第二节
经典例题解析

例 1 某商品降价20%后，若欲恢复原价，应提价（ ）.

（A） 20%

（B） 25%

（C） 22%

（D） 15%

（E） 24%

分析 设原价为1，降价20%后为0.8，则有0.8（1+ x ）=1， x =25%，选 B .

例 2 一商店把某商品按标价的九折出售仍可获利20%，若该商品的进价为每件21元，则该商品每件的标价为（ ）元.

（A） 26

（B） 28

（C） 30

（D） 32

（E） 34

分析 设标价为 x 元， =0.2或0.9 x =21×1.2⇒ x =28，选 B .

例 3 一种商品，按期望得到50%的利润来定价，结果只销售掉70%商品。为尽早销售掉剩下的商品，商店决定按定价打折出售，这样获得的全部利润是原来所期望利润的82%，则打了（ ）折.

（A）8

（B）7

（C）6.5

（D）6

（E） 5

分析 利用特值法，

令该种商品有100件，每件原价1元，则有定价为1.5元，期望利润为50元.

设该商品打了 x 折，据题意可列方程为：

70×1.5+30×1.5 x -100=50×0.82，解得 x =0.8，即打了8折，选 A .

例 4 某电子产品一月份按定价的80%出售，能获利20%；二月份由于进行降价，按同样原价的75%出售，却能获利25%，那么二月份进价是一月份进价的百分之（ ）.

（A）92

（B）90

（C）85

（D）80

（E）75

分析 设该电子产品的定价为 p ，一、二月份进价分别为 x ， y ，

据题意有 ， ， ，选 B .

例 5 （条件充分性判断）某人用10万元购买了甲、乙两种股票，若甲股票上涨 a %，乙股票下跌 b %时，此人购买的甲、乙两种股票总市值不变，则此人购买甲种股票用了6万元.

（1） a =2， b =3.

（2）3 a -2 b =0（ a ≠0）.

分析 设购买甲股票 x 万元，则购买乙股票为10- x 万元，由题意得 a % x = b %（10- x ）

即 ax = b （10- x ）⇒ x = .

在条件（1）下有： ，满足题意，条件充分；

在条件（2）下有： ，满足题意，条件充分，选 D .

例 6 某商店将某种品牌的电脑按进价提高35%，然后打出“九折酬宾，外送50元车费”的广告，结果每台电脑获利208元，那么每台电脑的进价是（ ）元.

（A） 500

（B）650

（C）880

（D） 1000

（E） 1200

分析 设每台电脑的进价为 x 元，由题意可列方程：

1.35 x ×0.9- x -50=208⇒ x =1200，选 E .

例 7 一公司向银行借款34万元，款按 ∶ ∶ 的比例分配给下属甲、乙、丙三个车间，则甲车间应得（ ）万元.

（A） 4

（B）8

（C） 12

（D） 17

（E） 18

分析 法一：甲∶乙∶丙= ∶ ∶ ⇒ = = = k ，即甲= ，乙= ，

丙= ，由 =34，知 k =36，故甲车间应得18万元，选 E .

法二：甲∶乙∶丙= ∶ ∶ =9∶6∶2，故甲车间应得 ×34=18万元，选 E .

例 8 （条件充分性判断）某公司得到一笔贷款共68万元，用于下属三个工厂的改造，结果甲、乙、丙三个工厂按比例分别得到36万元、24万元和8万元.

（1）甲、乙、丙三个工厂按 ∶ ∶ 的比例分配贷款.

（2）甲、乙、丙三个工厂按9∶6∶2的比例分配贷款.

分析 因甲∶乙∶丙= ∶ ∶ =9∶6∶2，甲为 万元，

乙为 万元，丙为 万元，条件（1）和（2）等价，选 D .

例 9 甲、乙两商店同时购进了一批某品牌的电视机，当甲商店售出15台时，乙售出10台，此时两店的库存之比为8∶7，库存之差为5，甲、乙两商店总的进货量为（ ）台.

（A）75

（B）80

（C）85

（D） 100

（E） 125

分析 法一：设甲、乙各有 x ， y 台，则由题意得到 ，

化简为 ⇒ ⇒ x + y =100，选 D .

法二：由库存比为8∶7，得到库存份数相差一份，

又由于库存之差为5，即得到每一份额为5台，

由题意得到共有8+7=15份，即库存为5×15=75台，

还有售出的15+10=25台，则共有75+25=100台，选 D .

例 10 电影开演时观众中女士与男士人数之比为5∶4，开演后无观众入场，放映一个小时后，女士的20%，男士的15%离场，则此时在场的女士与男士人数之比为（ ）.

（A）4∶5

（B）1∶1

（C）5∶4

（D） 20∶17

（E）85∶64

分析 法一：设电影开演时，女士为 x 人，男士为 y 人，

由已知 x =5 k ， y =4 k ，

从而 ，选 D .

法二：设电影开演时，女士为5人，男士为4人，从而 ，选 D .

例 11 （条件充分性判断）学校工会为教工买来篮球、排球、足球各若干，其中篮球、排球、足球的单价之比为5∶3∶4，篮球、排球、足球的个数之比为4∶3∶5.则可以确定篮球、排球、足球这些球的平均单价是147元.

（1）篮球的单价为142元.（2）篮球的单价为180元.

分析 利用思维解题法，由篮球、排球、足球的单价之比为5∶3∶4，

可设篮球、排球、足球的单价各为5 x 元、3 x 元、4 x 元，

再由买的篮球、排球、足球的个数之比为4∶3∶5，

设篮球、排球、足球各买了4 k ，3 k ，5 k 个，

则所有球的平均单价为 元，即有 x =36，

因此篮球的单价为5 x =180元，则显然（2）是充分的，（1）是不充分的。选 B .

例 12 有一项工程，甲队单独做15天完成，乙单独做10天完成。结果甲先做12天后，余下由乙队去做，乙还需要（ ）天完成.

（A）

（B）

（C）

（D） 1

（E） 2

1 分析 法一：甲效率为 乙效率为 ，由 ，选 E .10

法二：方程思想，设乙队还需 x 天完成， ，选 E .

法三：利用思维解题法，按照天数对应的工作量作为等量关系，

即有甲15天=乙10天，甲12天=乙8天，

即甲先做12天相当于乙先做8天，故有10-8=2天，选 E .

例 13 有一水池，单开甲管4h可把水注满，单开乙管6h可把满池水放完，如果两管同时开2h后，水池还能装3.5m ³ ，则这个水池的容量是（ ）m ³ .

（A） 4.2

（B）6

（C） 10

（D） 16

（E） 21

分析 设水池的容量为 x m ³ ，则有 ， x =4.2，选 A .

例 14 修一条公路，甲单独施工需要40天完成，乙单独施工需要24天完成，现两队同时从两端开工，结果在距该路中点7.5km处会合完工，则这条路的长度为（ ）km.

（A）60

（B）70

（C）80

（D）90

（E） 100

分析 法一：设公路长为 x km，又甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 相遇的地点为靠近甲出发的一端，则 ，选 A .

法二：画图 2.2-3，由 ∶ =3∶5知甲修3与乙修5的时间相同，把公路整体分成8份，即由题意得到相遇点刚好距离中点为1份，则有公路长为7.5×8=60km，选 A .

例 15 由甲、乙、丙三个水管同时向一个水池注水，注满水池需要的时间比甲管单独注满的时间少6h，比乙管单独注满的时间少1h，并且是丙管单独注满需要的时间的一半，则甲、乙、丙三管同时开放注满水池需要的时间是（ ）min.

（A） 40

（B） 45

（C）50

（D） 55

（E）60

分析 利用直接法，

设同时注满水池的时间为 a h，

则甲、乙、丙单独注满水池需要的时间分别为 a +6， a +1，2 a ，

故由题意可得 ，

故同时注满水池的时间为40min.选 A .

例 16 甲、乙、丙三人同时在起点出发进行1000m的自行车比赛（假设他们各自的速度保持不变），甲到达终点时，乙距离终点还有40m，丙距离终点还有64 m，则乙到达终点时，丙距离终点还有（ ）m.

（A） 21

（B） 25

（C） 30

（D） 35

（E） 39

分析 960∶936=1000∶ x ⇒ x =975 m，1000-975=25 m，选 B .

例 17 甲、乙两人在环形跑道上跑步，他们同时从起点出发，当方向相反时，每隔48s相遇一次，当方向相同时，每隔10min相遇一次，若甲每分钟比乙快40m，则甲、

乙两人的跑步速度分别是（ ）m/min.

（A） 470，430

（B） 380，340

（C） 370，330

（D） 280，240

（E） 270，230

分析 设跑道长为 s m，乙的速度为 v m/min，则甲的速度为 v +40m/min

，选 E .

例 18 两个码头相距198km，如果一艘客轮顺流而下行完全程需要6h，逆流而上行完全程需要9h，那么该客轮的航速和这条河的水流速度分别为（ ）km/ h.

（A） 27.5和5.5

（B） 27.5和11

（C） 26.4和5.5

（D） 26.4和11

（E）均不对

分析 航速和水速分别为 v ₁ 和 v ₂ ，列方程 ，选 A .

例 19 一艘小轮船上午800起船逆流而上（设船速和水速一定），中途船上一块木板落入水中，直到850船员才发现这块重要的木板丢失，立即调转船头去追，最终于920追上木板，由上述数据可以算出木板落水时间是（ ）.

（A）850

（B）830

（C）825

（D）820

（E）815

分析 法一：设船速与水速分别为 v ₁ ， v ₂ ，木板在8点 t 分落水，则有

30（ v ₁ + v ₂ ）-30 v ₂ =（50- t ） v ₂ +（50- t ）（ v ₁ - v ₂ ）⇒ t =20，选 D .

法二：利用猜想法，假设水流速度很慢很慢，30min追上木板，说明应该是大约30

min前落水的，故时间应该是8点20分。选 D .

例 20 一艘轮船往返于甲、乙两码头之间，若船在静水中的速度不变，则当这条河的水流速度增加50%时，往返一次所需的时间比原来将（ ）.

（A）增加

（B）减少0.5h

（C）不变

（D）减少1h

（E）无法判断

分析 法一：设甲、乙两码头之间相距 s ，船速和水速分别为 v ₁ ， v ₂ ，原来时间和

现在时间分别为 t ₁ ， t ₂ ，则 ，时间变长了，选 A .

法二：利用特值法，船速和水速分别为 v ₁ =20， v ₂ =10，时间分别为 t ₁ ， t ₂ ，路程为1，则， ，

，时间变长了，选 A .

法三：利用极端猜想法，可以设想，水速提高后大于船速，那么船就无法逆流而回了，时间变成了无穷大，显然时间增加了，故选 A .

例 21 王明回家，距家门300m，妹妹和小狗一齐向他奔来，王明和妹妹的速度都是50m/min，小狗的速度是200m/min，小狗遇到王明后，用同样的速度不停地往返于王明与妹妹之间，当王明和妹妹相距10m时，则小狗共跑了（ ）m.

（A） 500

（B） 560

（C） 580

（D）600

（E）620

分析 设相距10m时，用时为 t min，小狗共跑了 s m，

50 t +10+50 t =300， t =2.9， s =200×2.9=580，选 C .

例 22 甲、乙两位长跑爱好者沿着社区花园环路慢跑，如两人同时、同向，从同一点 A 出发，且甲跑9m的时间乙只能跑7m，则当甲恰好在 A 点第二次追及乙时，乙共沿花园环路跑了（ ）圈.

（A） 14

（B） 15

（C） 16

（D） 17

（E） 18

分析 甲、乙二人速度比：甲速∶乙速=9∶7，无论在 A 点第几次相遇，甲、乙二人均沿环路跑了若干整圈，又因为二人跑步的用时相同，所以二人所跑的圈数之比就是二人速度之比；第一次甲于 A 点追及乙，甲跑9圈，乙跑7圈，第二次甲于 A 点追及乙，甲跑18圈，乙跑14圈，选 A .

例 23 公共汽车每隔 a min发车一次，王先生在大街上行走，发现从背后每隔6min开过来一辆公共汽车，而每隔 min迎面开来一辆公共汽车，若公共汽车与王先生行

进的速度都是均匀的，则 a 为（ ）min.

（A） 5.6

（B）6

（C） 4.8

（D） 5

（E） 5.2

分析 设汽车、行人的速度分别为 v ₁ ， v ₂ ，则有

，选 D .

例 24 某公司一年购买某种货物400t，每次都购买 x t，每次运费为4万元，一年的总存车费为4 x 万元，要使一年的总费用最小，则 x =（ ）.

（A） 20

（B） 40

（C）60

（D） 160

（E） 200

分析 利用经验公式法“均值不等式”，

，

当且仅当 ，即 x =20时等号成立，使费用最小，选 A .

例 25 半径为60m和40m的两条圆形轨道在 A 点处相切，两人从 A 点出发，以相同速度分别沿两轨道行走，当他们第一次相遇时，沿小圆轨道行走的人共走了（ ）圈.

（A） 2

（B） 3

（C） 4

（D） 5

（E）6

分析 利用思维解题法，

因为半径比为3∶2，则周长比为3∶2，又因为两人速度相同，则两人圈数比为2∶3.

则沿小圈走3圈。选 B .

例 26 甲、乙两列火车的速度比是5∶4，乙车先发，从 B 站开往 A 站，当走到离 B 站72km的地方时，甲车从 A 站发车往 B 站，两列火车相遇的地方离 A ， B 两站距离的比是

3∶4，那么 A ， B 两站之间的距离为（ ）km.

（A） 243

（B） 315

（C） 486

（D）630

（E）以上都不正确

分析 利用巧设未知量法，设甲、乙的速度分别为5，4，甲出发 t 后两车相遇，有 ，因此距离为5 t +4 t +72=315.选 B .

例 27 若用浓度30%和20%的甲、乙两种含盐溶液配成浓度为24%的含盐溶液500g，则甲、乙两种溶液应各取（ ） g.

（A） 180和320

（B） 185和315

（C） 190和310

（D） 195和305

（E） 200和300

分析 法一：设甲重 x g，则乙重（500- x ）g，根据溶质守恒原则，列方程0.3 x +0.2（500- x ）=0.24×500⇒ x =200，选 E .

法二：设甲重 x g，则乙重为 y g，列方程 ，选 E .

法三：利用十字交叉法，如图 2.2-4所示，

甲的数量为 g，选 E .

例 28 一满桶纯酒精倒出10L后，加满水搅匀，再倒出4L后，再加满水。此时，桶中的纯酒精与水的体积之比是2∶3，则桶的容积是（ ） L.

（A） 15

（B） 18

（C） 20

（D） 22

（E） 25

分析 设桶的容积为 x L，则

⇒ （3 x -10）（ x -20）=0⇒ x =20或 （舍去），选 C .

例 29 现有某消毒溶液，若从甲中取2100g，乙中取700g，混合而成的消毒溶液的浓度为3%；若从甲中取900g，乙中取2700g，混合后浓度为5%，则甲、乙两种消毒溶液的浓度分别为（ ）.

（A） 3%，6%

（B） 3%，4%

（C） 2%，6%

（D） 4%，6%

（E）均不正确

分析 法一：设甲的浓度为 x ，乙的浓度为 y ，据题意有

法二：利用猜想法：

设甲的浓度为 x ，乙的浓度为 y ，观察题意，甲溶液量多，乙溶液量少，混合后浓度较小，即甲溶液使混合后溶液浓度向小的方向走；

而甲溶液量少，乙溶液量多，混合后浓度较大，即乙溶液使混合后溶液浓度向大的方向走.

由浓度大小关系得到 x <3%<5%< y ，对比选项只有C正确，选 C .

例 30 一个容器盛满20L的酒精，倒出部分后注满水，第二次倒出与前次同量的混合液，再注满水，此时容器内水是纯酒精的3倍，则第一次倒出酒精的数量为（ ） L.

（A） 10

（B） 15

（C） 20

（D） 25

（E） 30

分析 法一：利用经验公式法，设第一次倒出酒精的数量为 x L，

则 L，选 A .

法二：设第一次倒出酒精的数量为 x L，则第二次倒出的溶液中酒精含量为2020-x · x ，

从而剩下的酒精为 ，据题意此时应满足 ，

即 x ² -40 x +300=0，解得 x =10或 x =30（舍去，值应小于20），选 A .

法三：利用代入验证排除法，

首先选项C、D、E显然错误，因第一次倒出酒精的数量应小于20L，

对选项A有第一次倒出酒精的量为10L，剩下10L，

第二次倒出的酒精量为 L，现在剩下的酒精量为5L，水为15 L，

从而有 满足题意，选 A .

例 31 有甲、乙两块含铅锡合金，甲含铅40g、含锡10g，乙含铅3g、含锡27g，要得到含铅62.5%的合金40g，则甲、乙两种合金应各取（ ）.

（A） 25g和15g

（B） 20g和20g

（C） 10g和30g

（D） 30g和10g

（E） 12g和28g

分析 利用数形结合法，在甲中铅的含量为80%，在乙中铅的

含量为10%，则设甲、乙合金各应取 x g和 y g，如图 2.2-5所

示，则可列方程 ，只有选项D满足。选 D .

例 32 在一次捐赠活动中，某市将捐赠的物品打包成件，其中帐篷和食品共320件，帐篷比食品多80件，则帐篷的件数是（ ）.

（A） 180

（B） 200

（C） 220

（D） 240

（E） 260

分析 设帐篷为 x 件，则食品为 x -80，从而 x + x -80=320⇒ x =200，选 B .

例 33 一次考试有20道题，做对一题得8分，做错一题倒扣5分，不做不计分，某同学共得13分，则该同学没做的题目是（ ）道.

（A） 4

（B）6

（C）7

（D）8

（E）9

分析 设做对 x 道题，做错 y 道题，则没做的题是20- x - y 道，

列方程8 x -5 y =13⇒ y =7， x =6，故 20- x - y =7，选 C .

例 34 1000m大道两侧从起点开始每隔10m各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）棵树和（ ）盆花.

（A） 200，200

（B） 202，200

（C） 202，202

（D） 200，202

（E） 201，201

分析 法一：种树数为 ，共需花数为 ，选 B .

法二：排除法，显然树比花多2棵，故选 B .

例 35 车间共有40人，某技术操作考核的平均成绩为80分，其中男工的平均成绩为83分，女工的平均成绩为78分，则该车间有女工（ ）人.

（A） 16

（B） 18

（C） 20

（D） 24

（E） 28

分析 法一：设男工人数为 x ，则女工人数为40- x ，

列方程83 x +78（40- x ）=80×40⇒ x =24，选 D .

法二：利用数形结合法，

如图 2.2-6所示：则有

女工人数为 人，选 D .

例 36 在年底的献爱心活动中，某单位共有100人参加捐款，经统计，捐款总额是19000元，个人捐款数额有100元、500元和2000元三种，该单位捐款500元的人数为（ ）.

（A） 13

（B） 18

（C） 25

（D） 30

（E） 38

分析 设三种人数依次为 x ， y ， z ，

则有 ，

由偶数+偶数=偶数性质得知 z 为偶数，

即有当 z =2⇒ y =13， x =85是整数解，满足题意，选 A .

例 37 甲班共有30名学生，在一次满分为100分的考试中，全班的平均成绩为90分，则成绩低于60分的学生最多有（ ）名.

（A）8

（B）7

（C）6

（D） 5

（E） 4

分析 法一：利用逆向思维法：

设成绩低于60分的学生最多有 x 名，由题意得到全班一共要失去300分，低于60分的学生每人至少失掉40分，即有40 x <300⇒ x <7.5，所以选 B .

法二：设成绩低于60分的学生最多有 x 名，则大于等于60分的人数为30- x ，

假设其他人人均考100分，成绩低于60分的学生分数都按60分计算，

则有考生总分数应满足60 x +100（30- x ）>2700⇒ x <7.5，故选 B .

例 38 某公司计划运送180台电视机和110台洗衣机下乡，现有两种货车，甲种货车每辆最多可载40台电视机和10台洗衣机，乙种货车每辆最多可载20台电视机和20台洗衣机，已知甲、乙两种货车的租金分别是每辆400元和360元，则最少的运费是（ ）元.

（A） 2560

（B） 2600

（C） 2640

（D） 2580

（E） 2720

分析 首先设需要甲 x 辆，需要乙 y 辆，那么肯定要把电视机和洗衣机运送完，就得到了两个约束条件 ，

取等号的时候解这个方程组 ，得到 ，

即有当 x =2， y =5时，400×2+ 360×5=2600最小，因此得到最少为2600元.

选 B .

例 39 有一批水果需要装箱，一名熟练工单独装箱需要10天，每天报酬为200元；一名普通工单独装箱需要15天，每天报酬为120元。由于场地限制，最多可同时安排12人装箱，若要求在1天内完成装箱任务，则支付的最少报酬为（ ）元.

（A） 1800

（B） 1840

（C） 1920

（D） 1960

（E） 2000

分析 设熟练工 x 名，普通工 y 名，则有 ，求200 x +120 y 的最小值，

则有 ，明显有 x =6， y =6满足，

代入则有200×6+120×6=1920元，最少为1920元。选 C .

例 40 某城市按如下规定收取每月的水费：用水如果不超过60m ³ ，按1.4元/ m ³ 收费；如果超过60m ³ ，超过部分按2.6元/ m ³ 收费；另外不管用水多少需要额外征收1元/ m ³ 的排污费。已知某用户四月份的水费平均为2.64元/ m ³ ，那么四月份该用户应缴水费（ ）元.

（A） 165

（B） 198

（C） 220

（D） 260

（E） 300

分析 2.64>1.4+1，因此用水量肯定大于60m ³ ，设四月份该用户用水 x m ³ .

则有144+3.6（ x -60）=2.64 x ⇒ x =75，则水费为144+3.6×（75-60）=198元，选 B .

（分段收费如下表）

例 41 将若干件商品分给100家商店，每家至少1件，没有4家商店分得的商品件数相同，那么至少有（ ）件商品.

（A） 1156

（B）1165

（C） 1500

（D）1683

（E） 1717

分析 将99家商店3家一组，共分成33组，同一组分得同数量的商品，不同组分得不同数量的商品，

则这99家商店至少共分得商品数为 件，

因此第100家商店至少分得34件，故至少有商品1683+34=1717件，选 E .

例 42 某种同样的商品装成一箱，每个商品的重量都超过1kg，且是1kg的整数倍，去掉箱子重量后净重210kg，拿出若干个商品后，净重183kg，则每个商品的重量为（ ） kg.

（A） 1

（B） 2

（C） 3

（D） 4

（E） 5

分析 法一：利用排除法，因结果可整除210和183，明显B、D、E错误，又重量

都超过1kg，排除A，因此选 C .

法二：该题考查的是合数分解成质数乘积，因210=2×3×5×7以及183=3×61，故

210和183的公因数为3，选 C .

例 43 （条件充分性判断）班长花了500元买了10元、15元、20元三种票价的电影票，其中票价20元的电影票比票价10元的电影票多10张.

（1）班长买了30张电影票.（2）班长买了25张电影票.

分析 利用思维解题法，设班长买了 x 张10元票价的票，买了 y 张15元票价的

票，则买了 x +10张20元票价的票，

则由题意有10 x +15 y +20（ x +10）=500⇒2 x + y =20⇒2 x + y +10=30，

明显条件（1）充分，那么条件（2）就不充分。选 A .

例 44 在一条长为180m的道路两旁种树，每隔2m已挖好一坑，由于树种改变，现改为每隔3m种树一棵，则需要重新挖坑和填坑的个数分别是（ ）.

（A）30，60

（B）60，30

（C）60，120

（D）120，60

（E）100，50

分析 在每隔2m挖一坑的时候总共要挖 ×2=182个坑，变为每隔3m挖一个坑的时候实际要挖 ×2=122个坑，现在已经挖了182个坑，则不需要动的坑应该是在距第一个坑的距离为2和3的倍数时，在1到180里面有6，12，18，…，180，总共有30个数，即总共有（30+1）×2=62个坑不需要动（加上第一个坑），则需要填坑的个数为182-62=120个，需要重新挖坑的个数为122-62=60个，选 C .

例 45 足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况共有（ ）.

（A）3种

（B）4种

（C）5种

（D）6种

（E）7种

分析 利用列举法，可设胜 x 场，平 y 场，负 z 场，

根据题意有 x + y + z =14，3 x + y =19⇒5+ z =2 x （ x ≤6），

根据“奇数+奇数=偶数”有

① z =1， x =3， y =10；② z =3， x =4， y =7；③ z =5， x =5， y =4；④ z =7， x =6， y =1.选 B . Qnlj4U+A4RaW1u7b3UnlxC4/8VJ1tNufan2NHkmukmYNRVkbZZR/bOVQmBlLQ9aK