下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
微积分如同电影，把现实想象成一系列快照，然后再把它们按照时间和画面顺序重新组合起来，将这些无法觉察的变化连续起来，带给人一种无缝衔接的错觉。
微积分是以连续性为基础而蓬勃发展起来的学科。其核心假设是：事物都在平缓地发生变化，任何事物都与其此前的一刻有着无限小的差异。
没有微积分，现代生活寸步难行。这种理解变化的方式是强大的，并且超越了任何语言，这可能是迄今为止人类最伟大的想法之一。微积分让我们能够到月球去旅行，以光速来交流，在宽达数百千米的河面上架桥，还能有效阻止疫情的扩散。
但微积分又是简单质朴的，类似于孩童般的纯真。经验告诉我们，变化可以是突然的、不连续的和螺旋式的。但微积分并不考虑这类变化，它坚持世界是没有任何意外的，在这个世界里，事物之间均存在逻辑联系，一件事必然会导致另一件事的发生。只要给出初始条件以及运动定律，就能预测未来，甚至可以重构过去。
我多希望现在就能这样做。但遗憾的是，我与乔夫里先生的书信是断断续续的。有的信被弄丢了或扔掉了，那些保留下来的则是让人难以辨认的片段和情感。有时它们只讲述了部分事实，有些则拨云见日，当然也有一些内容是有意略去的。
那是1974年，在我高二下学期的时候，我选修了约翰逊先生开设的“微积分基础”课程。约翰逊先生毕业于麻省理工学院，年纪在35岁到40岁之间，他个子很高，人也十分严厉，不苟言笑。
我的一些朋友在乔夫里先生的班上学习同样的课程。那时我没有跟乔夫里先生说过话，对他所知甚少。学校里有很多关于他曾获得皮划艇全国冠军之类的传说。他是那种光看外表就会给人留下深刻印象的人——健硕的胸肌、肌肉发达的手臂和腿，头发剪得非常短。
当我们学到一个在微积分中非常基本却难以理解的定义，即有关连续性的严谨定义时，约翰逊先生讲了一些我之前从其他任何一位老师那儿都没听说过的话，他说他要给我们讲一些我们不会理解却必须学习的概念，这让我有不祥的预感。他提到用 ε - δ 语言定义函数的连续性：
若函数 f ( x )在实数集 R 上连续，对于任意 ε >0，总存在 δ >0，即当| x - y |< δ 时，有| f ( x )- f ( y )|< ε 。
他说：“我们在学习过程中会遇到这个定义4～5次，且每一次都会加深对它的理解。虽然万事开头难，但总要有第一次，所以让我们开始学习吧！”
如他所言，我们班的同学在理解用 ε - δ 语言定义函数的连续性的逻辑时遇到了很多困难。后来我们听说乔夫里先生在他们班讲这个问题时所用的方法完全不同。他根本没有尝试去解释 ε 和 δ ，他说，一个连续函数就好像你在纸上画图，你的铅笔始终不离开纸面，那它就是连续的。
这让我学到很多。直观来讲，那确实是“连续性”的意义。它触动了我，以我高中二年级的理解能力，这种直观的讲解方式的确比较简明易懂，但同时也回避了难点。我也因此开始对乔夫里先生的能力产生了怀疑，也许他并不像其外表那样强悍。我庆幸自己选修的是约翰逊先生的课。
第二年，乔夫里先生成了我的老师。现在我可以近距离地打量这个男人了。他整洁的外表再次给我留下了深刻印象。他的手是我握过的最大的手，完全把我的手包住了。每当他在黑板上写字时，每一笔都会让粉笔化成粉末，结果粉尘和粉末漫天飞舞。上完课，他的身上就落满了粉笔灰。
他非常热爱户外活动（这些活动对我毫无吸引力，我喜欢打网球和篮球，但我不喜欢树林，因为虫子太多了，我也不喜欢划独木舟以及背包旅行之类的活动）。在一本年报里，有一张照片捕捉到乔夫里先生在他喜欢的“栖息地”的画面：他在一棵高高的树上，检查他亲手造的一个鸟窝。他也是一个叫“达尔文俱乐部”的社团的指导老师。虽然我不知道他们具体是做什么的，但肯定与户外活动有关。
乔夫里先生在检查他亲手造的鸟窝
好了，说说乔夫里先生的课堂吧！他的课堂很有意思。他总是那么开心，对人也很友善，并且充满热情，虽然是对一些奇怪的事情。有一次，他一进校门就将一只山羊用一条很长的绳子绑在了树上。山羊固执地不停拉绳子，试图逃脱，结果却是被绳子一圈又一圈地缠得更紧了。接着他让我们为山羊的缠绕路径列一个方程。
我毫无头绪。他与那位有着麻省理工学院强大背景的、温和而严肃的约翰逊先生完全不同。我真看不透这个正在给我上课的人，但他还是很平易近人的，所以以上种种也就算不上很大的问题了。
数学本身非常有趣也很容易。我可以从书本中学习几乎所有知识。乔夫里先生的课程并没有讲很多额外的内容，除了那些奇怪的自然问题。
有时他在讲解一道题时会突然中断，然后向我们讲起他以前教过的最优秀的学生，随后便陷入遐想，这时的他会注视远方且面带微笑。片刻平静之后，他对我们说，杰米·威廉姆斯（他以前的一个学生）已经得出了斐波那契数列第 n 项的公式。这项成就确实值得铭记。
斐波那契数列就是0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，这个数列以数字0和1开始，之后每一个数字都是它前面两个数字的和。
这个问题是这样的，如果 F 0 =0且 F 1 =1，求第 n 项 F n 的公式。如果你对 F 100 或 F 1000 感兴趣，你就需要这样一个公式了，而不会想把那些中间项一直相加到第100项或第1000项再得到一个答案。有没有一个简洁的公式能用 n 直接表达 F n 呢？答案令人赞叹：
杰米·威廉姆斯是怎么得到这个公式的呢？
随着时间的流逝，我发现我就像那只被绳子绑在树上的山羊，而乔夫里先生就是那棵树。我不断拽紧绳子想远离他，但最终我和他的距离却越来越近，这些年来一直如此。
怎么会这样呢？这一切并不是因为他教给我很多，甚至他的方式是简单的、不合乎常规的，这让我十分困惑。我觉得我比他强，虽然我羞于承认，但事实就是这样。
看看他都做了什么。
他非常从容地提出一个问题，一点儿也不急，然后他就站到一边。通常我会和本比赛看谁能先解决这个问题。如果我们都解出了这个题目，我们就看谁的方法更好。
本非常出色，他比我小一岁，个子矮小但头脑敏锐，兴趣广泛（和他在一起，我总觉得自己是个土包子）。他是那种天才型选手，他思考问题根本不用写，他就像是一个哲学家，灵感来了，他写下几行方程，略算几步，问题一下子就解决了！
而我属于勤奋型，没有本聪明（回想起来，我认为本比我更有数学天分）。我的风格是简单直接的，我愿意寻找破解问题的方法，即使那个方法很笨拙或者很费力，要花几个小时做演算，我也并不介意。因为经过不懈努力，我最终一定会得到正确的答案。
事实上，我就喜爱数学的这一点，它很公正。如果你起步正确，努力做下去，并且每一步都正确，尽管过程可能令人煎熬，但从逻辑上说，你最终一定会胜利。答案就是你的回报。
当我拨开演算的迷雾时，我获得了极大的成就感，同时还有另一个奖励。乔夫里先生是一个不可思议的啦啦队员，他时不时地把我和本做比较，把我们比作乌龟和兔子，目光中流露出一种近乎敬畏的欣赏和喜悦。
在我高三结束时，学校举行了年度颁奖礼。当颁发伦斯勒数学和科学奖的时候，他们念到了我的名字。如果我没记错的话，当时是乔夫里先生为我做的致辞。他把我比喻成一个攀登者，勇攀数学高峰，最终将带着传奇归来。
他的致辞让我听起来非常伟大，像个英雄。