第三章
函数、方程和不等式

第一节
考点概述

一、函数及二次函数部分

（一）函数的相关概念和性质

定义：设有两个变量 x ， y ，若对于变量 x 在允许范围内的任意一个值，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数。其中 x 叫作自变量， y 叫作因变量。记作 y = f （ x ）.

使函数 y = f （ x ）的自变量 x 有意义的值的集合，叫作该函数的定义域；函数 y 的取值集合，叫作该函数的值域.

1.函数的奇偶性

对于函数 y = f （ x ）定义域中的任意 x ，若均有 f （- x ）= f （ x ）成立，则称 y = f （ x ）为偶函数；若均有 f （- x ）=- f （ x ）成立，则称 y = f （ x ）为奇函数.

2.单调性

设函数 y = f （ x ）在区间 G 上有定义，对于区间 G 中的任意两个值 x ₁ < x ₂ ，若都有 f （ x ₁ ）< f （ x ₂ ）成立，则称函数 y = f （ x ）是区间 G 上的增函数，区间 G 叫作该函数的单调递增区间；若都有 f （ x ₁ ）> f （ x ₂ ）成立，则称函数 y = f （ x ）是区间 G 上的减函数，区间 G 叫作该函数的单调递减区间。此时称 y = f （ x ）为区间 G 上的单调函数， G 叫作该函数的单调区间.

（二）一元二次函数

定义：函数 y = ax ² + bx + c （ a ≠0）叫作一元二次函数（以下简称为二次函数）。将二次函数的解析式配方后得： y = f （ x ）= .

二次函数性质如下：

1.二次函数的定义域是（-∞ ，+∞ ）.

2.开口方向：由 a 决定，当 a >0时，开口向上；当 a <0时，开口向下.

3.对称轴： ；顶点坐标： .

4 .y 轴上的截距为 c ，当 c =0时，函数的图像过原点.

若函数（抛物线） f （ x ）与 x 轴有交点，此交点叫作 f （ x ）的零点，该交点的横坐标是一元二次方程 ax ² + bx + c =0（ a ≠0）的两个实数根.

二、方程相关部分

（一）方程、方程的解

含有未知数的等式称为方程，能使方程左右两端相等的未知数的值为方程的解。例如：对方程 f （ x ）= g （ x ）来说，若 a 值存在，且使得 f （ a ）= g （ a ）成立，则 x = a 是方程 f （ x ）= g （ x ）的解。又如方程为 f （ x ）=0形式，其中 f （ x ）为代数多项式，则若存在 a ，使 f （ a ）=0成立，可称 a 为方程 f （ x ）=0的根.

（二）一元一次方程

含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的方程，称为一元一次方程，其一般形式为： ax = b （ a ≠0），方程的解为 .

（三）二元一次方程组

形如 （ a ₁ 与 b ₁ 、 a ₂ 与 b ₂ 不同时为0）的方程组，称为二元一次方程组。二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的。这两个二元一次方程的公共解就是这个二元一次方程组的解.

二元一次方程组的解法：

方法一：加减消元法

①× b ₂ -②× b ₁ ，消去 y （也可消去 x ），得（ a ₁ b ₂ - a ₂ b ₁ ） x = b ₂ c ₁ - b ₁ c ₂ ，从所得一元一次方程中，解出 x ，再将 x 的值代入①（或②），求出 y 的值，从而得出方程组的解.

方法二：代入消元法 由①得 （ b ₁ ≠0），将其代入②，得到关于 x 的一元一次方程，解之.

注意

此知识点也可与解析几何联系，两个二元一次方程看成是两条直线的表达式，解的情况就对应两条直线位置关系的情况.

1.如果 ，则方程组有唯一解（两条直线相交）.

2.如果 ，则方程组无解（两条直线平行）.

3.如果 ，则方程组有无穷多解（两条直线重合）.

（四）一元二次方程

只含一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程.

其一般形式为： ax ² + bx + c =0（ a ≠0）.

常用解法如下：

1.直接开方法

例如2 x ² -8=0⇒ x ² =4⇒ x =±2.

2.配方后再开方

例如 x ² -4 x -2=0⇒（ x -2） ² -6=0⇒ x =2± .

3.分解因式法

例如 3 x ² -5 x -2=0

3 x ² -5 x -2=（3 x +1）（ x -2）=0

由3 x +1=0，得 ；由 x -2=0，得 x ₂ =2.

4.求根公式法

对于一元二次方程 ax ² + bx + c =0（ a ≠0），它的解为 ，令 Δ = b ² -4 ac ，此方程的解将依 Δ 不同的值分为如下三种情况：

•当 Δ >0时，方程有两个不相等实数根，根的表达式为： ；

•当 时 ，方程有两个相等实数根；

•当 Δ <0时，方程无实数根.

由于 Δ 在判断一元二次方程的解的三种情况时的重要作用，称 Δ = b ² -4 ac 为一元二次方程的判别式.

★ （五）根与系数的关系（韦达定理）

设一元二次方程 ax ² + bx + c =0（ a ≠0）的两个根为 x ₁ ， x ₂ ，则有

注意

运用韦达定理的前提条件是 Δ ≥0，即根存在.

韦达定理的扩展及其应用：

★ 1. （与 a 无关）.

2. .

3. .

★ 4. .

5. .

三、不等式的相关部分

对于含有未知数的不等式，能使其成立的未知数的值的集合，叫作这个不等式的解集。由若干个含有同一个未知数的不等式组成的不等式组的解集，就是组成不等式组的所有不等式解集的公共部分（即交集）.

不等式（组）解集的区间表示法：

满足 a < x < b 的 x 的集合叫作开区间，记作（ a ， b ）；

满足 a ≤ x ≤ b 的 x 的集合叫作闭区间，记作[ a ， b ]；

满足 a ≤ x < b 或 a < x ≤ b 的 x 的集合叫作半闭半开区间或半开半闭区间，记作[ a ， b ）或（ a ， b ]；

满足 x > a 或 x ≤ a 的 x 的集合，记作（ a ，+ ∞ ）或（-∞ ， a ] ；实数集 R 记作（-∞ ，+∞ ）.

求不等式（组）的解集的过程，叫作解不等式（组）.

（一）一元一次不等式（组）及其解法

1.一元一次不等式的标准型为： ax > b （ a ≠0）或 ax < b （ a ≠0）.

2.一元一次不等式的解法：将所给一元一次不等式化为标准型后，不等式两边同除以未知数 x 的系数 a.

3.一元一次不等式组的解法：分别求出组成不等式组的每个一元一次不等式的解集后，求这些解集的交集（可以应用数轴，求出交集）.

（二）一元二次不等式及其解法

1.一元二次不等式的标准型为：

ax ² + bx + c >0（ a >0）或 ax ² + bx + c <0（ a >0）

2.一元二次不等式的图像解法

将所给一元二次不等式化为标准型后，依表有

（三）不等式的基本性质

1.传递性： a > b ， b > c ⇒ a > c ；

2.同向相加性： ；

3.同向皆正相乘性： ；

4.皆正倒数性： ；

5.皆正乘（开）方性： a > b >0⇒ a ⁿ > b ⁿ >0（ n ∈ Z ₊ ）. 0eEZcv9WB3dkAPS92wIlYFPBwofbU/rMIFkIJeZvzbdM6bE8vyVGuyjlSHIIs+pK