思维导图

“张”口点拨

数学新概念的学习规律，基本上都差不多。

比如，在小学一年级，我们关于整数（其实是自然数）的学习顺序：先有概念，再有表示，然后有大小关系，最后有四则运算。

集合的概念

1.集合

我们把一些事物构成的整体叫集合，简称为集。其中，整体中的每个事物叫集合的元素。

集合一般用大写拉丁字母A,B,C,…表示。

元素一般用小写拉丁字母a,b,c,…表示。

2.集合中元素的特征

（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是“确定的”。

① 如全体香蕉构成的集合，那么某个香蕉肯定是这个集合的元素，而苹果肯定不是这个集合的元素，非常明确。

② 如“全体很大的数”不能构成集合，哪些数才算是“很大”呢？理解上会因人而异，不明确。

（2）互异性：给定的集合中，没有两个元素是相同的。

如 1,2,3,2,1 这个五个数字构成的集合中，其实只有 1,2,3 这 3 个元素。

（3）无序性：集合的元素无先后顺序之分。

集合{1,2,3}和集合{2,3,1}表示的是同一个集合。同一个集合用“= ”表示，即{1,2,3}= {2,3,1}。

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一串香蕉构成的集合中，每只香蕉都是一个“元素”，而苹果不是这个集合的“元素”。

3.元素与集合的关系

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元素a和集合A、集合B，它们之间的关系为a∈A,a∉B。

集合的表示

表示集合的 5 种方法：

1.字母法

用字母表示某些特殊的集合。

注意：

在集合中，字母的右上角加上“*”表示“去零”，加上“+”表示“取正”，加上“-”表示“取负”。

如 Q ^∗ 表示非零有理数集， R ⁺ 表示正实数集， Z ^- 表示负整数集。

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表示特殊集合的字母，是有来历的：

自然数集 N ，取Natural number（自然数）的首字母。

有理数集 Q ，取Quotient（商）的首字母，因为有理数都可以写成两个整数的商。

实数集 R ，取Real number（实数）的首字母。

整数集 Z ，出自德语词汇“Zahlen”，是为了纪念德国女数学家诺特对数学中环理论的贡献。

2.列举法

把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法。

如小于 3 的全体自然数构成的集合为{0,1,2}。

注意：

用列举法表示集合时，（1）元素和元素之间用逗号隔开，不能用顿号等其他标点符号；（2）不能有相同的元素；（3）元素之间无顺序；（4）当元素呈现规律时，可以用省略号“…”表示，如 N = {0,1,2,3,…}, Z = {…，-3,-2,-1,0,1,2,3,…}。

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对于空集，由于不含任何元素，所以可以将其形象地理解为

3.描述法

有些集合无法用列举法表示，此时，可以利用元素的共同特征来表示集合，这种方法称为“描述法”。

具体方法为在花括号内画一条竖线，竖线左边为元素的形式，竖线的右边为元素的特征，即

如{x x>2，且x∈ Z }表示由大于 2 的全体整数构成的集合，{(x,y) y = 2x+1}表示由直线y = 2x+1 上的所有点构成的集合。

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生活中，除了可以用名字表示某个人外，还可以用这个人的独有特征来表示这个人。如说到西游记中以九齿钉耙为兵器的神仙，大家就知道是猪八戒。

描述法的原理与此相同。

4.区间法

对于一些由连续实数构成的集合，可用“区间”来表示。

区间：由数轴上两点间的一切实数所组成的集合。其中，这两个点叫作区间端点。

在区间中，用圆括号表示“排除”，读作“开”，用方括号表示“包括”，读作“闭”。

注意：

用区间表示集合时，(1）左端点肯定小于右端点；(2)“-∞”只能位于区间左边，“+∞”只能位于区间右边；(3)“-∞”与“+ ∞”都只能用小括号，不能用中括号，因为“-∞”与“+∞”都是符号，而不是一个确切的数，区间无法包含端点；(4）中间带有“或”的集合，在区间表示时，采用并语言“∪”表示，如{x x≤-3 或x>1}=（-∞ ,-3]∪(1,+∞ )。

5.韦恩图法

用平面上封闭曲线的内部表示集合，这种图形称为韦恩图。

韦恩图可以非常形象的表示两个集合甚至多个集合之间的关系。

集合的关系

1.包含关系

对于两个集合A、B，集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 ，读作“ A包含于B” （或B包含A) 。

用韦恩图表示包含关系如下：

2.真包含关系

对于集合A、B，集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不在集合A中，我们就说这两个集合有真包含关系，称集合A是集合B的真子集，记作 或（ ），读作“ A真包含于B”（或B真包含A)。

用韦恩图表示包含关系如下：

3.相等关系

如果集合A与集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等，记为A =B。

用韦恩图表示相等关系如下：

4.不包含关系

如果集合A和B，他们之中各有元素不属于对方，则称集合A与集合B没有包含关系，记为 或 。

用韦恩图表示不包含关系如下：

注意：

（1）空集是所有集合的子集，是所有非空集合的真子集。

（2）如果集合A有n个元素，则集合A的子集有 2 ⁿ 个（0 个元素构成的集合+1 个元素构成的集合+2 个元素构成的集合+…+ n个元素构成的集合），真子集有（2 ⁿ -1）个。

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实数关系与集合关系对比理解：实数之间的大小关系有“≥、≤、>、<、=”。

集合之间的包含关系有 。

实数大小符号的理解：

如-5≤3 可以精确表示为-5<3;3≤3 可以精确表示为 3 = 3。

集合关系符号的理解：

如 可以精确表示为 可以精确表示为{1,2}={2,1}。

集合的运算

1.定义集合的三种运算：交、并、补

注意：

对于补集运算，在没有特别说明的情况下，全集U一般是指全体实数集 R 。

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实数可以进行加、减、乘、除等四则运算，集合则可以进行交、并、补等运算，各有各的运算符号，各有各的运算规则。如

交集：{1,2,3}∩{1,3,5}= {1,3}。

并集：{1,2,3}∪{1,3,5}= {1,2,3,5}。

补集：若A = {x | x≥2},B= [-1,8)，则 = { x x<2}， 。

2.几个运算性质

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A是B子集的另一种说法：A∩B= A或A∪B=B。 xVxzivzVU5gL2aP0VK8L1QKBifoU5ul5BugMVC525opalPG6M+3kuipqO251ogFy