第二节
经典例题解析

例 1 三个小孩中，有一名学龄前儿童（年龄不足6岁），他们的年龄都是质数（素数）且依次相差6岁，则他们的年龄之和为（ ）.

（A） 21

（B） 27

（C） 33

（D） 39

（E） 51

分析 法一：公差为6的质数等差数列有：5，11，17.故年龄之和为33.选 C .

法二：列举，小于6的质数有2，3，5.由题意，

若最小的小孩的年龄是2岁，则另外两个小孩分别是8和14，但不是质数，不合题意，若最小的小孩的年龄是3岁，则另外两个小孩分别是9和15，但不是质数，不合题意，若最小的小孩的年龄是5岁，则另外两个小孩分别是11和17，

满足条件，故年龄之和为5+11+17=33.选 C .

例 2 已知 p ， q 都是质数，且3 p +7 q =41，则 p +1， q -1， pq +1的算术平均值为（ ）.

（A）6

（B） 14

（C） 18

（D） 24

（E） 32

分析 由3 p +7 q =41知，由奇数+偶数=奇数得出 p ， q 中有且仅有一个为偶数⇒ p =2， q =5或 p =9， q =2（舍去）， X =6，选 A .

例 3 已知 p ， q 都是质数，且5 p +7 q =129，则 p + q =（ ）.

（A） 15

（B） 19

（C） 25

（D） 19或25

（E）均不正确

分析 由5 p +7 q =129知，由奇数+偶数=奇数得出 p ， q 中有且仅有一个为偶数⇒ p =2， q =17或 p =23， q =2，选 D .

例 4 已知 n 为任意自然数，则 n ² + n 为（ ）.

（A）偶数

（B）奇数

（C）当 n 为偶数时是偶数

（D）当 n 为奇数时是奇数

（E）不能确定

分析 n ² + n = n （ n +1），两个连续自然数必有一个偶数，选 A .

例 5 （条件充分性判断）已知 m ， n 是正整数，则 m 是偶数.

（1）3 m +2 n 是偶数.

（2）3 m ² +2 n ² 是偶数.

注 质疑没有选项的读者，请先阅读第11页条件充分性判断的题型介绍.

分析 在条件（1）下：2 n 为偶数⇒3 m 为偶数⇒ m 是偶数。条件（1）充分。在条件（2）下：2 n ² 为偶数⇒3 m ² 为偶数⇒ m ² 是偶数⇒ m 是偶数，条件（2）充分。由上述得到两个条件都充分，选 D .

例 6 设 a ， b ， c 是小于12的三个不同的质数（素数），且 =8，则 a + b + c =（ ）.

（A） 10

（B） 12

分析 采用特值法：

（C） 14

（D） 15

（E） 19

小于12的质数只有2、3、5、7、11，令 a < b < c ，

因此去绝对值后有 c - a =4，就是相隔的两数差为4，只有3、7满足，

因此这三个数为3、5、7，则和为15.选 D .

例 7 （条件充分性判断） p = mq +1为质数.

（1） m 为正整数， q 为质数.

（2） m ， q 均为质数.

分析 采用特值法：

取 m =7， q =5可得到 p = mq +1=36，明显符合条件（1）、（2），但是不满足结论，因此条件（1）、（2）单独和联合皆不充分。选 E .

例 8 （条件充分性判断）正整数 x 是偶数.

（1） x 被3整除时，其余数为2.

（2） x 被5整除时，其余数为2.

分析 利用特值法：

取 x =3×5+2=17知，同时满足（1）、（2），但不满足结论，条件不充分，选 E .

例 9 已知 p ， q 均为小于1000的质数，且满足 pq +1= x ， x 为奇数，则 x 的最大值为（ ）.

（A） 1991

（B） 1992

（C） 1993

（D） 1994

（E） 1995

分析 利用排除法：

x 为奇数排除B、D，⇒ pq 为偶数，根据质偶数得到必有一个为2.

对选项A有1991=2×995+1不满足题意，排除.

对选项C有1993=2×2×498+1不满足题意，排除.

对选项E有1995=2×997+1满足题意。因此选 E .

例 10 若连续四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（ ）.

（A） 100

（B） 101

（C） 102

（D） 103

（E） 120

分析 利用逆向思维解题法：

从答案出发，和值为100~120之间，那么四个连续的数的平均数为25 ~30，要求的是最小值，则有24，25，26，27四个数满足（23不满足），即四个数之和为102，选 C .

例 11 （条件充分性判断） 是一个整数.

（1） n 是一个整数，且 也是一个整数.

（2） n 是一个整数，且7 n 也是一个整数.

分析 由（1）知， n =14 k ， 是一个整数，条件（1）充分；

由（2）可取 n =7， 不是一个整数，条件（2）不充分，选 A .

例 12 n 为大于1的任意正整数，则 n ³ - n 必有约数（因数）（ ）.

（A） 4

（B） 5

（C）6

（D）7

（E）8

分析 法一：利用特值法.

取特值 n =2（满足题意最小的值），明显有 n ³ - n =6，有约数6；

n =3时 n ³ - n =24，有约数6；因此可推断 n ³ - n 必有约数6.选 C .

法二： n ³ - n =（ n -1） n （ n +1），在三个连续的整数中必有一个是3的倍数，在两个连续的整数中必有一个是2的倍数（即偶数），

因此 ，从而[3，2]=6可整除 n ³ - n ，

即6是 n ³ - n 的约数。选 C .

例 13 已知 ，则 =（）.

（A）6

（B）7

（C）8

（D）9

（E） 10

分析 法一：利用特值法。取 x =2， y =3， z =4，

则有所求原式= =9，选 D .

法二：设 = k ⇒ x =2 k ， y =3 k ， z =4 k ，

则有所求原式= =9，选 D .

例 14 设 =4∶5∶6，则使 x + y + z =74成立的 y 值是（）.

（A） 24

（B） 36

（C）

（D）

（E）均不正确

分析 法一：利用思维解题法. ，可令 ，

即有 ， ，则 ，

解得 ，（逆向思维 ，不用具体算 k 的值）选 A .

法二：由 ，扩大60倍后， x ∶ y ∶ z =15∶12∶10，

设 x =15 k ， y =12 k ， z =10 k ，由题意知15 k +12 k +10 k =37 k =74，

即有 k =2，故 y =24，选 A .

例 15 已知 ， ， ，则 =（）.

（A） 1

（B）2

（C）

（D）

（E）以上都不正确

分析 利用特值法：令 x = y = z =1，则有 ，

所以结果为 .选 A .

例 16 已知 ，则 =（ ）.

（A） （B） （C） （D） （E）

分析 法一：利用特值法：取 x =1，则 z =4， y =-1，原式= ，选 B .

法二：由题意知， ， z =4 k ， y =- k ，原式 ，选 B .

例 17 若 X ₁ ， X ₂ ，…， X _n 的几何平均值为3，而前 n -1个数的几何平均值为2，则 X _n （ n ≥2）为（ ）.

（A）

（B）

（C）

（D）

（E）均不正确

分析 法一： X ₁ X ₂ … X _n =3 ⁿ ， X ₁ X ₂ … X _{n -1} =2 ^{n -1} ， ，选 C .

法二：利用特值法：取 n =2，即 X ₁ =2， ，代入选项，只有C正确，选 C .

例 18 已知 a ， b 为实数，且1< a < b ，那么1， a +1，2 a + b ， a + b +1这四个数据的平均数与中位数的差的绝对值为（ ）.

（A） 1

（B）

（C）

（D）

（E）均不正确

分析 法一：利用特值法：令 b =3， a =2，四个数为1，3，7，6，平均数为 ，中位数为 ，差的绝对值为 ，选 D .

法二：1， a +1，2 a + b ， a + b +1大小顺序为1， a +1， a + b +1，2 a + b ，因此中位数为 ，又因平均数为 ，则有差的绝对值为 ，选 D .

例 19 假设五个相异的正整数的平均值是15，中位数是18，则此五个正整数中最大的那个数为（ ）.

（A） 32

（B） 35

（C） 37

（D） 51

（E） 53

分析 利用思维解题法：巧设五个数分别为1，2，18，19， x ，因此有 x ^max =15×5-（1+2+18+19）=75-40=35，选 B .

例 20 如果多项式 f （ x ）= x ³ + px ² + qx +6含有因式 x +1和 ，则 f （ x ）的另外一个一次因式是（ ）.

（A） x -2

（B） x +2

（C） x -4

（D） x +4

（E） 2 x -4

分析 采用尾数法：

多项式中的常数项（尾数）6是由它的三个因式的常数项（尾数）相乘得到，即有6=1× × m ⇒ m =-4，因此另一个因式为 x -4，选 C .

例 21 多项式2 x ⁴ - x ³ -6 x ² - x +2因式分解后为（2 x -1） q （ x ），则 q （ x ）=（ ）.

（A） （ x +2）（2 x -1） ²

（B） （ x -2）（ x +1） ²

（C） （2 x +1）（ x ² -2）

（D） （2 x +1） ² （ x +2）

（E） （ x +2）（ x +1） ²

分析 采用排除法和尾数法（首项）：

看多项式首项为2，那么因式中只有一个首项为2，其余的为1，排除A，C，D，看尾数可知E明显错误，选 B .

例 22 （1）化简：

（2）计算：

分析 （1）原式=

（2）原式= ，使用带余除法：

例 23 x ， y ∈ R ₊ ， ，求 .

分析 法一： ，

因为 x ， y ∈ R ₊ ，所以 ， 即 x =9 y ，

法二：利用特值法：令 y =1，

即有 =0⇒ =0⇒ x =9，

代入所求式得到 .

例 24 若 x ² -3 x +2 xy + y ² -3 y -40=（ x + y + m ）（ x + y + n ），则 m 、 n 的值可取为（）.

（A） m =8、 n =5

（B） m =8、 n =-5

（C） m =-8、 n =5

（D） m =-8、 n =-5

（E）无法确定

分析 法一：利用尾数法，

此处不看尾数，看 x + y 的系数，通过因式易得到 x + y 的系数为 m + n ，即有 m + n =-3，明显只有选项C满足，故选 C .

法二：配方法，由题意得到（ x + y ） ² -3（ x + y ）-40=（ x + y +5）（ x + y -8），即有 m =-8，

n =5或 m =5， n =-8，因此选 C .

法三：由题意得到

² x -3 x +2 xy + y ² -3 y -40= x ² +（ m + n ） x +2 xy + y ² +（ m + n ） y + mn ，

即有 ，选 C .

例 25 =（ ）.

（A）

（B）

（C）

（D）

（E）

分析 法一：利用经验公式法，首减尾，倍数看分母差值. ，选 A .

法二： ，选 A .

例 26 已知 ，则 f （8）=（ ）.

（A）

（B）

（C）

（D）

（E）

分析 经验公式法： ， ，选 E .

例 27 =（）.

（A）

（B）

（C）

（D）

（E）

分析 法一：经验公式法：首减尾，倍数看分母差值.

值为 ，选 B .

法二：原式= ，选 B .

例 28 （条件充分性判断）若 a ， b 满足 ，则 .

（1） a ， b 是有理数.

（2） a ， b 是实数.

分析 条件（1）下有 a = b =0，即有 ，满足结论，充分.

条件（2）下有 ， ，但是 ，不满足结论，不充分.

选 A .

例 29 若 x 、 y 为有理数，且满足方程 ，则 x - y =（ ）.

（A） 10

（B） 12

（C） 14

（D） 16

（E） 18

分析 题中式子可以转化为 ，

即有 ，则 x - y =18，选 E .

例 30 设 x 、 y 为有理数，且 ，则 x - y =（ ）.

（A）-3

（B）0

（C） 1

（D） 3

（E）7

分析 由题意知， ， y =1⇒ x - y =1，选 C .

例 31 若 ，则代数式 x （ x +1）（ x +2）（ x +3）=（ ）.

（A）-1

（B）0

（C） 1

（D） 2

（E） 3

分析 法一： ，选 A .

法二：利用排除法，

因 ，

即有 x +1、 x +2、 x +3都大于0，根据乘法性质有同号为正异号为负，得到结果应该为负，选 A .

例 32 .

（A） 2014

（B） 2015

（C） 2016

（D） 2017

（E） 2018

分析 法一：利用经验公式法，根式型结果为尾减首，系数看分母根式下差值。因此结果为： ，选 C .

法二：采用分母有理化后有

x =

⇒ x = ，选 C .

例 33 若 x ² -5 x +1=0，则 =（ ）.

（A） 527

（B） 257

（C） 526

（D） 256

（E） 356

分析 利用思维解题法： x ² -5 x +1=0⇒ x + =5，

原式= -2=527，选 A .

例 34 已知 x ² -3 x +1=0

求：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

分析分三类

第一类：（1） x -3+ =0故 x + =3

（2） =3 ² 故 x ² +2+ =9即 x ² + =7

（4） =7 ² 故 x ⁴ +2+ =49即 x ⁴ + =47

（8） =47 ² 故 x ⁸ +2+ =47 ² 即 x ⁸ + =47 ² -2=2207

第二类：（3）

=3×（7-1）=18

（6） =18 ² 故 x ⁶ +2+ =324即 x ⁶ + =322

第三类：（5）

故 =7×18-3=123

或

故 =3×47-18=123

（7）

故 =3×322-123=843

或

故 =7×123-18=843

例 35 设 a ， b ， c 为互不相等的实数，且满足 ，则（ abc ） ² =（）.

（A） 1

（B） 2

（C） 3

（D） 4

（E） 5

分析 法一：利用特值法，

取 c =1， 及 或 a =1（舍去，若为1则 a ， b 相等），即有 b =-2，从而（ abc ） ² =1，选 A .法二：利用思维解题法，

由 ①，类似得 ②， ③，

①②③式相乘，得 ，选 A .

例 36 若（3 x +1） ⁵ = ax ⁵ + bx ⁴ + cx ³ + dx ² + ex + f ，则 a + c + e =（ ）.

（A） 114

（B） 528

（C） 126

（D） 326

（E） 428

分析 采用特值法，取 x =1知， a + b + c + d + e + f =4 ⁵ =1024①，

又取 x =-1知，- a + b - c + d - e + f =（-2） ⁵ =-32②，

由①-②知，2（ a + c + e ）=1056，即 a + c + e =528，选 B .

例 37 已知多项式 f （ x ）除以 x +2的余式为1，除以 x +3的余式为-1，则 f （ x ）除以（ x +2）·（ x +3）的余式为（ ）.

（A） 2 x -5

（B） 2 x +5

（C） x -1

（D） x +1

（E） 2 x -1

分析 法一：利用代入验证排除法，

因 f （ x ）=（ x +2） p （ x ）+1⇒ f （-2）=1， f （ x ）=（ x +3） q （ x ）-1⇒ f （-3）=-1，

f （ x ）=（ x +2）（ x +3） m （ x ）+余式，

因此有当 x =-2时余式值为1，当 x =-3时余式值为-1.

因此代入验证有：选项A：2×（-2）-5=-9≠1，排除A.

选项B：2×（-2）+5=1，2×（-3）+5=-1满足。故选 B .

法二：设 f （ x ）=（ x +2）（ x +3） m （ x ）+ kx + b ，又 f （-2）=1， f （-3）=-1，即有

， b =5，因此余式为2 x +5，选 B .

例 38 已知 x ² -1=3 x ，则3 x ³ -11 x ² +3 x -5值为（ ）.

（A）0

（B） 2

（C）-7

（D）7

（E）-2

分析 法一：利用综合除法，由题意得到 x ² -3 x -1=0，即有

故 3 x ³ -11 x ² +3 x -5=（ x ² -3 x -1）（3 x -2）-7=0·（3 x -2）-7=-7，选 C .

法二：降次转化，即有3 x ³ -11 x ² + 3 x -5=3 x （ x ² -3 x -1）+9 x ² + 3 x -11 x ² + 3 x -5=3 x （ x ² -3 x -1）-2 x ² +6 x -5=3 x （ x ² -3 x -1）-2（ x ² -3 x -1）-7，

又 x ² -3 x -1=0，故所求式值为-7，选 C .

例 39 （条件充分性判断） .

（1）实数 a ， b ， c 位置，

（2）实数 a ， b ， c 位置，

分析 法一：在条件（1）下得 b - a <0， c - b <0， c <0

⇒ = a - b + b - c + c = a ，（1）充分.

在条件（2）下得 b - a >0， c - b >0， c >0

⇒ = b - a + c - b - c =- a ，（2）不充分，选 A .

法二：采用特值法，

在条件（1）下：取 a =1， b =-1， c =-2，即有 =2+1-2

=1= a ，条件（1）充分，

在条件（2）下：取 a =-1， b =1， c =2，即有 =2+1-2=1≠

a ，条件（2）不充分，选 A .

例 40 （条件充分性判断） x > y.

（1）若 x 和 y 都是正整数，且 x ² < y ² .

（2）若 x 和 y 都是正整数，且 .

分析 采用特值法，

在条件（1）下得：如 x =1， y =2，则 x ² < y ² ，但 x < y ，条件（1）不充分.

在条件（2）下得：如 x =1， y =2，则 ，但 x < y ，条件（2）不充分，选 E .

例 41 已知 ，则 .

（A） 1

（B）-1

（C） 2

（D）-2

（E） 3

分析 法一： ，由已知条件可知 a ， b ， c 两正一负，不妨设 a >

0， b >0， c <0⇒ ，选 A .

法二：采用特值法，取 a =1， b =1， c =-1，即有

，选 A .

例 42 若△ ABC 的三边 a ， b ， c ，满足 a ² + b ² + c ² = ab + bc + ac ，则△ ABC 为（）三角形.

（A）等腰

（B）直角

（C）等边

（D）等腰直角

（E）斜

分析 法一：利用经验公式法， a ² + b ² + c ² - ab - ac - bc = [（ a - b ） ² +（ b - c ） ² +（ a - c ） ² ]=0⇒ a = b = c ，选 C .

法二：利用特值法，可令 a = b =1⇒ c =1，选 C .

例 43 x ， y ， z 是不完全相等的任意实数，且 a = x ² - yz ， b = y ² - xz ， c = z ² - xy ，则 a ， b ， c （ ）.

（A）都大于0

（B）至少有一个大于0

（C）至少有一个小于0

（D）都小于0

（E）不确定

分析 利用经验公式法： a + b + c = [（ x - y ） ² +（ y - z ） ² +（ z - x ） ² ]>0，三个数的和大于0，因此至少有一个数大于0，选 B .

例 44 （条件充分性判断） a ， b ， c ， d ∈ R ，则（ ac - bd ） ² +（ ad + bc ） ² =1.

（1） a ² + b ² =1.

（2） c ² + d ² =1.

分析 明显两个条件单独不充分，联立后有：

（ ac - bd ） ² +（ ad + bc ） ² = a ² c ² + b ² d ² -2 acbd + a ² d ² + b ² c ² +2 adbc

= a ² c ² + b ² d ² + a ² d ² + b ² c ² = a ² （ c ² + d ² ）+ b ² （ d ² + c ² ）=（ a ² + b ² ）（ c ² + d ² ）

显然条件（1）和（2）联立有（ a ² + b ² ）（ c ² + d ² ）=1，

即有（ ac - bd ） ² + （ ad + bc ） ² =1，则联立充分。选 C .

例 45 设 ， b 是 a 小数部分， c 是 a ² 的小数部分，则 b （ b + c +4）=（）.

（A）-2

（B）-1

（C）0

（D） 1

（E） 2

分析 利用经验公式法：充分利用公式 a ³ - b ³ =（ a - b ）（ a ² + ab + b ² ），

又 ， ， ， ，

因此有 b （ b + c +4）= -1=3-1=2，选 E .

例 46 若 ，则 a + b + c =（ ）.

（A）0

（B） 280

（C） 100

（D）-100

（E）无法确定

分析 根据非负性知， a =60， b =-90， c =130⇒ a + b + c =100，选 C .

例 47 已知 a ， b ， x ， y 满足 和 ，则3 ^{x + y} + 3 ^{a + b} =（ ）.

（A） 25

（B） 26

（C） 27

分析 法一：因为 ，所以 ，

（D） 28

（E） 29

即 ，

故 x -2=0， a =0， b =0，

可得 x =2， a =0， b =0， y =0+0+1=1，

3 ^{x + y} +3 ^{a + b} =3 ³ +3 ⁰ =28，选 D .

法二：利用尾数法，

3 ^x 为1，3，9，27，尾数为奇数，奇数+奇数=偶数，则有所求结果的尾数为偶数，又验证28=27+1成立，26显然不成立.

例 48 （条件充分性判断） m + n =-3.

（1） .

（2） （ m -1） ² （ n +4） ² ≤0.

分析 条件（1）：根据非负性得到 m =-4， m +4 n =0⇒ n =1⇒ m + n =-3，条件（1）充分.

条件（2）：根据非负性得到 m =1或 n =-4，显然不成立。选 A .

例 49 实数 x ， y ， z 满足 ，则（4 x -10 y ） ^z =（）.

（A）

（B）

（C）

（D）

（E）

分析 利用思维解题法：

=-2 y -1⇒

⇒ ，根据平方、根式的非负性得到 ，

则 x =2， y =-1， ，故 .选 C .

例 50 log ₃ 4·log ₄ 8·log ₈ m =log ₄ 16，则 m 为（ ）.

（A）92

（B）9

（C） 16

（D） 18

（E） 27

分析 利用约分法：应用对数函数的性质“换底”得到

log ₃ 4·log ₄ 8·log ₈ m =log ₃ m =2⇒ m =9.选 B .

例 51 若 a >1， b >1，且lg（ a + b ）=lg a +lg b ，则lg（ a -1）+lg（ b -1）的值等于（ ）.

（A）0

（B）lg2

（C）1

（D）-1

（E）-lg2

分析 lg（ a + b ）=lg a +lg b =lg ab ⇒ a + b = ab ⇒（ a -1）（ b -1）=1

则有lg（ a -1）+lg（ b -1）=lg（ a -1）（ b -1）=lg1=0，选 A .

例 52 关于 x 的方程2 ^{2 x +1} -9·2 ^x +4=0的解为（ ）.

（A） 1

（B） 2

（C）-1

（D）-1或2

（E）均不正确

分析 法一：利用思维解题法，令 t =2 ^x ，原方程可化为（2 t -1）（ t -4）=0，

⇒ t = 或 t =4即有2 ^x = ⇒ x =-1或2 ^x =4⇒ x =2，因此选 D .

法二：利用代入验证排除法，

当 x =1时有2 ³ -9×2+4≠0，排除A，

当 x =2时有2 ⁵ -9×2 ² +4=8×2 ² -9×2 ² +2 ² =0，满足.

当 x =-1时有 ，满足.

由上述得到 x =2或 x =-1，选 D . YJ81xiY+oLStdXKV/IOGUOiLk+68Pi8f1H7wxs+zFOT+pQQgzWnLEB2Ep83ZtQ84