第二节
经典例题解析

例 1 设二次函数 f （ x ）= ax ² + bx + c 的对称轴为 x =1，其图像经过点（2，0），则 =（ ）.

（A） 3

（B） 2

（C）-2

（D）-3

（E） 4

分析 法一：由题意知，

，选 D .

法二：利用二次函数的对称性，点（2，0）关于 x =1的对称点为（0，0），

因此有 f （ x ）的图像过（2，0），（0，0）点，即 f （ x ）=0有两个根0和2，

所以，设 ，选 D .

例 2 如果函数 f （ x ）= x ² + bx + c 对于任意实数 t 都有 f （2+ t ）= f （2- t ），则（ ）.

（A） f （2）< f （1）< f （4）

（B） f （1）< f （2）< f （4）

（C） f （4）< f （2）< f （1）

（D） f （2）< f （4）< f （1）

（E）不确定

分析 法一：利用对称性，二次函数是对称图像，

由题意得到图像明显关于 x =2对称，

而 x 对应的函数值与 x 到对称轴的距离（取正数）呈正比关系，

又4，1，2到2的距离分别为2，1，0，

因此有 f （2）< f （1）< f （4），选 A .

法二：由 f （2+ t ）= f （2- t ）⇒ b =-4， f （ x ）= x ² -4 x + c ，

把 x =1，2，4依次代入比较可以得到 f （2）< f （1）< f （4），选 A .

例 3 设 f （ x ）是二次多项式，且 f （2）= f （-1）=0， f （1）=-4，则 f （0）=（ ）.

（A）-10

（B）-8

（C）-4

（D）0

（E）6

分析 由 f （2）= f （-1）=0，可以设 f （ x ）= a （ x -2）（ x +1），

由 f （1）=-4知， a =2，

故 f （ x ）=2（ x -2）（ x +1），从而 f （0）=-4，选 C .

例 4 （条件充分性判断） f （ x ）≠3.

（1） .

（2） f （ x ）= x ² -4 x +7.

分析 在条件（1）下： ，条件充分.

在条件（2）下： f （ x ）=（ x -2） ² +3，当 x =2时， f （ x ）=3，条件不充分，选 A .

例 5 设 f （ x ）是三次多项式，且 f （2）= f （-1）= f （4）=3， f （1）=-9，则 f （0）=（ ）.

（A）-13

（B）-12

（C）-9

（D） 13

（E）7

分析 由题意得到 x =2， x =-1， x =4是方程 f （ x ）-3=0的三个根，

又 f （ x ）是三次多项式，故可设 f （ x ）= a （ x -2）（ x +1）（ x -4）+3，

则由 f （1）=-9⇒ a =-2，从而得到 f （ x ）=-2（ x -2）（ x +1）（ x -4）+3，

即有 f （0）=-2×（-2）×1×（-4）+3=-16+3=-13，选 A .

例 6 （条件充分性判断）方程3 x ² +（ m -5） x + m ² - m -2=0的两个根分别满足：0< x ₁ <1，1< x ₂ <2.

（1） .

（2）0< m <1.

分析 利用数形结合法，

要满足题意，0< x ₁ <1，1< x ₂ <2，则可设

f （ x ）=3 x ² +（ m -5） x + m ² - m -2中， f （0）>0， f （1）<0， f （2）>0，

如图 2.3-1所示，最后可求得-2< m <-1，

条件（1）和（2）不是题干结论的子集，单独都不充分，又无法联立，因此选 E .

例 7 m ， n ∈ R ， m ≠ n. m ² -3 m +1=0， n ² +1=3 n. 则 =（）.

（A）

（B） 1

（C） 2

（D） 3

（E）

分析 观察得到 m ， n 是方程 x ² -3 x +1=0的两个根，且有1+ m ² =3 m ，1+ n ² =3 n.

由韦达定理得到： m + n =3， mn =1，

即有 ，选 B .

例 8 方程 所有实数根的和为（）.

（A）-4

（B） 4

（C）6

分析 法一：去绝对值符号，分类有

（D）8

（E）0

或

可得到 x =2021或 x =-2021，则实数根的和为0.选 E .

法二：因为 ，故方程等价于 ，

即 ，则实数根的和为0.选 E .

法三：利用思维解题法，绝对值的对称性。若 a 是方程的一个根，必有- a 也为方程的另一个根，因此实数根的和为0.选 E .

例 9 解方程（2 x ² -3 x +1） ² =22 x ² -33 x +1.

分析 高次方程用换元法，可令 t =2 x ² -3 x +1，

又22 x ² -33 x +1=11（2 x ² -3 x ）+1=11 t -11+1=11 t -10，

原方程等价于 t ² =11 t -10⇒（ t -1）（ t -10）=0⇒ t ₁ =1， t ₂ =10，

因此原方程可化为

（Ⅰ）2 x ² -3 x +1=1⇒ x （2 x -3）=0，得到 x ₁ =0， x ₂ =23；

（Ⅱ）2 x ² -3 x +1=10⇒2 x ² -3 x -9=0⇒（2 x +3）（ x -3）=0，

得到 x ₃ =3， .

例 10 x ∈ R ，方程 所有根的和为（ ）.

（A）0

（B） 3

（C）6

（D）-3

（E）-6

分析 利用思维解题法，

令 x ² +3 x = t ，故原方程化为 =2+ t ⇒ t =-3或1，

即有 x ² +3 x +3=0无实数根（ Δ <0）， x ² +3 x -1=0有根，

由韦达定理得两根和为-3，故所有根的和为-3.选 D .

例 11 方程 的解的情况是（ ）.

（A）没有实数根

（B）有两个正根

（C）有两个负根

（D）有两个异号根，且正根的绝对值大

（E）有两个异号根，且负根的绝对值大

分析 采用思维解题法及排除法，直接由题干判断.

（Ⅰ） Δ =32>0，有实数根，A错误；

（Ⅱ） x ₁ x ₂ =-3<0，两根异号，B，C错误；

（Ⅲ） ，负根的绝对值大，D错误，故选 E .

例 12 若方程 x ² + px +43=0恰有两个正整数解 x ₁ 和 x ₂ ，则 =（）.

（A）-2

（B）-1

（C）-0.5

（D） 1

（E） 2

分析 由韦达定理得到： x ₁ x ₂ =43=1×43，可令 x ₁ =1， x ₂ =43，

则 p =-（ x ₁ + x ₂ ）=-44，即所求式子= =-2，选 A .

例 13 a ， b ， c 是△ ABC 的三边长，且方程 x ² -2（ a + b + c ） x +3（ a ² + b ² + c ² ）=0有两个相等实数根。则△ ABC 为（ ）三角形.

（A）直角

（B）等腰

（C）等腰直角

（D）等边

（E）斜

分析 由方程有两个相等实数根得到 Δ =0，

即有 Δ =4（ a + b + c ） ² -4×3（ a ² + b ² + c ² ）=0

⇒ a ² + b ² + c ² +2（ ab + bc + ac ）=3（ a ² + b ² + c ² ）

⇒ a ² + b ² + c ² = ab + bc + ac

⇒ a = b = c ，即△ ABC 为等边三角形。选 D .

例 14 若 x ₁ ， x ₂ 是 x ² +3 x +1=0的两个根，求值.

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

分析 分四类： x ₁ + x ₂ =-3， x ₁ x ₂ =1

第一类：（1）

（2）

（4）

（6）法一：

法二：

第二类：（3） =-3×（7-1）=-18

（7）

故

第三类：（5）法一：

故

=-3×47-1×（-18）=-123

法二：

故

=7×（-18）-1×（-3）=-123

（8）法一：

故

=7×（-123）-1 ² ×（-18）=-843

法二：

故

=-18×47-1 ³ ×（-3）=-843

第四类：（9）

=

=2×7+2×（-1）+1=13

例 15 （条件充分性判断） α ， β 是方程 x ² + mx + n =0的两个实数根，则 α - β =3.

（1） m =4， n =2.

（2） m ² =4 n +9.

分析 由经验公式 ，

得到 ， m ² -4 n =9；明显条件（1）不充分，条件（2）充分，选 B .

例 16 x ₁ ， x ₂ 是方程 x ² + bx + c =0的两个实数根， x ₁ ∶ x ₂ =2∶3， b ² =4 c +9，则 =（）.

（A） 1（B） 2

（C） 3

（D） 4

（E）都不对

分析 利用经验公式法， ，选 C .

例 17 x ₁ ， x ₂ 是方程 x ² + x -3=0的两个根，则 +19=（）.

（A）-4

（B） 4

（C）0

（D）-6

（E）6

分析 法一：采用考试心理技巧法，19是一个特殊的数，是为了凑结果而设计的，结果一定为一个特殊的数，猜为0，选 C .

法二：由根的性质得到 ， ， x ₁ + x ₂ =-1，

即有 ，

，选 C .

例 18 方程 x ² -4（ m -1） x +3 m ² -2 m +2 k =0（ m 为有理数）的根为有理数，则 k =（ ）.

（A）-2

（B） 2

（C）-2.5

（D） 2.5

（E） 3

分析 利用“双 Δ ”法，

根为有理数，则有 Δ 是一完全平方数，即 Δ 的 Δ 为0.

因此有 Δ _x =16（ m -1） ² -4（3 m ² -2 m +2 k ）=4（ m ² -6 m +4-2 k ）

Δ _m =6 ² -4×（4-2 k ）=20+8 k =0⇒ k =-2.5，选 C .

例 19 方程 x ² -3 x + m =0的一个根的相反数是方程 x ² +3 x - m =0的一个根，则方程 x ² +3 x + m =0的根为（ ）.

（A） 1，2

（B）-1，2

（C）-1，-2

（D）0，3

（E）0，-3

分析 利用思维解题法，

设 n 为方程 x ² -3 x + m =0的一个根，- n 是方程 x ² +3 x - m =0的一个根；

则有 n ² -3 n + m =0= n ² +3（- n ）- m ⇒ m =0，

则所求的方程为 x ² +3 x =0，即 x （ x +3）=0， x ₁ =0， x ₂ =-3，选 E .

例 20 已知 m ， n 是有理数，且方程 x ² + mx + n =0有一个根是 ，那么 m + n 的值为（）.

（A） 1

（B） 3

（C） 5

（D）-5

（E）-3

分析 利用方程式思维解题法，

法一：两个根为 ， ，

用韦达定理得到 ，所以 m + n =3.选 B .

法二：根据有理数的封闭性，

m + n =0⇒9-2 m + n -（4- m ） =0

⇒ ，所以 m + n =3.选 B .

例 21 已知 x ³ +2 x ² -5 x -6=0的根为 x ₁ =-3， x ₂ ， x ₃ ，则 =（）.

（A） 1

（B）

（C）-1

（D）

（E）0

分析 利用综合除法，韦达定理，

即有 x ₂ ， x ₃ 是方程 x ² - x -2=0的两个根，

则 x ₂ + x ₃ =1， x ₂ x ₃ =-2，则 .选 D .

例 22 （条件充分性判断） x ² +（2 m +1） x + m ² -4=0有两个异号实数根，并且正根绝对值大.

（1） m =0.

（2） m =-2.

分析 利用韦达定理，设方程的两个根为 x ₁ ， x ₂ ，

则有 x ₁ x ₂ = m ² -4<0， x ₁ + x ₂ =-（2 m +1）>0，

所以解得-2< m < ，

条件（1）和（2）都不属于题干结论的元素（子集），因此单独都不充分，又无法联立，因此选 E .

例 23 （条件充分性判断）方程 x ² + bx + c =0两根之差的绝对值为4.

（1） b =4， c =0.

（2） b ² -4 c =16.

分析 法一：利用经验公式法，

，明显条件（1）（2）都充分，选 D .

法二： ，

明显条件（1）和（2）单独都充分，选 D .

例 24 若方程 x ² + px + q =0的一个根是另一个根的2倍，则 p 和 q 应满足（ ）.

（A） p ² =4 q

（B） 2 p ² =9 q

（C） 4 p =9 q ²

（D） 2 p =3 q ²

（E）均不正确

分析 法一：利用特值法，

设方程为（ x -1）（ x -2）=0，即 x ² -3 x +2=0⇒ p =-3， q =2，明显有B正确，选 B .

法二：利用思维解题法，设方程的一个根为 a ，则另一个根为2 a ，

由韦达定理得到3 a =- p ，2 a ² = q ⇒2 p ² =9 q ，选 B .

例 25 的定义域为 R ，则 k ∈（）.

（A）

（B）

（C）

（D） R

（E） ∅

分析 法一：利用特值代入验证排除法，

当 k =0时，分母为3，满足题意，排除选项A，E；

当 时，分母为 ，明显不满足题意（定义

域不包括2），排除选项C，D，因此选 B .

法二：利用定义（概念）法，

定义域为 R 表示分母（多项式） kx ² -4 kx +3对任意 x 恒不等于0，分类（Ⅰ）二次项为0时，即 k =0时，分母恒为3，满足；

（Ⅱ）二次项不为0，要使分母不为0，则有 kx ² -4 kx +3=0无实数根，

因此有 .

综上所述有 ，选 B .

例 26 要使关于 x 的不等式 在 x ∈[-1，1]恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）.

（A） （2，+∞ ）

（B）

（C）

（D） [2，+∞ ）

（E）

分析 采用“几何—代数”转换法，

令 （为圆 x ² + y ₁ 2=1的上半部分）， y ₂ = x + a ，

要使 成立，

要求在 x ∈[-1，1]区间上，直线在圆上面即可，

考虑临界情况即为直线与圆相切时，如图 2.3-2所示，因为 OA =1，且∠ AOB =45°，得到 OB = ，要使不等式在区间上恒成立需 a > ，选 C .

图 2.3-2

例 27 x ∈ R 时，不等式 恒成立， k 的取值范围是（）.

（A） k >2

（B） k <2

（C） 1< k <2

（D）0< k <2

（E） k >1或 k <-1

分析 法一：利用 Δ 法，因为 x ² + x +1>0，

所以3 x ² +2 x +2> k （ x ² + x +1），

故（3- k ） x ² +（2- k ） x +2- k >0，

要使不等式恒成立，则对应的函数图像与 x 轴无交点，且开口向上，

即 .选 B .

法二：利用猜想法，若 k 取较大值定不满足，取 x 轴左端部分即可，明显排除A，E；

又对选项B，C，D来说， k 取更小值应也满足，故选 B .

例 28 不等式 ax ² + bx + c ≥0的解集为[-2，3]，则不等式 cx ² - bx + a <0的解集为（ ）.

（A）

（B）

（C）

（D）

（E）都不对

分析 利用逆向思维解题法，

可以容易知道不等式（ x +2）（ x -3）≤0的解集为[-2，3]，

因此有 ax ² + bx + c ≥0与（ x +2）（ x -3）≤0等价，

又（ x +2）（ x -3）≤0⇒- x ² + x +6≥0，

故可令 a =-1， b =1， c =6.

因此所求的不等式为6 x ² - x -1<0⇒（2 x -1）（3 x +1）<0，故解集为 ，

选 B .

例 29 解不等式

分析 不等式中因式的零值有 x ₁ =-3， x ₂ =-1， x ₃ =2， x ₄ =3，采用穿针引线法，

如图 2.3-3所示，显然得到不等式解集为（-3，-1）∪（2，3）.

注意

1.先化为标准形式，即每个因式中 x 的次数最高项的系数为正；

2.判断每个因式的零值，是否恒大于零；

3.恒大于零的因式可直接不做考虑，在数轴上按从小到大标出各因式的零值；

4.从数轴的右上端画线，依次穿过轴上的各个零值（遇到重根，奇穿偶不穿）；

5.根据不等式符号方向和是否有等号，取轴上相对应的点集.

例 30 解不等式2 x ³ +5 x ² + x -2>0.

分析 原不等式⇒（2 x ³ +2 x ² ）+（3 x ² + x -2）>0

⇒2 x ² （ x +1）+（ x +1）（3 x -2）>0

⇒（ x +1）（2 x ² +3 x -2）>0

⇒（ x +1）（2 x -1）（ x +2）>0

根据图 2.3-4则明显得到解集为（-2，-1）∪ .

例 31 若 ，其中0< a <20，则对于满足 a ≤ x ≤20的 x 值， y 的最小值是（ ）.

（A） 10

（B） 15

分析 直接去绝对值，

（C） 20

（D） 25

（E） 30

y =（ x - a ）+（20- x ）+（ a +20- x ）=40- x ⇒ y _min = y （20）=20，选 C .

例 32 满足不等式（ x +1）（ x +2）（ x +3）（ x +4）>120的所有实数 x 的集合是（ ）.

（A） （-∞ ，-6）

（B） （-∞ ，-6）∪（1，+∞ ）

（C） （-∞ ，-1）

（D） （-6，1）

（E） （1，+∞ ）

分析 法一：利用猜想法，

四个连续自然数相乘为正，则四个数要么都为正或都为负，取数轴两端的值。则有选项B满足.

法二：利用特值法，

把 x =6， x =-7代入验证满足不等式，则有选项B满足，选 B .

例 33 已知不等式 ax ² + bx +2>0的解集是 ，则 a + b =（ ）.

（A）-10

（B）-14

（C） 10

（D）

（E）

分析 利用逆向思维法，

ax ² + bx +2>0的解集是 ，

相当于 ax ² + bx +2=0的解是 ， ，利用韦达定理则有

，所以 a + b =-14.选 B .

例 34 （条件充分性判断）不等式 ax ² +（ a -6） x +2>0对所有实数 x 都成立.

（1）0< a <3.（2）1< a <5.

分析 法一：利用特值法，

取 a =2，则满足条件（1）和（2），但原结论变为 x ² -2 x +1>0对所有实数 x 都成立，

显然单独、联立都不充分，故选 E .

法二：由题干知， a >0且 Δ =（ a -6） ² -8 a = a ² -20 a +36=（ a -2）（ a -18）<0

⇒2< a <18，条件单独、联立都不是结论的子集，故都不充分，选 E . P4wAiJH8BXdNzSJqId8jdVuHFAiByExFhrqD0RBGq/4xauLgOTeEf/D7ZTnIpqNg