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儿子：“爸爸，你能帮我找到这个题目中的最小公分母吗？”
爸爸：“天呐，儿子。不要告诉我人们还没有找到这个最小公分母。自打我小时候起，人们就在找它了！”
阿那克西曼德举出一个例子来说明如何去构建并且应对悖论。他的追随者们意识到解决悖论需要有训练有素地提出理由的过程。但他们从未真正切实地为任何命题给出可信的 证明 。从某种程度上来说，天文学和工程学为古人提供了一个不错的起点。但是归根结底，证明法之诞生受到的最大影响来自数学知识。
阿那克西曼德对世界的看法基本上都被他的后继者们接受了。然而，希腊人从来不愿意彻底地接受“无限”这一概念。他们认为实在往往是边界清楚、结构明晰的。无限则是无限定、无定形、无规定的。真实存在的事物怎么可能以无限这样不具有明确定义的概念作为其根基呢？
阿那克西曼德的继任者阿那克西美尼（Araximenes）试图强化无限这一概念。虽然阿那克西曼德认为无限是土、空气、火和水的混合物，但阿那克西美尼认为气才是最本质的基本元素：火实质上就是膨胀了的气，而云则是气受压缩产生的；如果气被进一步压缩，那么它会成为液态水；如果再进一步地压缩，就会变成土，甚至是石头——在被压缩的过程中，它会变得更冷、更密、更重和更暗。与此类似，阿那克西曼德所说的对立无非就是气的变疏或是变厚。量的变化导致了质的差异。
如果实在的基本性质是可以量化的，那么算术学和几何学就成为理解实在的结构的关键。这些学科部分是由埃及人建立的。希罗多德记录称，埃及人对分数和几何的兴趣源自法老对农民征税时的现实要求，这些税收是与农民们的耕地面积成比例的。当尼罗河泛滥而淹没了农民的部分耕地时，农民的纳税义务会根据剩余耕地的面积按比例减少。
许多数学史学家都把埃及人对数学的兴趣描述为完全出于现实考量的结果。然而，任何建立了数学的文化都包含用于 消遣 的数学。有一卷被称为《莱茵德纸草书》（ Rhind Papyrus ）的书包含着有记录以来最早的算术学和几何学谜题。从这个小册子中我们了解到，埃及人在第十二王朝时期（约公元前2000年—前1788年）就已经得出了π的近似值（他们认为是3.16），并且提出了计算截断形金字塔体积的公式： V =（ n /3）（ a 2 + ab + b 2 ），其中 a 和 b 是金字塔底边的长度， n 是金字塔的高度。然而，《莱茵德纸草书》也表明埃及人在计算中严重依赖于试错法：他们是通过反复做加法来解决乘法问题的。
许多学者，尤其是数学家，都对古埃及数学中几乎不存在证明感到惊讶。但这是古代社会数学发展中的常态，而非特例。巴比伦人、玛雅人以及古印度人对于验证他们的结论几乎没有兴趣。对他们来说，通往发现的步骤是手段，而不是目的。他们从未将推理过程视为应该得到公开展示以支持结论的结构——就好比建筑师并不会用玻璃墙向大家保证房梁很坚固。早期的数学家满足于仅仅 展示 他们所发现的结论。
而希腊人则改变了数学的思维，他们的后继者就想住在玻璃墙搭成的房子里。
毕达哥拉斯（约公元前582年—公元前500年）坚持认为数学中的证据应当是公开的，因为他的同行们应有权利去检查推理的步骤。但毕达哥拉斯实际上禁止他的弟子们将他的证明（甚至定理本身）传播给学派之外的人。毕达哥拉斯的数学与他的神秘教派的其他学说一样，都是神圣的秘密。
由于这种保密性，我们很难探究毕达哥拉斯对于证明的仪式性坚持的基础。从泄露出来的内容看，我们可以推断毕达哥拉斯是出于精神完美主义而要求严格的演绎证明的。毕达哥拉斯教导说，我们的灵魂受到惩罚被束缚在我们的肉体里。我们的灵魂渴望升入它们产生的地方——神圣的天体中。死亡并不会使不死的灵魂从肉体中得到解脱，因为它会转世到正要出生的动物当中。在经过栖息在陆地、海洋和空中的各种动物之后，灵魂将最终再次进入人体。因此，人类吃任何动物的肉都是在同类相食。
人生的目的是按照我们心灵之中的最高标准来生活。我们如果要尊重自身的神圣本源的话，就必须遵守一系列的禁忌，例如戒除肉食、酒精和性交。就更积极的一面而言，我们则通过追求智慧来表达我们对纯洁性的渴望。毕达哥拉斯是第一个称自己为 哲学家 （也即“爱智者”）的人。
形式最纯粹的研究是数学。在这里，人们可以摆脱自己对感官的依赖。人们可以无视质料世界的束缚，从自明的真理中推断出结果。经验领域中的不确定性在此可以被人类所超越。
毕达哥拉斯用以研究自然的数学路径取得了惊人的成功。他通过发明单弦琴（monochord）——一种带有可移动琴桥的单弦乐器——而发现了音程。这些协和的声响之间的比率似乎与天体的位置相对应。除了在自然现象中发现的这些数学关系，毕达哥拉斯也相信它们存在于伦理学中。数学通过相互性（reciprocity）、相等（equality）和平衡（balance）等概念在道德中获得立足点。毕达哥拉斯用几何方式来表示数字，这使人们自然而然地认为世界是由数字生成的。毕达哥拉斯学派通过在平面上排布鹅卵石的方式来表示数字。他们通过在一枚鹅卵石周围摆满 晷阵 （gnomons）来构建平方数。晷阵是一组类似于木工直角尺的装置（图2.1）。这种表示方法可能有助于毕达哥拉斯解决在寻找那些一边的平方等于另外两边的平方和的三角形时所遇到的算数问题。但它也表明了一种将越来越多的实在纳入数字控制之下的方法。通过添加越来越大的晷阵，我们可以让环绕最初的“一”的区域变得越来越大。
图2.1
数字是这整个图形，包括由这些鹅卵石或圆点组织而成的空间。如果圆点之间不存在空间，那么就只会存在一个大点。毕达哥拉斯认为数字越大，则其占据的空间越大。因此，所有的实在都包含在自然数中。
毕达哥拉斯形而上学化的数学理论体现了他对于漂亮论证的美学理解。不少毕达哥拉斯学派的精美论证都被记载于欧几里得的《几何原本》之中永垂不朽。
归于毕达哥拉斯名下的最著名的结论是毕达哥拉斯定理。《绿野仙踪》结尾部分甚至提到了这一定理：在稻草人发现他拥有大脑后，他获得了一份文凭。为了向人们展示他新发现的聪明才智，稻草人向他们指出了等腰三角形任意两边的平方根之和等于第三边的平方根。
稻草人其实没有获得聪明才智。实际上，毕达哥拉斯定理的内容是，在一个 直角 三角形中，斜边长的平方等于两个直角边长的平方和。
然而当我们精确地规定物体的形状时，毕达哥拉斯定理却常常不太好用。例如，少年棒球联盟（Little League baseball）的官方规则手册将本垒板规定为一个不规则的五边形（图2.2）。但是这种形状是不可能的，因为它要求一个三边长各为（12，12，17）的直角三角形的存在（布拉德利，1996）。根据毕达哥拉斯定理，直角三角形两直角边边长的平方之和必须等于斜边长的平方： a 2 + b 2 = c 2 。但是12 2 + 12 2 = 288≠289 = 17 2 。
图2.2
这样的规则手册是否使少年联盟棒球这项运动成为不可能的呢？棒球中的许多关键术语（譬如击球、跑动等）都是基于本垒板来定义的。少年儿童们 似乎 是实实在在在打棒球。然而，如果我们一定要坚持官方对于本垒板的定义的话，那么他们只是在从事一项类似于少年联盟棒球的运动（就像一个圆角方块类似于圆的方）。
与此相反，我们将这本规则手册中的定义理解为一种描述一个我们已经理解的词汇的努力，而且这努力是有缺陷的。给出定义的目的在于达到统一的比赛条件。一个东西之所以被称为本垒板，本质上是因为它在棒球运动中发挥着某种作用。即使没有任何人为之给出一个精确的定义，本垒板也可以并且已经成功发挥了这种作用。
毕达哥拉斯定理并不会使得少年棒球联盟比赛无法开展。但是，毕达哥拉斯定理确实会破坏毕达哥拉斯主义。当梅塔蓬图姆的希帕索斯（Hiappasus of Metapontum）将毕达哥拉斯定理应用于直角边长为1的等腰直角三角形时，麻烦就开始了。根据毕达哥拉斯定理，斜边长等于
。如果有一个比例等于
的话，那么它应该是大小介于1和2之间的一个分数
p
/
q
。这个数可能是什么？不可能是3/2，因为（3/2）
2
= 9/4，大于2。也不是5/4，因为（5/4）
2
= 25/16，小于2。希帕索斯从存在一对符合条件的数字这个前提导出了矛盾。与毕达哥拉斯学说相悖的是，有些事物并不能由自然数来表示。
希帕索斯将他的结果泄露给了学派之外的人。他遭到毕达哥拉斯学派的驱逐，之后在海里溺亡了。毕达哥拉斯学派称这是众神对他的轻率行为的惩罚。
众神真的会支持一个错误的定理吗？毕达哥拉斯学派将众神看作纯粹的理智存在者。因此，他们应该是逻辑上的完美存在者，并会相信从他们所相信的东西中可以推出的一切逻辑后承。一个逻辑上完美的存在者会看出毕达哥拉斯定理是如何推出以下结论的，即等腰直角三角形中的斜边长与直角边长是不可通约的。因此，众神对希帕索斯的证明不会感到惊讶。
毕达哥拉斯学派错误地认为推论是一种神圣的活动。作为完美主义者的他们在构建严谨的数学证明时试图模仿诸神。但我们之所以推理，是因为我们并不完美。一个会相信从其所持的观点中推论出的任何逻辑后承的人根本不需要推理。
希帕索斯提出的悖论可以被表述为四个分而各自合理、合而不相协调的命题：
1.实在拥有数学结构。
2.如果实在拥有数学结构，那么所有的关系都可以用数来表示。
3.这里的数指的是（非零）自然数：1，2，3……
4.等腰直角三角形的斜边与其直角边长度是不可通约的。
第一个命题是毕达哥拉斯学派观点的基础。第二个命题阐明了他们用比值来描述世界的信念。比值应当指明事物的本质。这意味着等腰直角三角形缺乏某种特定的本性。然而，直角边长都为1的等腰直角三角形与直角边长都为2的等腰直角三角形理应具有相同的本性。毕竟，除了相同的数学关系，它们还可能有什么共同点呢？第三个命题——毕达哥拉斯学派认为它几乎不值一提——是关于数字意义众所周知的道理。最后一个命题是希帕索斯提出的让人惊讶的定理。
毕达哥拉斯学派认为此处的结论严重威胁了他们哲学的核心元素，即第一个命题。对我们来说，这种反驳对实在的数学图画似乎无害，因为我们接受无理数的存在。但对于许多毕达哥拉斯的追随者来说，数学形而上学不再能行得通了。对于这种困境存在着两种常见的反应。赫拉克利特放弃了现实必须符合我们的理性期望这一假设。现实有它自己的逻辑，体现着支撑起宇宙之谜的诸多对立。我们的感官向我们揭示出的是一个充满混乱与变化的世界，它漫过了理性所建立的堤坝和水渠。在现实生活中，我们经历着种种边界案例、偶发事件以及无始无终的发展。
巴门尼德的应对方式是放弃世界上可以存在许多事物这一假设。如果只存在着一个事物的话，那么事物间的不可通约性这一问题就不复存在。因而一切都会与理性相协调。你需要做的只是坚持理性，并且不要因自己的感官而分心。在下一章，我们将专门讨论巴门尼德这种态度坚决的方案。