思维导图

比较数/式的大小

1.作差比较

对于任意两个实数（或代数式）a和b，有

注意：

（1）如果作差的结果是一个常数，可以直接判断其正负，如由

（2）如果作差的结果是一个含有字母的代数式，则一般通过配方法来判断其正负，如由（ x ² +x) -(5x 6)= x ² -4x+6 = ( x-2) ² +2>0 知，x ² +x>5x-6。

“张”口点拨

比较数/式的大小，记得用“证据说话”。

（1）要说明a>b，只需说明a-b>0.即如果a>b，那么a-b>0。

（2）要说明a = b，只需说明a-b = 0.即如果a = b，那么a-b = 0。

（3）要说明a<b，只需说明a-b<0.即如果a<b，那么a-b<0。

不等式的性质

1.对称性

若a>b，则b<a。

2.传递性

若a>b,b>c，则a>c;

若a<b,b<c，则a<c。

3.可加性

若a>b，则a+c>b+c。

4.可乘性

若a>b,c>0，则ac>bc;

若a>b,c<0，则ac<bc。

5.加法单调性

若a>b,c>d，则a+c>b+d;

若a<b,c<d，则a+c<b+d。

注意：

（1）对于不等式的可乘性，一定要注意乘上的那个数是正数还是负数。

（2）对于不等式的加法单调性，同向不等式只能相加，不能相减。

一元一次不等式

解一元一次不等式，实质是利用不等式的性质，将不等式进行化简的一个过程。

解一元一次不等式，实质也是比较代数式大小的一个过程。

如解不等式 2x-1>x+5，即题目在发问，当x为何值时，2x-1>x+5?

一元二次不等式

“张”口点拨

初中知识回顾：

对于一元二次方程ax ² +bx+c = 0( a≠0)，其根的判别式为Δ= b ² -4ac。

当Δ > 0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根。

当Δ= 0 时，一元二次方程有两个相等的实数根。

当Δ<0 时，一元二次方程没有实数根。

当Δ≥ 0 时， 方程解可以利用公式求得 x =

一元二次不等式的解，关联于一元二次方程的解。

可以利用一元二次函数的图象，求一元二次不等式的解。

注意：

（1）当a<0 时，可以将不等式两边同时乘以“-1”，然后再求一元二次不等式的解。

（2）如果a>0,Δ>0，一元二次不等式的解的口诀为大于两边分，小于中间夹。具体为

ax ² +bx+c>0 的解为“x>；大根或x<；小根”；

ax ² +bx+c<0 的解“小根<x<；大根”。

“张”口点拨

举例：

因为x ² -9 = 0 的解为x = 3（大根）或x = -3（小根）；

所以x ² -9>0 的解为x>3（大根）或x<-3（小根）；

所以x ² -9<0 的解为-3（小根）<x<3（大根）。

绝对值不等式

解绝对值不等式的关键是“去绝对值符号”，其规则为

（1）当c>0 时，

| ax+b | >c ⇔ ax+b>c或ax+b<-c;

| ax+b | <c ⇔-c<ax+b<c。

（2）当c<0 时，

| ax+b | >c的解为全体实数；

| ax+b | <c无实数解。

（3）当n>m>0 时，

m< | ax+b | <n ⇔ m<ax+b<n或-n<ax+b<-m。

基本不等式

1.基本不等式

对于任意正实数 称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。

两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数，也就是

当且仅当a = b时，不等式的等号成立。

我们把不等式 称为基本不等式或均值定理。

“张”口点拨

均值定理 包含两种情况：

（1）当a≠b时，有 ；

（2）当a = b时，有 。

举例：

因为 3≠2，所以 ；

因为 4 = 4，所以 。

2.公式变形

均值定理除了用不等式 表示外，也常变形为下列不等式：

(1） ；

( 2) a ² +≥b ² ab;

(3) 。

当a = b时，以上不等式的等号成立。

注意：

通常我们会碰到求形如 的题型，可以将“ax”构造出“bx+c”的形式，如

“张”口点拨

例 已知x>2，问当x为何值时，代数式 有最小值，最小值是多少？

解 ：由均值定理得

所以当 ，即x = 4 时有最小值，最小值为 6。 ZldgHeQiT3OKBLRkq8CCEHYinD7sIjdT3iqjiM38AOyBcnvqG4XhDK2HFLF4hvLR