第四节
习题参考答案

1. 分析 设 f （ x ）= x ² -3 mx + m ² +1，

由题意得到 f （2）<0⇒ m ² -6 m +5<0⇒1< m <5，

条件（1）不是题干结论的子集，条件（2）是题干结论的子集.

因此条件（2）明显充分，（1）不充分。选 B .

2. 分析 法一：由 x ₁ x ₂ x ₃ =0可令 x ₃ =0⇒ d =0，原方程变为 ax ² + bx + c =0，

由 x ₁ + x ₂ =0知 b =0，原方程变为 ax ² + c =0，又方程根存在，故 a ， c 异号⇒ ac <0，选 B .

法二：利用特值法：取 x ₁ =0， x ₂ =-1， x ₃ =1，则

f （ x ）= x （ x +1）（ x -1）= x ³ - x ⇒ a =1， c =-1⇒ ac <0，选 B .

3. 分析 法一：原方程相当于 ，选 C .

法二：利用排除法，取 x =0满足等式，排除A，D，取 x =3不满足题意，排除B，因此选 C .

4. 分析 根据韦达定理有 αβ =29， α + β =- k ；

而29=1×29（29为质数，约数只有1和本身），

因此可设 α =1， β =29，则有- k =1+29⇒ k =-30， 选 A .

5. 分析 利用韦达定理，由题意可得 ， ，

， 的几何平均数为 ， ，选 D .

6. 分析 利用韦达定理，由条件（1），知道方程的一个根 x =2，直接将其代入关于 x 的方程就可以直接求得 p ，即条件（1）充分.

由条件（2）， ，

又由方程可知 ， ，可求得 p ，所以条件（2）也充分。选 D .

7. 分析 利用思维解题法的逆向思维以及韦达定理，由题意可知

因为 a ≠0，则有 ，即 ，

所以 ， b 是方程 x ² +99 x +19=0的两个根， ， ，

故 1+ ab =-99 a ，故 .选 C .

8. 分析 由韦达定理得到 x ₁ + x ₂ =- b ， x ₁ x ₂ =1，且 ，即有 b =-5，选 B .

9. 分析 由韦达定理得到 ，选 D .

10. 分析 在条件（1）下有：由韦达定理得到 a + b =4， ⇒ a ² + b ² =（ a + b ） ² -2 ab =17，

条件（1）单独不充分；

在条件（2）下有：

⇒ a =1， b =4⇒ a ² + b ^{2 =17，} 条件（2）单独不充分；

又条件（1）和（2）无法联立，故选 E .

11. 分析 法一：凑原方程为（ x +1）（ x ² + x -6）=0，

由 x ² + x -6=0⇒ x ₂ =-3， x ₃ =2，代入所求式= ，

或者用韦达定理也可 ，选 B .

法二：利用三元方程性质得到 ，

又 ，选 B .

12. 分析 要使 kx ² -（ k -8） x +1>0恒成立，

则当 k =0时，8 x +1>0，明显不恒成立， k <0明显不充分，

当 k >0时，（ k -8） ² -4 k <0⇒ （ k -4）（ k -16）<0⇒4< k <16，因此结论等价于4< k <16.

显然条件（1）和（2）都为结论集合的子集，因此都充分。选 D .

13. 分析

根据图 2.3-5所示，则明显得到解集为[1，2）∪[3，4）.

14. 分析 由（1）易解得1≤ x ≤3，区间在0≤ x ≤3内，条件（1）充分.

由（2）取 x =1，代入验证，显然（2）是不充分的。选 A .

15. 分析 由 ，则有-2< x ≤-1或1≤ x <2，选 E .

16. 分析 采用符号判断法，

在条件（1）下有不等式为正数×正数=正数，满足结论。条件（1）充分.

在条件（2）下有不等式为负数×负数=正数，满足结论。条件（2）充分.

由上述得到条件（1）和（2）均充分，故选 D .

17. 分析 结论 x ² -3 x -18=（ x +3）（ x -6）>0⇔ x >6或 x <-3，

在条件（1）下有 得到 x ≥6或 x ≤-3，单独不充分；

在条件（2）下有 x ² -2 x -15=（ x -5）（ x +3）>0⇔ x >5或 x <-3，单独不充分；

条件（1）和（2）联立后明显也不充分，里面有 x =6，显然不满足结论，因此选 E .

18. 分析 由题意得到4 x ² -4 x -3<0⇒（2 x -3）（2 x +1）<0⇒ ，

条件（1）和（2）都是结论的子集，因此均充分。选 D .

19. 分析 在条件（1）下有： k =0时，不等式变为3 x ² -6 x -1<0，显然 Δ >0，因此对任意 x 不一定成立，条件（1）单独不充分.

在条件（2）下有： k =-3时，不等式变为-4<0，显然恒成立，条件（2）单独充分。选 B .

20. 分析 法一：采用“几何—代数”转换法，

令 （为圆 x ² + y ₁ 2=1的上半部分）， y ₂ = x +1，要使 成立，

要求直线在圆上面即可，

如图 2.3-6所示，明显当0< x ≤1时满足，即不等式的解集为（0，1]，又条件（1）不是结论的子集，条件（2）是结论的子集，因此条件（2）单独充分，条件（1）不充分，故选 B .

法二：去根号求解，由题意知

⇒0< x ≤1，即不等式的解集为（0，1]，

又条件（1）不是结论的子集，条件（2）是结论的子集，

因此条件（2）单独充分，条件（1）不充分，故选 B . uLKyqFY+DFrttoPXjvMrbY6X8uNSIDhlc0Hc4v5yYzQtrYgYLlVZO6wcHwaLCkq4