1.2 完全信息静态博弈的经典模型

1.2.1 古诺双头垄断模型

古诺(Cournot)模型又称为古诺双头垄断模型,是两个寡头企业进行产量竞争的简单模型,此模型由古诺在19 世纪30 年代提出。古诺模型已成为博弈论的经典模型之一,是产业组织理论的重要里程碑。在此以古诺模型的一种最简单的情况为例,说明博弈的标准式表述方式以及寻求均衡解的过程,在后面的章节中将会涉及这一模型的不同变形。

例 1.2.1 在古诺模型中,假设市场上共有企业 1、企业 2 两个局中人,每个企业可以选择的策略是其产品产量,即两个企业进行产量竞争。用 q _i ≥0( i = 1,2)分别表示两个企业生产的产品产量,如此,易知市场中该产品的总供给为: Q = q ₁ + q ₂ 。令 P ( Q )= a - Q ,其中, P 表示两个企业的市场出清价格,为使其非负,则 Q < a , a 表示市场潜力或市场总需求, Q 表示两个企业的总供给。假设企业不存在固定成本,且生产每单位产品的边际成本为常数 c ( c < a ),因此企业 i 生产 q _i 数量的产品总成本可以表示为 C _i ( q _i )= cq _i ,除此之外,假定企业没有其他成本,此时企业的收益就是其净利润额(全部收益减去全部成本)。在完全信息静态博弈中,假定两个企业是同时决策其产量的。

此博弈的标准式表述为:

(1)局中人集合:{企业 1,企业 2};

(2)策略集: s ₁ = q ₁ = [0,+∞), s ₂ = q ₂ = [0,+∞);

(3)收益函数: u ₁ ( q ₁ , q ₂ )= q ₁ [ a -( q ₁ + q ₂ )- c ], u ₂ ( q ₁ , q ₂ )= q ₂ [ a -( q ₁ + q ₂ )- c ]。

企业 i 的收益 u _i ( s _i , s _j )可以表示为:

如果产出组合( )为纳什均衡，则对企业 i 来说，其最优策略 应为如下最大化问题的解:

为使解有意义,假设 < a - c ,则企业 i 最优化问题的解为:

如果产量组合( )要成为纳什均衡,企业的产量选择必须满足:

因此,解方程组(1.2.4)可得:

同时,该均衡解也满足 < a - c 的假设。

对例 1.2.1 均衡解的直观理解为,每家企业都希望成为市场的垄断者。当企业 i 为市场垄断者时,它会选择 q _i 使自己的利润 π _i ( q _i ,0)最大化,则其产量为垄断产量 q _m = ,可赚取垄断利润 。然而,当市场上有两家企业的时候,要使两家企业总利润最大化,两家企业的产量之和 q ₁ + q ₂ 应与垄断产量 q _m 相等。此时,垄断产量较低,相应的市场价格 P ( q _m )较高,提高产量,两企业的收益均能上升,在两家企业都是以各自收益最大化为目标的情况下,两家企业都有动机偏离这一结果,因为偏离能使其各自收益增加。而在例 1.2.1 的古诺模型中,两家企业的总产量高于 P ( q _m ),虽然降低了价格,但是两家企业均达到互为最优的状态,不会出现企业偏离的情况。

除了代数方式求解纳什均衡外,还可以通过图形求解。等式(1.2.3)可推导出针对企业 1 的任意一个策略企业 2 的最优反应,以及针对企业 2 的任意一个策略企业 1 的最优反应。假定企业 1 的策略 q ₁ 满足 q ₁ < a - c ,企业 2 对于企业 1 的策略 q ₁ 的最优反应为:

同理,如果企业 2 的策略 q ₂ 满足 q ₂ < a - c ,企业 1 对于企业 2 的策略 q ₂ 的最优反应为:

如图 1.2.1 所示,这两个最优反应函数只有一个交点,其交点就是最优产量组合( , )。

1.2.2 贝特兰德双头垄断模型

贝特兰德(Bertrand)双头垄断模型是两个寡头企业相互竞争的另一个模型,由贝特兰德在 19 世纪 80 年代提出。不同于古诺模型,贝特兰德假设企业在竞争时选择的是产品价格竞争,例 1.2.2 介绍了贝特兰德价格竞争的一种简单情形,以此为例对完全信息静态博弈的标准式表述及求解均衡解的过程进行介绍。

例 1.2.2 在一个贝特兰德模型中,假设有企业 1、企业 2 两个局中人,它们可选择的策略是产品的价格,企业 1 和企业 2 选择价格分别为 p ₁ >0 和 p ₂ >0。与例 1.2.1 两企业的产品完全可替代的假设不同,这里假设两家企业生产的产品是部分可替代的,消费者对企业 i ( i = {1,2})的需求可表示为:

其中, q _i 表示在产品 i 的价格为 p _i 、产品 j 的价格为 p _j 时消费者对产品 i 的需求, a 表示市场潜力或市场总需求, b >0 表示企业 i 的产品对企业 j 的产品的替代率。假设企业生产无固定成本且边际成本为常数 c ( c < a ),除此之外企业无其他成本,企业的收益函数等于其利润额,两个企业同时进行价格决策。

此博弈的标准式表述为:

(1)局中人集合:{企业 1,企业 2};

(2)策略集: s ₁ = p ₁ = [0,+∞), s ₂ = p ₂ = [0,+∞);

(3)收益函数: u ₁ ( p ₁ , p ₂ )= ( p ₁ - c )( a - p ₁ + bp ₂ ), u ₁ ( p ₁ , p ₂ )= ( p ₂ - c )( a - p ₂ + bp ₁ )。

当企业 i 选择价格 p _i ,企业 j 选择价格 p _j 时，企业 i 的利润可表示为:

如果一对产出组合( )为纳什均衡，则对任意企业 i ,其最优定价策略 应为如下最大化问题的解:

对企业 i 求此最优化问题的解为:

如果产量组合( )要成为纳什均衡，那么两企业的产量选择必须满足:

解方程组(1.2.12)可得: XcHex9je/+HawJFtf6jhMYcyY/3zmj/o4jY8QeH6OQhmw7Qjnin1xBBVFxcr/Msj