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给定任意3个正整数，我们便可以想象出一个长、宽、高为这3个整数的长方体（即一个长方形的盒子）。我们可以用勾股定理计算出盒子表面对角线的长度，如果这3条对角线的长度也是整数，就将这个长方体称作“欧拉砖”（亦称欧拉长方体）——以18世纪伟大的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉命名。
人们于1719年发现第一块欧拉砖，边长分别为44、117和240（对角线计算出来正好是125、244和267）。但是从正面左下角到背面右上角的内部对角线呢？它的长度也可以是整数吗？
我们所寻找的是3个整数 a 、 b 和 c （边长），不仅 a 2 + b 2 、 b 2 + c 2 和 c 2 + a 2 （对角线的平方）为完全平方数，而且 a 2 + b 2 + c 2 （内部对角线的平方）也是一个完全平方数。如果能找到这样的数，那么就将边长为这3个数的长方体称作“完美长方体”，但到目前为止，还没有人发现这种长方体，也没有人证明这种长方体是不存在的。
1的立方=1×1×1，即1;2的立方=2×2×2，即8；我们可以继续得出立方数的序列：27、64、125、216、343、512、729……
然而，如果我们试着把任何数都表示为正立方数的和，那么会发生什么呢？大约一个世纪以前，人们证明了每个数都可以表示为最多9个立方数的和，并且仅有的为9个立方数的和的数有23（8+8+1+1+1+1+1+1+1）和239（125+27+27+27+8+8+8+8+1）。后来又证明，除了这些之外，仅有的至少为8个立方数的和的数有15、22、50、114、167、175、186、212、231、238、303、364、420、428和454，因此接下来就是，任何大于454的数都可以表示为最多7个立方数的和。
但是类似的表述也能应用于6个立方数吗？有没有这样一个数，我们可以说任何大于这个数的数都可以表示为最多6个正立方数的和？
伟大的法国数学家皮埃尔·费马于1665年逝世，他花费了很多精力寻找一个可以产生质数的公式。他得出的最接近的结果是所谓的“费马数”，即形式为2 （2 n ） +1的数。
费马推测，所有符合这个公式的数都是质数，对于 n 的前几个取值，他的想法是对的。公式给出的前5个值是3、5、17、257和65537，这些确实是质数。遗憾的是，欧拉在1732年发现，按顺序接下来得到的数字4294967297等于641×6700417。
从那时起，除了前5个数之外，就没有发现任何其他的费马数了。然而，是否还有更多的费马数，甚至可能是无穷多的费马数，这仍然是未知的。
想一个数字，接着找出所有能整除它的数（包括这个数本身），再将它们相加，并除以你最开始想的数。现在试着找另外一个数，要求是在进行同样的步骤之后可以得到相同的答案。如果能找到这样一个数，那么就将这个数和你最开始想的数称作一对“亲和数”。例如，30和140就是一对亲和数：
30的约数和为：
除以30之后得到72/30，约分之后为12/5。
140的约数和为：
除以140之后，我们得到336/140，约分（分子分母同时除以28）之后为12/5。
如果以10开始，我们可以得到（1+2+5+10）/10=9/5，但目前还没有人找到另外一个数字能得出相同的结果。然而，也没有人证明过不存在这样的数字，所以我们还不知道10是否有亲和数。
幻方是指由数字构成的正方形阵列，其中所有行、列以及对角线上的数字相加都能得到相同的数。下面给出一个例子，其中所有行、列及对角线的和都是15：
下面是1770年欧拉设计的一个更复杂的例子：
但欧拉并不只是采用了较大的数字，这个正方形还有着非常神奇的特性：不仅每条线上的数字加起来都是8515，而且这16个数字本身也都是平方数。
问题是，3×3的正方形可以拥有以上特性吗？是否存在由9个互不相同的平方数所构成的3×3幻方？目前还没有人发现这样的正方形，也没有人证明过这样的正方形是不存在的。
为什么根据牛顿的万有引力定律，任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比？
为什么通过麦克斯韦方程组，我们就可以了解所有需要知道的关于电和磁的知识？
为什么 E = mc 2 ？
简而言之，正如爱因斯坦所言：“数学，这个独立于人类经验的思维产物，怎么会如此完美地适用于物理现实中的对象呢？”
数学柏拉图主义者认为，数学是一种纯粹的、理想化的语言，它实际上是现实世界的母语，任何事物都必须屈服于它的力量，否则就毫无意义。非柏拉图主义者则认为，正如爱因斯坦所言，数学是人类思维的产物，是一种思维构想，它最多只能给出最接近真实情况的近似值。
即使是非柏拉图主义者也必须承认，数学很好地解释了世界，但在本书中许多尚未得到解答的问题可以作为证据，证明其永远不能对世界给出彻底的解释。