间隔内完成无穷多的动作。你可以通过走得越来越快来离开房间。你在10秒钟内走完半程，然后在5秒内走过余下路程的一半，在2.5秒内走过再余下的一半，依此类推。在忙活了20秒钟之后，你就到达了房间的对面。
对于“超高速任务”的可行性也存在着质疑的声音。J. F. 汤姆逊（J. F. Thomson，1970）试图证明执行无穷多任务在逻辑上是不可能的。请想象一盏只有一个按钮的台灯，上面的按钮按一下就可以把关着的灯打开，或者把亮着的灯熄灭。如果最初台灯处在关闭状态，按下按钮的次数是奇数，那么灯就会被打开；如果按下的次数是偶数，那么它就会被关闭。现在假设汤姆逊正在努力按下无穷次按钮：他会在第一分钟内按一次按钮，此后半分钟后按下第二次，再在四分之一分钟后按下第三次，依此类推。这样的话，在两分钟之后，灯应该是开着的还是关着的呢？它不可能是开着的，因为汤姆逊从没有在打开它之后不关掉它。它也不可能是关闭的，因为在第一次打开它之后，他也从未在关掉它之后没有打开它。
这里看起来存在着的矛盾只是因为假设不够完整而产生的幻象。汤姆逊的指令仅仅指明在第2–1/2 n -1 分钟时所发生的事情，而不关乎第二分钟本身。请想象一个人告诉我们：每个小于1的数要么是“合规数”，要么是“违规数”。在1/2，1/4，1/8……这一序列中，第一个数是违规数，第二个是合规数，然后此后的数依此交替，使得如果 n 是奇数，则（1/2） n 是违规数，而如果 n 是偶数，则它是合规数（贝纳塞拉夫，1970）。现在，这个序列的极限是一个合规数还是违规数？它不可能是违规数，因为每个违规数后都紧接着一个合规数。但它也不可能是合规数，因为每个合规数后都紧接着一个违规数。此处存在的困境是一种虚假的表象。指令仅仅涉及序列，因此不能对序列以外的数字提供任何信息。
其他人认为康托不能解决“诸神悖论”：
一名男子决定从A到B步行一英里。当他行走了半英里时，将会遇上一位已经做好准备筑起一道挡住他去路的墙的神。第二位神（第一位神不知道其存在）也做好了准备，他将在男人行进了1/4英里时筑墙阻止其前进。接着又是第三位神直至无穷。很明显，这种仅涉及 意图 的无穷序列（假设以下反事实条件句：每位神在有机会的情况下都能成功执行其意图）在逻辑上必然导致该男子将在A点就被挡住，他将无法离开起点，即使事实上他的路径上没有任何一道墙会被筑起。（贝纳尔德特，1964，259—260）
如果我们增加以下假设：除非有障碍被放到他的路上，否则这个人不会停下来，那么就会产生矛盾。这个悖论在于低估了意图之间产生冲突的可能性（亚布洛，2000）。我有能力说出一个比你说出的任意一个数都大的数。你也有能力说出一个比我说出的任意一个数都大的数。但这并不意味着我们可以同时施展这些能力。
现在假设有一个由恶魔排成的无穷队列，他们以从后往前的顺序呼叫“是”或“否”。每个恶魔都愿意成为第一个说“是”的魔鬼，但是如果不能如此的话就会决定说“否”。乍一看来，我们会预测某个恶魔会说“是”。但如果他们都坚持自己的计划的话，这在逻辑上是不可能的。假设有一个恶魔说“是”，那么这意味着他身后的所有恶魔都说“否”。但是在他前面说话的那个恶魔会说“是”，因为在这个恶魔之前说话的所有的恶魔都说了“否”。
筑墙之神与说“是、否”的恶魔非常类似。每个神灵都能阻挡前行者。但是，既然只有第一个尝试阻挡的神才能真正挡到，那么这名前行者就不会被任何神挡住。
阿尔弗雷德·怀特海评论道：“在你完成著作后的每个世纪都会被人反驳，这是最高程度的胜利……没有人曾在了解过芝诺之后却不试着反驳他，并且每个世纪的人都认为反驳他是有意义的。”（1947，114）我认为这种称赞在未来几个世纪后将不复存在。有关“超高速任务”的悖论仍然存在。然而它们并没有推翻以下判断：芝诺的所有悖论都由康托在100多年前解决了。
康托的胜利表明，某些重要的悖论是可以被解决的。我们现在对于芝诺的谜题拥有了满足现代数学严苛标准的解法了。2400年的等待是漫长的。但要记住，我们的比较对象是西绪福斯，而他的劳役将永恒持续。