应试方针

本书是针对管理类专业硕士联考综合能力考试中数学部分做的相应解读。自1998年至今联考数学经过三次大的变化，最近一次变化是从2008年至今，所以我们解析了2009至2022年的真题。综合能力考试分数学、逻辑、写作三部分，总分200分，考试时间为3小时（详见真题以及模拟试题）。考试中时间是生命线（大量的成功和失败的实例已经充分证明），而数学在综合考试中又占据双重地位，数学本身的分数占75分，份额最大（逻辑60、写作65），同时数学部分能节省较多的时间用于逻辑和写作部分，让后两部分占据主动地位，实现三赢效果。怎样做到在短时间（50分钟内）取得数学高（满）分就是摆在每位考生眼前急需解决的问题，即要求考生在考试中做到“快、准”结合.

联考中的数学考查的是思维技巧性，旨在思维上的解放，而不是局限于常规解题。数学的常规方法解题有很大的弊端，如运算量大、耗时长且把握性不大。编者历经20余年的全程面授教学，潜心研究历年命题动态，扣题精准，且独创思维解题法、经验公式法、考试方法技巧性、考试心理技巧法，讲授“一分钟解题法”。其教学特点以及解题方法、技巧已成为业界内的典范。（该部分详细内容参考备考策略篇）

本书将联考中数学大纲要求的考试内容，按难易程度分为基础重点篇、系统难点篇.

基础重点篇

第一章 数与式

（本部分包含了基础算术以及初等代数）

一、数

1.奇数、偶数、质数、合数

2.整除、公倍数、公约数

3.分数、比与比例

4.平均数、方差、标准差

5.实数、根式以及运算

二、式

1.整式以及运算

2.整式的因式分解

3.多项式以及余式

4.完全平方式、绝对值以及非负性

5.均值不等式

6.指数、对数

第二章应用题

1.利润、百分比、比例问题

2.工程

3.路程、速度

4.溶液、浓度

5.其他类型

第三章函数、方程和不等式

1.函数

2.方程

3.不等式以及恒成立

第四章平面几何

1.三角形

2.四边形

3.圆以及扇形

4.平面几何面积计算

第五章立体几何

1.长方体、正方体

2.柱体、球体

3.空间几何体的面积以及体积计算

系统难点篇

第六章数列

1.一般数列

2.等差数列

3.等比数列

第七章解析几何

1.点与点、点与线、点与圆

2.线与圆、圆与圆

3.直线与圆的方程

第八章排列组合

1.排列与排列数

2.组合与组合数

3.二项式定理

第九章概率

1.集合

2.事件以及运算

3.古典概率以及加法、乘法公式

4.独立事件

5.伯努利概型

数学考试题型的介绍

第一大题 ： 问题求解 （在每年的真题中，此题共有15道小题，每小题3分，共45分。每题给出的A、B、C、D、E五个选项中，只有一项是符合试题要求的.）

例 1 （2022年真题）设 x ， y 为实数，则 f （ x ， y ）= x ² + 4 xy + 5 y ² -2 y +2的最小值为（）.

A. 1

B.

C. 2

D.

E. 3

分析 f （ x ， y ）=（ x + 2 y ） ² + （ y -1） ² +1≥1，选 A .

例 2 （2022年真题）如图 1-1所示，用4种颜色对图中五块区域进行涂色，每块区域涂一种颜色，且相邻的两块区域颜色不同，不同的涂色方法有（ ）种.

A. 12

B. 24

C. 32

D. 48

E.96

分析 如图 1-2所示，方法一：从 D 开始涂，然后按照 EABC 的顺序涂色，则有 =96种方法.

方法二：① AC 相同， BE 相同，有 =24种；

② AC 相同， BE 不同，有 =24种；

③ AC 不同， BE 相同，有 =24种；

④ CE 相同，有 =24种.

共96种，选 E .

例 3 （2021年真题）设二次函数 f （ x ）= ax 2 + bx + c ，且 f （2）= f （0），则 =（ ）.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E.6

分析 方法一：对称轴为 =1=- ⇒ b =-2 a ， ，选 B .

方法二：特值法。可令 a =1， c =0，利用 x 轴交点法，令 f （ x ）= x （ x -2），代入所求式为3.

例 4 （2021年真题）若球体的内接正方体的体积为8m ³ ，则该球体的表面积为（ ）.

A.4πm ²

B.6πm ²

C.8πm ²

D.12πm ²

E.24πm ²

分析 正方体对角线为球的直径， ⇒ S =4πR ² =4π =12π，选 D .

例 5 （2020年真题）从1至10这10个整数中任取3个数，恰有1个质数的概率是（ ）.

A.

B.

C.

D.

E.

分析 10以内的质数：2、3、5、7；分母为10个数字随机选3个，即 =120种；分子部分为恰有1个质数，2个非质数，即 =60种；故 p = = .选 B .

例 6 （2020年真题）某人在同一观众群体中调查了对五部电影的看法，得到如下数据：

据此数据，观众意见分歧最大的前两部电影依次是（ ）.

A.第一部，第三部

B.第二部，第三部

C.第二部，第五部

D.第四部，第一部

E.第四部，第二部

分析 当方差越小时，表示意见分歧越大，则方差最小的前两部电影依次是第二部、第五部。选 C .

例 7 （2019年真题）某车间计划10天完成一项工作，工作3天后因故停2天。若要按原计划完成任务，则工作效率需要提高（ ）.

A.20%

B.30%

C.40%

D.50%

E.60%

分析 设原来每天的工作量为1，则工作总量为10.

现由已知题干可得，剩余的工作量为7，需要5天完成，则工作效率为 =1.4，即工作效率需要提高40%.选 C .

例 8 （2019年真题）设函数 f （ x ）=2 x + （ a >0）在（0，+∞ ）内的最小值为 f （ x ₀ ）=12，则 x ₀ =（ ）.

A. 5

B.4

C. 3

D. 2

E. 1

分析 由均值不等式可得， f （ x ）=2 x + = x + x +xa ₂ ≥3 =3 ，即 f （ x ₀ ）=3 =12⇒ a =64，当且仅当x= ⇒ x ₀ =4.选 B .

例 9 （2019年真题）将一批树苗种在一个正方形花园边上，四角都种，如果每隔3米种一棵，那么剩下10棵树苗；如果每隔2米种一棵，那么恰好种满正方形的3条边，则这批树苗有（ ）棵.

A.54

B.60

C.70

D.82

E.94

分析 设正方形的边长为3 x ，则若每隔3米种一棵树，则每条边种 x +1棵树，但因为四个角有重合，故共种4（ x +1）-4=4 x 棵树；若每隔2米种一棵树，则每条边种 +1棵树，但因为两个角有重合，故共种（ +1）×3-2=29 x +1棵树；即4 x +10= x +1， x =18，故这批树苗有4×18+10=82棵。选 D .

例 10 （2019年真题）设数列{ a _n }满足 a ₁ =0， a _{n +1} -2 a _n =1，则 a ₁₀₀ =（ ）.

A.2 ⁹⁹ -1

B.2 ⁹⁹

C.2 ⁹⁹ +1

D.2 ¹⁰⁰ -1

E.2 ¹⁰⁰ +1

分析 方法一：枚举找规律， a ₁ =0=2 ⁰ -1， a ₂ =1=2 ¹ -1， a ₃ =3=2 ² -1，…易知 a _n =2 ^{n -1} -1，故选 A .

方法二：已知 a _{n +1} -2 a _n =1，则 a _{n +1} +1=2（ a _n +1），则{ a _n +1}为首项为 a ₁ +1=1，公比为2的等比数列，则可得数列的通项公式为 a _n +1=2 ^{n -1} ⇒ a _n =2 ^{n -1} -1，故 a ₁₀₀ =2 ⁹⁹ -1.选 A .

例 11 （2018年真题）学校竞赛设一等奖、二等奖和三等奖，比例为1∶3∶8，获奖率为30%，已知10人获得一等奖，则参加竞赛的人数为（ ）.

A.300

B.400

C.500

D.550

E.600

分析 已知一等奖人数∶二等奖人数∶三等奖人数=1∶3∶8，且一等奖获奖人数=10，可得出二等奖、三等奖获奖人数分别为30、80人，则总的获奖人数为10+30+80=120；120占总人数的30%，则参加竞赛的人数=120÷30%=400.选 B .

例 12 （2018年真题）某单位为检查3个部门的工作，由这3个部门的主任和外聘的3名人员组成检查组，分2人一组检查工作，每组有1名外聘成员，规定本部门主任不能检查本部门，则不同的安排方式有（ ）种.

A.6

B.8

C.12

D.18

E.36

分析 首先3个外聘人员的排列情况数为3!；其次，3个部门主任有2种情况（因为部门主任不能检查本部门的工作，即为错排问题）；故不同的安排方式种数有 N =3!×2=12.选 C .

例 13 （2017年真题）某品牌的电冰箱连续两次降价10%后的售价是降价前的（ ）.

A.80%

B.81%

C.82%

D.83%

E.85%

分析 由经验公式A（1± p %） ⁿ = B 计算.

设原始售价为单位“1”，则两次连续降价后的售价为1×（1-0.1） ² =0.81，故，连续降价两次后的价格是降价前的81%.选 B .

例 14 （2016年真题）设抛物线 y = x ² +2 ax + b 与 x 轴相交于 A ， B 两点，点 C 的坐标为（0，2），若△ABC的面积等于6，则（ ）.

A. a ² + b =9

B. a ² - b =9

C. a ² - b =36

D. a ² -4 b =9

E. a ² + b =36

分析 经验公式法： ；对于 y = x ² +2 ax + b 有 ，

又 S _△ ABC = =6⇒ ×2=6，

故 =6⇒ a ² - b =9.选 B .

例 15 （2014年真题）某部门在一次联欢活动中设了26个奖，奖品均价为280元，其中一等奖单价为400元，其他奖品均价为270元，一等奖的个数为（ ）.

A.6个

B.5个

C.4个

D.3个

E.2个

分析 采用数形结合法：

例 16 （2013年真题）甲班共有30名学生，在一次满分为100分的测试中，全班平均成绩为90分，则成绩低于60分的学生至多有（ ）个.

A.8

B.7

C.6

D.5

E.4

分析 利用逆向思维法：由题意得到全班一共要失去300分，低于60分的学生每人至少失掉40分，选 B .

例 17（2013年真题）已知 f （ x ）= + …+ ，则 f （8）=（ ）.

A.

B.

C.

D.

E.

分析 经验公式法： f （ x ）= - ， f （8）= - = ，选 E .

第二大题 ： 条件充分性判断 （在每年的真题中，此题共有10道小题，每小题3分，共30分。要求判断每题给出的条件（1）和（2）能否充分支持题干所陈述的结论. A、B、C、D、E五个选项为判断结果，选择一项符合试题要求的判断.）

（A）条件（1）充分，但条件（2）不充分.

（B）条件（2）充分，但条件（1）不充分.

（C）条件（1）和（2）单独都不充分，但条件（1）和条件（2）联合起来充分.

（D）条件（1）充分，条件（2）也充分.

（E）条件（1）和（2）单独都不充分，条件（1）和条件（2）联合起来也不充分.

注 在考试中，条件充分性判断的选项说明只给出一次，在每道小题中不再单独说明.

例 18 （2022年真题）如图 1-3所示， AD 与圆相切于点 D ， AC 与圆相交于点 B ，点 C ，则能确定△ ABD 与△ BDC 的面积比.

（1）已知 .

（2）已知 .

分析 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，因为∠ ADB =∠ BCD ，所以△ ABD 与△ ADC 相似。条件（1）不充分；条件（2） 为相似三角形对应边长比，即相似比，故充分；选 B .

例 19 （2022年真题）设实数 a 、 b 满足 ≤1，则 > .

（1） > 1.

（2） < 1.

分析 由三角不等式知 - ≤ ≤1⇒ ≥2 -1

条件（1） ≥ + -1 > ，条件（1）充分；

条件（2）不充分.

选 A .

例 20 （2021年真题）某单位进行投票表决，已知该单位的男、女员工人数之比为3∶2，则能确定至少有50%的女员工参加了投票.

（1）投赞成票的人数超过了总人数的40%.

（2）参加投票的女员工比男员工多.

分析 条件单独明显不充分。考虑联立，设总人数为5 k ，投赞成票大于2 k ，女员

工投票人数超过1 k ，即超过50%，充分，选 C .

例 21 （2021年真题）给定两个直角三角形，则这两个直角三角形相似.

（1）每个直角三角形的边长成等比数列.

（2）每个直角三角形的边长为等差数列.

分析 （1）令两个三角形三边分别为 a ， aq ， aq ² ； b ， bk ， bk ² .

由勾股定理得（ aq ² ） ² =（ aq ） ² + a ² ⇒ q ² = ⇒ q = ， k = q = ，则三边之比为 = = ，故两直角三角形相似，充分.

（2）设三边为 a ， a + d ， a +2 d ，由勾股定理得（ a +2 d ） ² =（ a + d ） ² + a ² ⇒ a ^2- 2 ad -3 d ² =（ a -3 d ） （ a + d ）=0，因 a ， d 均大于0⇒ a =3 d ，则该三角形三边为3 d ，4 d ，5 d .所以两个三角形相似，充分。选 D .

例 22 （2020年真题）设 a ， b 是正实数，则 + 存在最小值.

（1）已知 ab 的值.

（2）已知 a ， b 是方程 x ² -（ a + b ） x +2=0的不同实根.

分析 根据 a ， b ∈ R ₊ ，化简题干 + ≥2 .

条件（1），已知 ab 的值，可以确定 + 的最小值为2 ，故充分；

条件（2），易得 a ≠ b ，有两个不同实根，则Δ=（ a + b ） ² -8>0⇒ a + b >2 （ a ， b ∈ R ₊ ），根据韦达定理有， ab =2，则有 + = > ，故不充分。选 A .

例 23 （2019年真题）直线 y = kx 与圆 x ² + y ² -4 x +3=0有两个交点.

(1)- <k<0.

(2)0<k< .

分析 方法一：临界值法。直接画图，直线与圆相交的临界点.

方法二：圆的标准方程为（ x -2） ² + y ² =1，由直线与圆相交的临界情况———相切，有圆心到直线的距离等于半径，d= =r=1⇒ k =± ，则有两个交点时，直线的斜率范围为 < k < ，条件（1）为题干的子集，故充分；条件（2）不是题干范围的子集，故不充分。选 A .

例 24 （2019年真题）关于 x 的方程 x ² + ax + b =1有实数根.

（1） a + b =0.

（2） a - b =0.

分析 此方程的根的判别式为Δ= a ² -4（ b -1）= a ² -4 b +4

条件（1）： a + b =0⇒ b =- a ⇒Δ= a ² +4 a +4=（ a +2） ² ≥0，此时方程有实数根，充分.

条件（2）： a - b =0⇒ b = a ⇒Δ= a ² -4 a +4=（ a -2） ² ≥0，此时方程有实数根，充分。选 D .

例 25 （2019年真题）如图 1-4所示，已知正方形 ABCD 的面积， O 为 BC 上一点， P 为 AO 的中点， Q 为 DO 上一点，则能确定△ PQD 的面积.

（1） O 为 BC 的三等分点.

（2） Q 为 DO 的三等分点.

分析 由图形可知， O 无论在何处，△ AOD 的面积都等于正方形 ABCD 面积的一半，再由 P 为 AO 的中点， S _{△ POD} ∶ S _{△ A OD} = PO ∶ AO =1∶2，即△ POD 的面积可确定；再由 S _{△ PQD} ∶ S _{△ POD} = DQ ∶ OD ，题干要求确定△ PQD 的面积，则只需知道点 Q 的位置。选 B .

例 26 （2019年真题）设数列{ a _n }的前 n 项和为 S _n ，则{ a _n }为等差数列.

（1） S _n = n ² +2 n ， n =1，2，3，….

（2） S _n = n ² +2 n +1， n =1，2，3，….

分析 易知等差数列的前n项和公式 S _n = na ₁ + d = n ² + （a ₁ - ） n ，可得等差数列的前 n 项和公式是关于项数 n 的一元二次函数，且无常数项。则易知条件（1）充分，条件（2）不充分。选 A .

例 27 （2018年真题）设{ a _n }为等差数列。则能确定 a ₁ + a ₂ +…+ a ₉ 的值.

（1）已知 a ₁ 的值.

（2）已知a ₅ 的值.

分析 已知{ a _n }为等差数列，则根据等差数列下标和性质，有 S ₉ = =9a ₅ ，故只需知道 a ₅ 的值即可，因此条件（2）充分。选 B .

例 28 （2017年真题）直线 y = ax + b 与抛物线 y = x ² 有两个交点.

（1） a ² >4 b .

（2） b >0.

分析 模块三，考试方法技巧性的代数—几何转换法.

化简题干， ⇒ x ² - ax - b =0有两个不相等的实数根，则Δ= a ² +4 b >0.

条件（1）： a =1， b =-1满足 a ² >4 b ，但是不能推出 a ² +4 b >0.故条件（1）不充分.

条件（2）： b >0⇒4 b >0⇒4 b + a ² >0.故条件（2）充分。选 B .

例 29 （2016年真题）已知某公司男员工的平均年龄和女员工的平均年龄，则能确定该公司员工的平均年龄.

（1）已知该公司的员工人数.

（2）已知该公司男、女员工的人数之比.

分析 一锤定音法，十字交叉法；求平均数类似于求混合后浓度，只需知道两种溶液原来的浓度（即平均年龄）和两种溶液的质量比（及男、女员工人数比），故条件（1）不充分，条件（2）充分。选 B .

例 30 （2015年真题）已知 M =（ a ₁ + a ₂ +…+ a _{n -1} ）（ a ₂ + a ₃ +…+ a _n ），N=（ a ₁ + a ₂ +…+ a _n ）（ a ₂ + a ₃ +…+ a _{n -1} ），则 M > N .

（1） a ₁ >0.

（2） a ₁ a _n >0.

分析 利用转移式思维解题法， M = S _{n -1} （ S _n - a ₁ ）， N = S _n （ S _{n -1} - a ₁ ）， M - N =- a ₁ S _{n -1} + a ₁ S _n = a ₁ a _n .

因此易得到条件（2）单独充分，条件（1）不充分。选 B .

例 31 （2014年真题）设x是非零实数，则 x ³ + =18.

(1) x + =3.

(2) x ² + =7.

分析 由条件（1） x + =3⇒ x ² + =（ x + ） ² -2=7，⇒ x ³ + =（ x + ） （ x ² -1+ ）=3×6=18，条件（1）充分.

条件（2）明显 x 有正负之分，不充分。选 A .

例 32 （2013年真题）已知 x ， y ， z 为非零实数，则 =1.

（1）3 x -2 y =0.

（2）2 y - z =0.

分析 利用考试方法技巧性中的特值法.

显然条件（1）、（2）联立时，3 x =2 y = z ，

令 z =6⇒ x =2， y =3，代入成立，所以联立充分。选 C .

数学高效学习、复习方法

一、重视基础知识

每一道考试题都是由基本的定理、定义、公式构成的，它们多层次的组合形成了难易程度不同的问题，所以这些定理、定义、公式是解题的基础，而熟练掌握和深刻理解这些内容就成为解题的关键。为了熟练掌握并牢固记忆和理解所有的定理、定义和公式，一定要先复习第二篇和第三篇的每章的考点概述，对考点的内容要熟练记忆，然后再参考经典例题.

数学解题能力的提高是一个不断积累、循序渐进的过程。不过联考的数学题目考查的是思维性，合理利用高效的方法可以顺利解决大部分题目。在本书第一篇会给出一份高效备考策略，对其中的内容、方法，考生要仔细地揣摩、练习，以达到熟练运用其中的方法、技巧.

二、重视历年真题的训练

通过对历年真题的类型、特点、思路进行系统的归纳总结，可以估计一下考试难度，对自己有一个合理准确的定位，对考试板块中自己拿手的部分着重复习。同时还要有意识地重点梳理该部分的解题思路、方法等，因为对同一部分的考试题对应的考试点是相同的，同样解题思路、方法也是类似的。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性的题，要特别注重解题思路方法和技巧的培养，强化训练要反复进行。提议对本书经典例题进行反复的练习，特别是对其中提供的高效方法要着重的学习.

三、合理安排学习计划

考生大多是在职人员，学习时间比较紧张。但是不用担心时间够不够用，只要考生想要学习，什么时候都不算晚。考生要先确定自己的大目标（分值），再分板块实现自己的目标。考试题目毕竟有难易之分，而且综合考试的时间有限，分给数学的时间更有限，如何在短时间里得到理想分数，是需要考生解决的，要么放弃一部分题目，要么找到高效的解题方法。再有，学习一定要不折不扣，要持之以恒。特别是在职人员，一定要善于利用自己的休息时间，制定出合理的学习计划，在备考的过程中要克服自己的缺点，如贪玩、贪睡、懒惰以及悲观、消极的情绪.

总之，备考过程是辛苦的，但也是充实的，每天坚持学习就会发现自己的进步，大脑的充实。特别是数学学习，并不可怕，只要方法对，抓住解题的关键字词、公式定理，问题就会迎刃而解。大家在学习过程中一定要对自己充满信心，遇到难题时千万不要气馁，要多和同学们沟通，相互交流学习方法，相互鼓励，以达到共同学习、共同进步的目的。在你坚持把数学内容梳理一遍之后就会惊奇地发现专硕考研尽在你的掌控之中. Hy6XwIKLVr8qWdjco5uyurSYwCdsnUFm3xlEZWaFDBtQeLUI9a1LrjgSn8Io/Dfd