第四章
平面几何

第一节
考点概述

一、两条直线的位置关系

（一）两条直线相交

两条直线 l ₁ 与 l ₂ 相交，构成两组对顶角∠1，∠3和∠2，∠4，如图 2.4-1所示，则有∠1=∠3，∠2=∠4.

性质：对顶角相等.

（二）两条直线平行

如图 2.4-2所示：∠1与∠2是同位角，同位角相等，∠1=∠2；

∠2与∠3是内错角，内错角相等，∠2=∠3；

∠1与∠3是对顶角，对顶角相等，∠1=∠3；

∠2与∠4是同旁内角，同旁内角互补，∠2+∠4=180 °.

（三）直线被一组平行直线截得的线段成比例

如图 2.4-3所示：

二、三角形

（一）三角形的分类

按角分：三角形

按边分：三角形

（二）三角形的性质

1.三个内角和为180°.

2.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

3.三角形的一内角的补角（外角）等于另外两个内角的和.

（三）特殊的三角形

1.直角三角形

勾股定理： c ² = a ² + b ² ，如图 2.4-4所示.

常用勾股数：（3，4，5 ），（6，8，10），（5，12，13 ），（7，24，25）.

两锐角互余：∠ A +∠ B =90°.

斜边上的中点 D 到直角三角形3个顶点的距离相等（ BD = DA = DC ）.

外接圆圆心为斜边中点，半径 R 等于斜边的一半。内切圆半径为 r ，则有 a + b - c =2 r.

中位线：两边中点的连线为三角形的中位线。中位线平行于第三边且等于其一半.

（1）等腰直角三角形：如图 2.4-5所示，三边之比为1∶1∶ ，锐角为45°.

（2）有一内角为30°的直角三角形：如图 2.4-6所示，三边之比为1∶ ∶2，30°角的对边是斜边的一半，

2.等腰三角形

如图 2.4-7所示：顶角为∠ A ，底角为∠ B 和∠ C ，∠ B =∠ C ， AB = AC.

顶角平分线、底边上的高、底边上的中线三线合一，均为 AD.

3.等边三角形

如图 2.4-8所示：在△ ABC 中， AB = BC = AC = a ，

∠ A =∠ B =∠ C =60°，

高与边的比为3∶2， .

内切圆半径 ，外接圆半径

（四）三角形面积

其中 ， h 是底边 a 上的高， C 是 a ， b 边所夹的角.

（五）全等三角形

全等三角形的对应线段（对应边，对应边上的高、中线、角平分线）均相等，且对应角也相等.

（六）相似三角形

两个三角形相似如图 2.4-9所示：有△ ABC ∽△ A′B′C′ ，

性质：

1.相似三角形（相似图形）对应角相等，即有∠ A =∠ A′ ，∠ B =∠ B′ ，∠ C =∠ C′.

2.相似三角形（相似图形）对应边的比相等，即有 .

3.相似三角形（相似图形）的高、中线、角平分线的比也等于边的比（相似比）.

4.相似三角形（相似图形）的周长比等于相似比，即 .

5.相似三角形（相似图形）的面积比等于相似比的平方，即 .

（七）三角形的“四心”

内心：内切圆圆心，三条角平分线的交点.

外心：外接圆圆心，三条边的垂直平分线（中垂线）的交点.

重心：三条中线的交点.

垂心：三条高线的交点.

注意

等边三角形“四心”合一.

（八）三角形面积的性质

1.同高等底：面积相等.

2.同底等高：面积相等.

3.等高不等底：面积比等于底边长度之比.

4.等底不等高：面积比等于高之比.

5.既不等底也不等高，但相似：面积比等于相似比的平方.

（九）三角形正余弦的性质

S = ah ， S = ab sinC

正弦定理： （ R 为三角形外接圆半径）

a ∶ b ∶ c =sin A ∶sin B ∶sin C

余弦定理： ， ，

特殊地：在直角三角形中有如下定义：

正弦 ，余弦 ，正切

正割 ，余割 ，余切

sin θ ·csc θ =1，cos θ ·sec θ =1，tan θ ·cot θ =1

sin ² θ +cos ² θ =1，

（十）射影定理

在直角三角形 ABC 中， BD ⊥ AC ，如图 2.4-10所示，则满足 BD ² = AD · DC ； AB ² = AD · AC ； BC ² = CD · CA.

三、四边形

（一）平行四边形

平行四边形两边长是 a ， b ，以 b 为底边的高为 h ，面积为 S = bh ，周长 C =2（ a + b ）.两对角线互相平分，如图 2.4-11所示.

（二）矩形

矩形两边长为 a ， b ，面积为 S = ab ，周长 C =2（ a + b ），对角线 .两对角线互相平分，如图 2.4-12所示.

（三）菱形

菱形是四条边边长相等的平行四边形，面积为 ，

其中， l ₁ ， l ₂ 分别为对角线的长，周长为 C =4 a. 两对角线互相垂直平分.

（四）梯形

梯形上底为 a ，下底为 b ，高为 h ，中位线 ，

面积为 ，如图 2.4-13所示.

四、圆、扇形

（一）角的弧度

把圆弧长度和半径的比值称为对一个圆周角的弧度。度与弧度的换算公式：

1弧度= ，1°= 弧度

几个常用的角：

（二）圆

如图 2.4-14所示，圆的半径是 r ，面积 S =π r ² ，周长 C =2π r .

注意

（1）圆内接正（长）方形，则有正（长）方形对角线长等于圆的直径.

（2）正方形内切圆，则有正方形边长等于圆的直径.

（三）扇形

1.扇形弧长： ，其中 θ 为扇形角的弧度数， α 为扇形角的角度， r 为扇形半径.

2.扇形面积： .

五、正多边形

一般多边形的内角和（凸多边形）：（ n -2）×180 ° ，其中 n 为多边形的边数（ n ≥3）.

一般多边形的面积计算：连接各顶点和多边形中心，分解为 n 个三角形，有

（ S _i 表示三角形面积）. 6r8emkGv2ycHfD/2SpheENH9C4pwxH1HJY8Fvnr8YjWPufiXooqZm5CdTvCgXW0m