第二章
应用题

第一节
考点概述

一、比和比例

（一）利润问题

利润=售价-进价， .

（二）比和百分比问题

1 .a （1+ x %）= A ， a 为原价， x %为升幅， A 为新价.

2 .b （1- x %）= B ， b 为原价， x %为降幅， B 为新价.

3.甲比乙大 ，甲是乙的 x %⇔甲= x %乙.

（三）比例问题

1.按比例分配的应用题，是把一个数量按一定的比例进行分配。解答这类应用题的关键是根据已知条件把已知数量与份数对应起来，把题中的比例转化成一个数的几分之几是多少来计算；也可设参量“ k ”，化为整数比，求单个份数量，即求各个量的值.

某量的数量=总数量×

若各个量间的比为 a ∶ b ∶ c ，可设为 ak ， bk ， ck ，即有 ak + bk + ck =总数量.

2.比例性质：如果 ，则 ad = bc.

3.等比定理： （ k ₁ + k ₂ + k ₃ ≠0）.

二、工程问题

（一）工作量、工作效率、工作时间的关系

工作量=工作效率×工作时间；工作时间= ；工作效率= .

工作量：对于一个题，工作量往往是一定的，可以将总的工作量看作“1”.

（二）常用公式

若甲单独完成需要 m 天，乙单独完成需要 n 天，则

1.甲、乙的工作效率分别为 ， ；

2.甲、乙合作的效率为 ；

3.甲、乙合作完成需要的时间为 ；

4.甲、乙两人合作完成：工作总量=甲完成的工作量+乙完成的工作量.

三、行程问题

（一）路程s、速度v、时间t之间的关系

（二）相遇追及问题（v1>v2 ）

相遇问题： s _相遇 = s ₁ + s ₂ = v ₁ t + v ₂ t =（ v ₁ + v ₂ ） t ；

追及问题： s _追及 = s ₁ - s ₂ = v ₁ t - v ₂ t =（ v ₁ - v ₂ ） t.

（三）环形跑道问题（环形跑道一圈距离为s，v甲>v乙）

两人逆向跑动：（1） s _甲 + s _乙 = s （相遇一次），（2） s _甲 + s _乙 = ns （相遇 n 次）；

（每相遇一次，甲、乙路程之和为一圈）

两人同向跑动：（1） s _甲 - s _乙 = s （相遇一次），（2） s _甲 - s _乙 = ns （相遇 n 次）.

（每相遇一次，甲比乙多跑一圈）

（四）流水问题

关键是速度问题： v _顺水 = v _船 + v _水 ， v _逆水 = v _船 - v _水 .

（五）相对速度

相对速度常用于涉及两个对象同时运动的较为复杂的题型，可将一个对象作为参照物，看成是相对静止的。同向运动： v ₁ - v ₂ ；相向运动： v ₁ + v ₂ .

（六）较为复杂的行程问题

1.火车（车）问题：火车（车）本身长度也是“路程”的一部分，以火车（车）头或尾作为运动点，按常见问题考虑.

2.公交发车时间间隔（调和中项）问题：某人以一定速度出行，每隔一定时间 t ₁ 迎面遇到一辆公交车，每隔一定时间 t ₂ 从背后超过一辆公交车，则发车时间间隔 .

3.往返相遇问题：两个对象从一条线段的两端或一端出发，从两端点之间不断往返，求一定时间后相遇次数或第 n 次相遇时间等（全程表示线段两端的距离）.

两个对象从两端点同时出发，相向而行，不断往返：

第 n 次迎面相遇，两个对象运动路程和=（2 n -1）×全程；

第 n 次追上相遇，两个对象运动路程差=（2 n -1）×全程.

两个对象从一端点同时出发，同向而行，不断往返：

第 n 次迎面相遇，两个对象运动路程和=2 n ×全程；

第 n 次追上相遇，两个对象运动路程差=2 n ×全程.

四、浓度问题

1.溶液=溶质+溶剂， .

2.重要定理：溶质守恒原则。溶质不会因为溶剂的增加（减少）而增加（减少）.

3.稀释问题：

（1）设已知溶液质量为 M g，每次操作中先倒出 M ₀ g溶液，再加入 M ₀ g溶剂（清水），重复 n 次：

（多次混合问题第Ⅰ型， c ₀ 为原浓度， c _n 为新浓度）.

（2）设已知溶液质量为 M g，每次操作中先倒入 M ₀ g溶剂（清水），再倒出 M ₀ g溶液，重复 n 次：

（多次混合问题第Ⅱ型， c ₀ 为原浓度， c _n 为新浓度）.

4.溶液混合问题：

（1）直接法：以两种溶液混合为例，设两种溶液质量分别为 M ₁ ， M ₂ ，浓度为 c ₁ ， c ₂ ，混合后浓度为 c ，则 M ₁ c ₁ + M ₂ c ₂ =（ M ₁ + M ₂ ） c.

（2）采用十字交叉法：

五、集合问题

1. 两个集合 （ 见图 2.2-1）：

公式： A ∪ B = A + B - A ∩ B =全集 .

2. 三个集合 （ 见图 2.2-2）：

公式： A ∪ B ∪ C = A + B + C - A ∩ B - B ∩ C - A ∩ C + A ∩ B ∩ C =全集

六、分段问题

分段计费是指不同的范围对应着不同的计费方式，在实际中应用很广泛，比如电费、水费、邮费、个税、出租车费、销售提成等。解题思路的关键点有两个，一是先计算每个分界点的值，确定所给的数值落入哪个范围；二是对应选取正确的计费表达式，按照所给的标准进行求解.

七、年龄问题

年龄问题的特点有两个，一个是年龄的差值恒定；另一个是年龄同步增长.

八、线性规划（最优解、整数解）问题

注 ：该部分可以学完解析几何部分，再学习.

1.当 x ， y 满足给定的二元一次不等式组时，求二元一次函数 z = ax + by + c 的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题.

可行域：在线性规划问题中，已知二元一次不等式组称为线性约束条件，该二元一次不等式组表示的平面区域称为可行域。二元一次不等式组表示的平面区域是组成该不等式组的每个不等式表示的平面区域的公共部分.

2.在线性规划问题中，欲求最值的二元一次函数 z = ax + by + c 称为线性目标函数。当 P （ x ， y ）为可行域中的任意点，目标函数的最大值或最小值称为该问题的最优解。故线性规划问题可以叙述为：在给定的线性约束条件下，求线性目标函数的最优解的问题.

3.求最优解的方法

这里不做详细的阐述，只做出简单的解题指导。第一步：找到题中所给出的约束条件（限制条件），列方程组，并找到目标函数。第二步：求出方程组的解。第三步：代入求出最优解，这时如果第二步求出的解为整数对，那么就直接代入，即为最优解，如果求出的不是整数解，那么就在数对的左右两侧找出整数对验证其中一对必为最优解. JV0JAk93chjFeRNnrcVdJ9dFIQ/76xd3xYu/8KpgJPi2N1SpmmXYhXsHZFekn5xw